淺談數(shù)學(xué)分析中有關(guān)數(shù)列極限的幾種求法

1、數(shù)列極限幾種求法初探梁德君XX師X學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院XX524048摘要：極限論是數(shù)學(xué)分析的根底，極限的問題一直是數(shù)學(xué)分析的困難之一，也是許多科學(xué)領(lǐng)域的重要思想之一，然而數(shù)列極限又是極限的根底。同時(shí)涉及數(shù)列極限的問題有很多，包括極限的求法，數(shù)列極限的證明，極限的存在等。因?yàn)闃O限的重要性，從而怎樣求極限也顯得尤其重要。一般極限還可以用定義來求，但對(duì)于一些復(fù)雜極限，直接按照極限的定義求就顯得非常困難，不僅計(jì)算量大，而且不一定能求出最終結(jié)果，下面初步總結(jié)了極限的幾種求法，并且以實(shí)例來加以說明。關(guān)鍵詞：數(shù)列極限，定義法，級(jí)數(shù)性法，迫斂性，單調(diào)有界原理，壓縮法，柯西判別法，錯(cuò)位法，拆分法，公式法，定

2、積分定義法，定積分性質(zhì)法，歸結(jié)原那么PreliminaryanalysisabouttheseveralmethodsofSeriesLimitLIANGDejun(Mathematicsandputationalscienceschool,ZhanjiangNormalUniversity,Zhanjiang,524048)Abstract:Thelimitisthebasisofmathematicalanalysis,limitquestionisalwaysoneofthedifficultiesofmathematicalanalysis,anditisalsooneoftheimp

3、ortantideasinmanyscientificfields.However,Serieslimitisthebasisofthelimit.Atthesametimetheproblemswhatrelatetoserieslimitareolot,includingtothemethodsoflimit,thepoorofserieslimit,theexistenceofsuchlimits.Becauseoftheimportanceoflimits,itisparticularlyimportanthowitisdone.Definitioncanbeusedtosolvege

4、nerallimit,butitisverydifficultforanumberofplexlimit.Notonlyittakesusmuchtimetosolveit,butalsowenotsuretogettheresults.Belowseveralmethodswillbedescribedandseveralexampleswillbeusedtoillustratethem.Keyword：Series-LimitDefinition-methodSeriesresistancemethodconvergence-propertymonotonicity-principlep

5、ression-processCauchysconvergencetestformula-methodDefiniteintegraldefinitionmethodDefiniteintegralpropertymethodPrinciplesboildown目錄 TOC o 1-5 h z 1、最根本最常用的方法一定義法32、迫斂性33、判別數(shù)列極限的幾種方法5柯西收斂準(zhǔn)那么5單調(diào)有界原理5兩種判別方法7有界變差數(shù)列7壓縮數(shù)列74、利用函數(shù)的某些性質(zhì)來求數(shù)列極限75、利用施篤茲公式以及其它方法求解9施篤茲公式求解9級(jí)數(shù)求解10定積分定義法12定積分性質(zhì)法12錯(cuò)位法13拆分法136、結(jié)語14

6、7、參考文獻(xiàn)141、最根本最常用的方法一定義法定義1設(shè)%為數(shù)列,a為實(shí)數(shù)，假設(shè)對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí)有|ana|,那么稱數(shù)列為收斂于a,實(shí)數(shù)a稱為數(shù)列an的極限，并記作nimana或ana(n).讀作：當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，an的極限等于a或an趨于a。由于n限于取正整數(shù)，所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把寫成n ，即lim an a或an n nna(n).lim 例1、設(shè)xXn aXn alim Xn。證明x n證明方法1：因?yàn)閘imxXn aXn a0。故0取Xn axn axn a2aXna.于是Xn a2a1limxa由的任意性x證明方法2:.Xn a.limx Xn alim

7、(1 2a ) 0 xXn a2alim1,從而limxnaxXnax0；小結(jié)：設(shè)通過此例總結(jié)出運(yùn)用“-N”論證法的大致步驟：1任意給定2令 Xn A;3推出n();4取N(),再用-N語言順述并得出結(jié)論2、迫斂性定理2.1迫斂性設(shè)收斂數(shù)列an,bn都以a為極限，數(shù)列Cn滿足存在正整數(shù)N0,當(dāng)nNn時(shí)有，anbnCn,那么數(shù)列cn收斂，且limcna。n TOC o 1-5 h z nkk例2、求極限lim(1-)sin。nkinn二、解法1容易發(fā)現(xiàn)直接化為黎曼和的形式有困難.注意到sinx_x+O(x3),nkk由于|1O(kk1n33)|nn2Ck10,(nk sin 2 nnlimn k

8、 1 TOC o 1-5 h z nk所以lim1-nk1nnlimnk1(k1o(XX2)dX56解法2利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)那么利用xsink sin n33k1kk1n$6k1(1ksinnn由于|k 1k k3 31 |n nnk332-0,(nk1nnlim1nk1kk2-limnnnk2)-n10(xx2)dx所以limnk、k5(1)sinr一nn6思考題華南師大200所考研真題n-2-n 2n12求證lim(22xnn1nn2小結(jié)：運(yùn)用此法的關(guān)鍵將 適當(dāng)放大與縮小，一般是從數(shù)列an出發(fā)，將其通項(xiàng)放大后得數(shù)列，縮小后得數(shù)列bn,并使為與bn的極限都存在且相等,放縮的技巧根本上類似應(yīng)用-N

9、定義證數(shù)列極限時(shí)的常用方法，關(guān)鍵是掌握不等式的放縮的各種方法。但大多數(shù)數(shù)列并不是有一定規(guī)律的或很容易使用迫斂性就可以求之的，而且 TOC o 1-5 h z 有的數(shù)列是有極限還得進(jìn)展判斷，這時(shí)就得引入判別數(shù)列極限存在的定理。3、判別數(shù)列極限存在的幾種方法定理3.1柯西收斂準(zhǔn)那么：數(shù)列收斂的充分必要條件是任給0,存在N(),使得當(dāng)nN,mN時(shí)，都有樂an成立。例3、證明cosn發(fā)散。證法一：取02cos210,nN,取n02N1,m02N1,那么n0,mbN,而|cosn0cosm0|2sin32mlsin電#差化積2( N 1)2(N 1)m0n0=2 sin2.2( N 1)2(N 1) m

10、0 n0sin2=2sin-m2 n0 sinm0n02sin 2 1 sin 22.=2cos10.方法二反證法假設(shè)cosn收斂，記Alimncosn ,故 lim cos(nn2) A.又因cos(n 2) cosn2sin(n 1).B lim sin(n 1)nA lim 1nsin2(n 1)v1 021。而 cos(n2) cosn 2 cos(n1)cos1,于上式兩邊取極限得2A2Acos1,得A0,這與A1矛盾。從而可證數(shù)列cosn發(fā)散。定理3.2單調(diào)有界原理在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。,(n 1,2,.),試證：xn收斂，并求 lim xn。例4、設(shè)Xr1,xn1x

11、n1xn證明令f(x)x，那么有f(x)1xf(x)在(0,)上是嚴(yán)格遞減的；當(dāng)時(shí),廠時(shí),f(x)；彳貿(mào)設(shè)X1x2n 11,2,)；將xn 1一殳代入xn1 xnxn 1/日、,2,行 x1xn 12 (1 )xn(1) 24由xn 22(1xn,八(1) 2xn)xnxn2(1)2xn )2xn得X2n1單調(diào)遞減，X2n單調(diào)遞增,設(shè) lim x2nl a ,nlim x2nb ,n在x2nx2n 11 x2n 1x2n 1包中，令1 x2nn取極限, TOC o 1-5 h z 得ba,a一b,從而有ab1，故limxn廠1a1bn或者注意到Xni-xn1a-11,我們有1Xn1xn當(dāng)xn而

12、時(shí)，Xn11aL1(目1)Ta,1.a當(dāng)xn而時(shí)，Xn11尸1(v/aDVa,1.a于是44a1,知x2n1Ta,1x2n7a,(n1,2,.)往證x2n1遞減，x2n遞增，實(shí)際上定理3.4任意壓縮數(shù)列Xn一定收斂。從xk 1a_中，解出xk1 xka xk 1xk 11xk 2xka xk 1 axk 11xk 1xk 112(xk 1a)(xk 1. a)(1 xk1)(xk1 1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，xk 2 xk 0 ,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，xk 2 xk 0 ,從而由單調(diào)有界原理，存在b,c 1,k使得lim&n1 n在 x2n 1a-2n, x2nJ2中，令n，取極限，有1 x2n1x2n 1,

13、 a ca bb , c ,1 c1 b解之得b c72 ,故lim %Ta on小結(jié)：這種方法無需知道有限，只根據(jù)數(shù)列本身的性質(zhì) （單調(diào)、有界），即可知極限存在，然后在關(guān)系式兩邊取極限得一方程， 解得數(shù)列極限值，這是單調(diào)有界原理證明極限存在和求極限的典型方法 C但此法有很大的局限性，只適用于判定單調(diào)數(shù)列的收斂性，判別任一數(shù)列的收斂性還有下面的方法。定理3.3有界變差數(shù)列xn 一定收斂。于是我們想求數(shù)列極限時(shí)可以試著構(gòu)造有界變差數(shù)列、壓縮數(shù)列，進(jìn)而利用以上兩個(gè)定理加以求之。具體的使用在以上的兩個(gè)例子中都有表達(dá)，在這里就不再加以詳細(xì)指出。4、利用函數(shù)的某些性質(zhì)來求數(shù)列極限定理4.1歸結(jié)原那么設(shè)f

14、在U0(%;d)內(nèi)有定義，limf(x)存在的充要XX0條件是：對(duì)任何含于u(%；d)且以X。為極限的數(shù)列xn,極限nimf(xn)者B存在且相等。5、求 lim n lnn解：解：原式1 n =lim n, n 1ln 1lim n 1 、, nnn n小結(jié)1：從以上可以看歸結(jié)原那么研究的是數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系，同樣也有利用數(shù)列極限與函數(shù)極限等值關(guān)系來求極限，這種方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式的極限，而后回代，從而求出數(shù)列極限的一種方法。例6：華南師大1997年考研真題假設(shè)a,b,cX TOC o 1-5 h z 111x111XXXXXX解先考慮lnabxln-b33而limxlnXaxb

15、xcx111lnaXbXcXln3=limX=limX=limXlimn1axIna112blnbX11aX薩31-2X1cxlnclnc1.=-lnabc3=limn111XXXabc1xlnax11bxc=limnInabcIn=e1abc31=abc34.2、利用重要公式求極限或者轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限例7:求limn.1sin.nlimn=limn1sin一n1sinn1=limn.1sin一n1=limn例8:求極限解limxasinxsina.1sinnTlimxasinxsina=limxa1sinxsinaxasina=limxaxa.x2cossin一22sinasinacosac

16、osasina=limxaxa2cosasin2sinasinacosa(xa)cosasina=limxaxa2cosasin2sinasinacosa(xa)ctgactga.=esin小結(jié)2以上是利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限,要極限的形式和其值的根底上，對(duì)所求式子作適當(dāng)變形,此方法必須在牢記重從而到達(dá)求其極限的目的，這種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚浴?、利用施篤茲stolz公式及其他一些方法求解數(shù)列數(shù)列極限我們所學(xué)的施篤茲stolz）公式也是求數(shù)列極限的一種有利工具，但需要滿足一定的條件:假設(shè)數(shù)列yn單調(diào)遞增趨于，limxn1xnA可以為無窮大，“yn1yn那么limaA,有了這樣的

17、公式我們?cè)诮鉀Q一類數(shù)列極限時(shí)可以簡便求出其解。nynxnxn1定理5.1stolz假設(shè)1limllimnxnxn 1ynyn 1yn嚴(yán)格增大，且無界；（2）nynyn1那么：收斂，且lim士ynnyn例 9、設(shè) lim n(An An 1)nA A2Alim Anlim。lim A-AAn 存 在時(shí)，nn證明：因?yàn)锳n （AnAn)Ann用 lim n(An An 1) 0 ,特令 ai nnA,a2 A2,只須證明第一項(xiàng)趨于0,為了利A,an An An 1 ,那么可知lim nan 0,且 An (An An) (An An 2) n(A2A1) A = an an 1al于是由stolz

18、公式有,A A2An、lim (An )nn網(wǎng)a-a，,a j)n(a1a2an )nima22a3nn應(yīng)用她厄公式.(n1)an.(n1)limlimnan0nn(n1)nn小結(jié)：使用施篤茲公式可解決一類比擬復(fù)雜的數(shù)列極限，然而有些數(shù)列是更顯復(fù)雜的，也不滿足已有的條件，這時(shí)就得另尋他法，我們注意到有時(shí)所求數(shù)列極限跟數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系，于是我們就可以考慮是否可轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)類而求之？下面的例子就說明可以轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)的形式。5.2、級(jí)數(shù)性質(zhì)法n2kk!(n1)從而Jn!收斂n1n因此原式limn2kk!kkn=0思考：求極限limn(nn1)(nlnnXX大學(xué)199處數(shù)學(xué)分析考研真題5.斯積分定

19、義法1一例11、求lim-n/n(n1)(2n1)nnXX大學(xué)201北研真題1一解法一、因?yàn)閚n(n1)(2n1)n(1U)=enln(10)ln(1由ln(1%)ln(17)ln(1節(jié)ln(1是ln(1x）在0,1上的特殊積分和，又101n(1x)dxxln(1x)01xdxln2x10(1一）dxx=In211-01dxxIn2ln(1x)02ln21于是原式limnn(n1)(2n1)=nnlimln(1n)ln(1enln(1叩)2ln214ee54定積分性質(zhì)法4e例12、求limn013x-dxx華南師大199程研真題解：因?yàn)?013xdxx1nx01dx0(n)n1所以limn3d

20、x01xx例1&求limn0Tsinnxdx。解:0(2),200sinnxdx2?nsinxdx0sinnxdx因?yàn)閘imsinn(萬-2)n0,所以當(dāng)n充分大時(shí),-2.n,0sinxdx055錯(cuò)位法例14求|im6審)。解：lim(1京n22n2n1)=lim2仁,n22nA122n)(222=limn2n-11嚴(yán)23222n-32n-1=limn2n-12n-32n-1-2=limn122n12122=lim1n=lim1212-r2協(xié)2n=lim32n-2次2r TOC o 1-5 h z =lim33-12普n2n=lim33lim22limf3.nnn2思考題求lim 4 p:a

21、1。華南師大1997年考研真題 a小結(jié)：可以看成分母為同底數(shù)幕,分子為奇數(shù)的級(jí)數(shù)求和，把級(jí)數(shù)的分子轉(zhuǎn)化為同一個(gè)數(shù)和“1，然后再分項(xiàng)求極限56拆分法例8、求limln(1)ln(1-2)ln(14)。華南師大199考研真題n23n解：因?yàn)閘n(12)lnFln*,于是ln(1表)ln(1點(diǎn))ln(1-2)23nfln3ln4lnU)(ln1ln2ln-n-)n2n3nn)(in2n3nn)ln*ln1ln叩ln2故原式=limlnnn1ln2ln2n6、結(jié)語本文就數(shù)列極限的幾種求法進(jìn)展了初步探討，從上文可以看出要想求出一些數(shù)列的極限，而在題目中沒有明顯指出極限存在的條件下我們先判別數(shù)列的存在進(jìn)而求之，在文中已經(jīng)介紹了幾種判別法，在求解的過程中，先從出發(fā)