第十一章112與三角形有關(guān)的角例題與講解新人教版

1、11.2與三角形有關(guān)的角1三角形內(nèi)角和定理(1)定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180.(2)證明方法：證法多樣，主要是運(yùn)用平行線知識(shí)把三個(gè)角轉(zhuǎn)移成一個(gè)平角，從而得到內(nèi)角和是180.如圖所示，過C作CMAB，將求ABACB轉(zhuǎn)化為求12ACB，或過A點(diǎn)作DEBC，把求BACBC轉(zhuǎn)化為求BACDABEAC.(3)理解與延伸：因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180，所以延伸出三角形中很多的角的特定關(guān)系如：一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角；一個(gè)三角形中最少有一個(gè)角不小于60；直角三角形兩銳角互余；等邊三角形每個(gè)角都是60等(4)作用：已知兩角求第三角或已知三角關(guān)系求角的度數(shù)談重點(diǎn) 三角形內(nèi)角和定理的理解三角形內(nèi)角和定

2、理是最重要的定理之一，是求角的度數(shù)問題中最基礎(chǔ)的定理，應(yīng)用非常廣泛【例1】 填空：(1)在ABC中，若A80，C20，則B_；(2)若A80，BC，則C_；(3)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比ABC235，則B_，C_.解析：(1)三角形內(nèi)角和為180，已知兩角求第三角；(2)可設(shè)Cx，那么xx80180，求出x50.所以C50；(3)設(shè)每一份為x，得2x3x5x180，求得x18，所以B54，C90.答案：(1)80(2)50(3)54902直角三角形的性質(zhì)與判定(1)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余如圖所示，在RtABC中，如果C90，那么AB90.【例21】 將一個(gè)直角三角板和

3、一把直尺如圖放置，如果43，則的度數(shù)是()A43 B47 C30 D60解析：如圖所示，由平行線的性質(zhì)可知，CEF43，所以BDCCEF43，DBC，在RtDBC中，DBCBDC90，所以4390，所以904347.答案：B(2)直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形如圖所示，在ABC中，如果A+B=90，那么C=90，即ABC是直角三角形提示：由三角形的內(nèi)角和定理可知，三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180，如果有兩個(gè)角的和為90，那么第三個(gè)角自然是直角由直角三角形定義可知，該三角形為直角三角形【例22】 如圖所示，ABCD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，BEF的平分線與DFE的平分

4、線相交于點(diǎn)P，求證：EPF是直角三角形證明：ABCD，BEFDFE180.EP，F(xiàn)P分別平分BEF，DFE，PEFeq f(1,2)BEF，PFEeq f(1,2)DFE，PEFPFEeq f(1,2)(BEFDFE)eq f(1,2)18090，EPF是直角三角形3三角形的外角(1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角如圖，ACD就是ABC其中的一個(gè)外角(2)特點(diǎn)：三角形的一個(gè)外角和與它同頂點(diǎn)的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，這是內(nèi)、外角聯(lián)系的紐帶一個(gè)三角形有6個(gè)外角，其中兩兩互為對(duì)頂角，如圖所示破疑點(diǎn) 三角形外角的理解外角是相對(duì)于內(nèi)角而言的，也是三角形中重要的角，一個(gè)角對(duì)一個(gè)三角形

5、來說是外角，而對(duì)于另一個(gè)三角形來說可能是內(nèi)角；三角形的角是指的三角形的內(nèi)角，這點(diǎn)要注意【例3】 在ABC中，A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個(gè)外角等于B的兩倍，那么A_，B_，C_.解析：A和與它相鄰的外角互為鄰補(bǔ)角，A又等于和它相鄰的外角的四分之一，所以A36，A的外角為144，所以B72，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180，可以求得C72.答案：3672724.三角形外角性質(zhì)(1)性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和如圖所示：1BC(或B1C，C1B)注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是一半數(shù)目外角的和.(2)作用：求角的度數(shù)，在外角、不相鄰的兩內(nèi)角中知道兩角

6、能求第三角，也能求出相鄰內(nèi)角的度數(shù)；證明角相等，一般是把外角作為中間關(guān)系式證明角相等析規(guī)律 三角形外角的性質(zhì)的理解三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，是由三角形內(nèi)角和是180和鄰補(bǔ)角關(guān)系推導(dǎo)出來的，是它們應(yīng)用的延伸，所以用這個(gè)性質(zhì)能得出的結(jié)論，用三角形內(nèi)角和也能推出，但走了彎路因?yàn)槿切瓮饨鞘峭ㄟ^圖表現(xiàn)出來的，具有隱蔽性，所以應(yīng)用時(shí)要注意觀察圖形【例4】 如圖，一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，則12_.解析：由三角形外角性質(zhì)定理可知，190AED，290ADE，所以1290AED90ADE.因?yàn)?0AEDADE180，所以1218090270.答案：2705三角形外角和(

7、1)定義(規(guī)定)：如圖所示，在每一個(gè)頂點(diǎn)上取一個(gè)外角，如1，2，3，它們的和叫做三角形的外角和(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是一半數(shù)目外角的和【例5】 如圖所示用兩種方法說明123360.分析：方法一：根據(jù)同頂點(diǎn)的外角與內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角和三角形內(nèi)角和定理證明；方法二：根據(jù)一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和及三角形內(nèi)角和定理證明解：方法一：因?yàn)?BAC180，2ABC180，3ACB180，所以1BAC2ABC3ACB540.又BACABCACB180，所以123180540.所以123360.方法二：因?yàn)?ABC

8、ACB，2BACACB，3ABCBAC，所以123ABCACBBACACBABCBAC2(ABCACBBAC)2180360.點(diǎn)評(píng)：同一頂點(diǎn)上的內(nèi)、外角互為鄰補(bǔ)角是內(nèi)、外角關(guān)系轉(zhuǎn)換的最基礎(chǔ)的依據(jù)6.三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中關(guān)于角度計(jì)算的基礎(chǔ)，也是其他多邊形求角度數(shù)問題必備的基礎(chǔ)知識(shí)，目前它的應(yīng)用方式主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知兩角求第三角這是內(nèi)角和定理最簡(jiǎn)單、直接的應(yīng)用，一般是直接或間接給出三個(gè)內(nèi)角中的兩角，求第三角，比較簡(jiǎn)單，直接用180減去兩角度數(shù)得出，往往與考查角的單位換算相聯(lián)系(2)已知三角的比例關(guān)系求各角這類題目一般給出三個(gè)角的

9、比例關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)列方程的方法求解，一般是設(shè)每一份為x度，用含未知數(shù)的式子分別表示出每一個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)它們的和是180列方程求解，然后再求出每一個(gè)角的度數(shù)有時(shí)是通過求角的度數(shù)判斷三角形的形狀，但熟練后從比例關(guān)系中可以直接確定三角形的形狀(3)已知三角之間相互關(guān)系求未知角這類題目一般是已知各角之間的和、差、倍、分等的數(shù)量關(guān)系，通過等式變形，用一共同的角表示其他兩角，然后根據(jù)內(nèi)角和是180列出等式，求出其中一角，然后再根據(jù)它們之間的數(shù)量關(guān)系分別求出另兩角，有時(shí)也可以列方程(組)求角的度數(shù)解技巧 利用三角形內(nèi)角和求三角形的內(nèi)角運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)題目形式多樣，方法也不同，要根據(jù)實(shí)際靈

10、活運(yùn)用7三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用外角性質(zhì)應(yīng)用：三角形外角性質(zhì)是三角形角度計(jì)算中的重要定理，也是求角度運(yùn)算中常用的定理如圖所示，1是ABC的一個(gè)外角，在1，B，C三個(gè)角中，知道任意兩個(gè)角就可以求出第三個(gè)角1BC；B1C；C1B.破疑點(diǎn) 利用三角形外角的性質(zhì)求一個(gè)角的方法因三角形外角的性質(zhì)是由三角形內(nèi)角和與鄰補(bǔ)角定義推出的，所以用外角性質(zhì)能進(jìn)行的運(yùn)算，用三角形內(nèi)角和也能進(jìn)行運(yùn)算，但有外角時(shí)，應(yīng)用外角性質(zhì)更簡(jiǎn)便，所以要改變?cè)瓉砹?xí)慣用三角形內(nèi)角和定理的思維定式，學(xué)會(huì)運(yùn)用外角性質(zhì)定理解決問題8三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)綜合運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)定理都反映了角之間的數(shù)量關(guān)系，在求角度數(shù)問題

11、中占有重要地位同樣平行線中也蘊(yùn)含了大量的角之間的關(guān)系(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ))，因此它們常常結(jié)合在一起，綜合應(yīng)用，通過角的等量轉(zhuǎn)化，以求角的度數(shù)或證明角相等解技巧 三角形內(nèi)角和、外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角、外角以及形成的鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角等都是通過圖形反映出來的，在已知中不提及，因此運(yùn)用時(shí)要注意觀察圖形，善于發(fā)現(xiàn)各角之間的位置關(guān)系，進(jìn)而確定它們的大小關(guān)系【例61】 在ABC中，A80，B60，則C_.解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180，直接減去A，B的度數(shù)即可得出C的度數(shù)答案：40【例62】 已知在ABC中，A40，BC40，則B_，C_.解析：由BC40得B40C.

12、根據(jù)三角形內(nèi)角和是180，列出等式ABCA40CC180，把A40代入，求得C50，進(jìn)而求得B90.答案：9050【例63】 在ABC中，ABC532，那么ABC是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形 D任意三角形解析：根據(jù)比例關(guān)系和三角形內(nèi)角和，設(shè)每一份為x ，那么A5x，B3x，C2x，所以5x3x2x180，解得x18，直接得出A90，所以ABC為直角三角形熟練后大家可以根據(jù)A所占的比例是整個(gè)比例中的一半，直接得出A90，所以ABC是直角三角形答案：B【例64】 銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角是A，B，C.如果AB，BC，CA，那么，這三個(gè)角中()A沒有銳角 B有1個(gè)銳角C有2個(gè)銳角 D有3個(gè)

13、銳角解析：因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以三角形中不存在鈍角和直角根據(jù)三角形內(nèi)角和是180可知，180減任何一個(gè)角都大于90，因此任意兩個(gè)角的和都是鈍角，因?yàn)?，都等于三角形兩?nèi)角的和，所以它們都是鈍角，只有A正確，故選A.答案：A【例7】 填空：(1)如圖(1)，P為ABC中BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，A50，B70，則ACP_.(2)如圖(2)所示，已知ABE142，C72，則A_，ABC_.(3)如圖(3)，3120，則12_.解析：(1)由三角形外角性質(zhì)可知ACPAB5070120.(2)由三角形外角性質(zhì)可知AABEC1427270；ABC與ABE互補(bǔ)，所以ABC38.(3)觀察圖形，根據(jù)三角形外

14、角性質(zhì)可知，1是三角形外角，124，4與3互為鄰補(bǔ)角，所以4180318012060，即1260.答案：(1)120(2)7038(3)60【例81】 如圖(1)，將一等邊三角形剪去一個(gè)角后，12等于()A120 B240 C300 D360解析：如圖(2)，由三角形外角性質(zhì)定理可知，135，234，所以123534.因?yàn)槿切螢榈冗吶切?，所?60，由三角形內(nèi)角和定理可知345180，所以1260180240，故選B.答案：B【例82】 如圖，ab，則下列式子中值為180的是()A BC D9.運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理判斷三角形形狀判斷三角形形狀是三角形問題中經(jīng)常遇到的題目，而判定三角形形狀方

15、法多樣，其中運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角，進(jìn)而判斷三角形形狀是最常用的方法因?yàn)槿切伟唇欠诸惪梢苑譃槿悾衡g角三角形、銳角三角形、直角三角形，此外根據(jù)角的度數(shù)還能判定等腰三角形、等邊三角形，因此根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出三角形某些角的度數(shù)，不僅可以按角分類判斷三角形的形狀，還可以按邊分類判斷三角形的形狀，進(jìn)而了解邊的大小關(guān)系解技巧 利用三角形內(nèi)角和確定三角形的形狀運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角判斷三角形形狀問題比求角度問題多一步判斷，但不同點(diǎn)是：判斷形狀不是求出所有角，而是根據(jù)所給三角形各內(nèi)角關(guān)系，求某些關(guān)鍵的角，一般是最大角，然后進(jìn)行判斷解析：如圖，因?yàn)閍b，所以2，1.由圖可知12180，得180，所

16、以A正確，故選A.答案：A【例91】 一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為237，這個(gè)三角形一定是()A直角三角形 B等腰三角形C銳角三角形 D鈍角三角形解析：設(shè)三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為2k，3k，7k，由三角形內(nèi)角和定理，得2k3k7k180，解得k15，所以2k30，3k45,7k105.所以這個(gè)三角形是鈍角三角形，故選D.答案：D【例92】 在ABC中，若A2B3C，試判斷這個(gè)三角形的形狀分析：根據(jù)A2B3C，可設(shè)Ax，那么Beq f(1,2)x，Ceq f(1,3)x，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180列方程求出x，再求出最大角的大小，即可判斷出三角形的形狀解：設(shè)Ax，則Beq f(1,2)x，Ceq f(

17、1,3)x，于是有xeq f(1,2)xeq f(1,3)x180，解得x98.2，即最大角A98.2.所以可知ABC是鈍角三角形10角平分線的夾角與三角形內(nèi)角關(guān)系的探究根據(jù)三角形的內(nèi)角和，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及角平分線的意義，可以探究有關(guān)角平分線的夾角問題(1)三角形的兩內(nèi)角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在ABC中，ABC的平分線與ACB的平分線交于點(diǎn)O，求BOC與A之間的關(guān)系結(jié)論：三角形兩內(nèi)角的平分線所夾的鈍角等于90加上第三角的一半，即BOC90eq f(1,2)A.(2)三角形兩外角的平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在ABC中，BP，CP分別是ABC的外角DBC和ECB的平分線，試探究

18、BPC與A的關(guān)系結(jié)論：三角形的兩個(gè)外角的平分線所夾的銳角等于90減去第三個(gè)角的一半，即BPC90eq f(1,2)A.(3)一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在ABC中，CE平分ACB，BE是ABC的外角ABD的平分線，試探究BEC與A的關(guān)系結(jié)論：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與外角平分線相交成的銳角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半，即BECeq f(1,2)A.【例101】 如圖，已知ABC，ABC的平分線與ACB的平分線交于點(diǎn)O，求BOC與A之間的關(guān)系分析：根據(jù)角平分線意義和三角形內(nèi)角和定理，采用整體代入方法，由BOC180(OBCOCB)，經(jīng)過代換得，BOC180eq f(1,2)ABC

19、eq f(1,2)ACB180eq f(1,2)(ABCACB)180eq f(1,2)(180A)，化簡(jiǎn)得出結(jié)論解：因?yàn)锽O，CO分別是ABC，ACB的平分線，所以O(shè)BCeq f(1,2)ABC，OCBeq f(1,2)ACB.因?yàn)锽OC180(OBCOCB)，所以BOC180eq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACB180eq f(1,2)(ABCACB)180eq f(1,2)(180A)90eq f(1,2)A.【例102】 如圖，BO，CO分別是ABC，ACB的兩條平分線，A100，則BOC的度數(shù)是()A80B90C120D140解析：根據(jù)以上結(jié)論可以直接得出BOC90eq f

20、(1,2)A90eq f(1,2)100140，故選D.答案：D【例103】 如圖所示，ABC的平分線和ABC的外角ACE的平分線交于點(diǎn)D，D30，A的度數(shù)是_；當(dāng)D_時(shí)，A的度數(shù)是90.解析：(1)題目符合“一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系”，所以Deq f(1,2)A，因此A2D23060；(2)同樣當(dāng)A90時(shí)，Deq f(1,2)A，所以D應(yīng)為45.答案：604511.與三角形有關(guān)的角的問題的一題多解由于用三角形外角性質(zhì)得到的結(jié)論都能用三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角定義推出，以及外角的多樣性和求角度的方法多樣性，因此這部分內(nèi)容中的題目解法多樣，很多題目解法都不唯一，例如：如圖(1)是由平面上五個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E連接而成，求ABCDE的度數(shù)是多少？由于每個(gè)角的度數(shù)都不知道，所以