11-121數(shù)學(xué)分析1期末試卷參考答案及評(píng)分格式b

1、中國計(jì)量學(xué)院 2011 2012 學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)分析（1）課程試卷（B）參考及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)開課二級(jí)學(xué)院：理學(xué)院，學(xué)生班級(jí)：11 信算 1,2,3,數(shù)學(xué) 1 教師：、韓亞洲一、計(jì)算題（前 9 題每題 5 分，最后一題分，共 52 分）1. lim2 4 2 8 2L2 2 nn n解： 原式 lim 212 2 （5 分）x x a x a 02.limx ax2 a2x ax a x a 0 （5 分）解： 原式 limx 1 113. limn2 1n2 2L n n2 n n111n解：QL（2 分）n2 nn2 1n2 2n2 nn2 1nn lim 1 （4 分）limnn2 nn n2

2、 1原式 1 （5 分）4. 用歸結(jié)原則證明lim sin 1 發(fā)散x 0 x證： x , sin 11 0k （2 分）k2kxk1, sin 1yk 1k （4 分）y 2k k2由歸結(jié)原則知發(fā)散.（5 分）lim tan xtan 2 x5.x 4ln tantan 2x 0 （4 分）解： lim4x原式 1（5 分）數(shù)學(xué)分析（1）課程試卷（B）參考及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第 1 頁共 4 頁2ex 1limcos x 16.x02ex 2x解： 原式 lim 2 （5 分）sin xdy dxx07. 設(shè) y xsin x ，求dy解：dx（5 分）x a t sin t dy d 2 y，求,8

3、. 設(shè)y a 1 cos t2dx dxdysin t解：（2 分）dx1 cos t1a 1 cos t 2d 2 y （5 分）dx29. cos x cos 2xdx11612解： 原式=cos 3x cos x C （5 分）210. 證明數(shù)列1 1 L 1 收斂123333n證：顯然單調(diào)遞增，下證有上界.（2 分）111n 1 n 2 （6 分）x 1 Ln1 22 3由單調(diào)有界定理知收斂（7 分）x2 1 2二、（7 分） 語言證明： lim2 x 1 3x 1 2x證：當(dāng)0 x 1 1 時(shí)有（3 分）2x 1 33對(duì) 0 ，取 min1,3 ，當(dāng)0 x 1 時(shí)有 （6 分）2x

4、1 33x2 12故lim（7 分）x 1 2x2 x 1 32三、（10 分）函數(shù) y ex 的性態(tài)（定義域、單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、凸性區(qū)間、拐點(diǎn)、漸近數(shù)學(xué)分析（1）課程試卷（B）參考及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第 2 頁共 4 頁32x 132x 1線），并作圖解：定義域, ，偶函數(shù)，與坐標(biāo)軸交與0,1 （分）y 2xex2 ,y 2 2x2 1ex2 （分）漸近線 y 0 （分）作圖如下：（分）四、（8 分）試確定 a、b 使得 f x x sin x a,x 0 在 x 0 可導(dǎo)b ln 1 x,x 0f 0 0 f 0 0 ，從而 f 0 a 0 （4 分）解：由題意知f 0 f 0 2 ，故b 2 （8

5、 分）又b 2五、（7 分）證不等式： e1 x x ，其中 x 0 x 2解：令 f x ex x 0 （2 分），則f x ex 1 x, f x ex 1 0,（7 分）x 0 x 0（5 分）結(jié)合 f 0 f 0 0 可證.x 0六、（8 分）設(shè) f(1) 任取 x1, x2 1, , 試證存在常數(shù) M 0 使得f x1 f x2 Mx1 x2數(shù)學(xué)分析（1）課程試卷（B）參考及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第 3 頁共 4 頁x02 0, 2 222 , 2y0y0y極大值 1減凹拐點(diǎn) 2 1 ,e 2 2減凸f x 在0, 上一致連續(xù)(2) 試證f x 1 ，由 Lagrange 中值定理得證（4 分）證：(1) 任取 x 1，有2f x 在0,1上一致連續(xù)，利用(1)的結(jié)論知在1, 上一致連續(xù)，從而可證結(jié)(2) 注意到論成立（8 分）七、（8 分）設(shè) f x 在a,b 上三階可導(dǎo)，且 f a 0 ， f b 0 ，并存在c a,b 使得f c max f x 0a x b證明存在 , a,b 使得 f f 0 .證明：當(dāng) f a f b 0 時(shí)，則存在 a,b 使得 f 0 .(1)(2)證：(1)由 Lagrange 中值定理知存在 a, c, c,b 使得f f c f a 0,f f c f b 0. （4 分）c