計量經(jīng)濟學課件3.6受約束回歸

1、3.6 受約束回歸 在建立回歸模型時，有時根據(jù)經(jīng)濟理論需對模型中變量的參數(shù)施加一定的約束條件。 如： 0階齊次性 條件的消費需求函數(shù) 1階齊次性 條件的C-D生產(chǎn)函數(shù) 模型施加約束條件后進行回歸，稱為受約束回歸（restricted regression）; 不加任何約束的回歸稱為無約束回歸（unrestricted regression）。受約束回歸 一、模型參數(shù)的線性約束 二、對回歸模型增加或減少解釋變量 三、參數(shù)的穩(wěn)定性 *四、非線性約束 一、模型參數(shù)的線性約束對模型施加約束得或(*)(*)如果對（*）式回歸得出則由約束條件可得： 然而，對所考查的具體問題能否施加約束？需進一步進行相應(yīng)的

2、檢驗。常用的檢驗有： F檢驗、x2檢驗與t檢驗， 主要介紹F檢驗在同一樣本下，記無約束樣本回歸模型為受約束樣本回歸模型為于是 受約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSR于是ee為無約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSU(*) 受約束與無約束模型都有相同的TSS由（*）式 RSSR RSSU從而 ESSR ESSU這意味著，通常情況下，對模型施加約束條件會降低模型的解釋能力。 但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR 與 RSSU的差異變小?？捎肦SSR - RSSU的大小來檢驗約束的真實性 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學的知識：于是： 討論： 如果約束條件無效， RSSR

3、 與 RSSU的差異較大，計算的F值也較大。 于是，可用計算的F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。注意，kU - kR恰為約束條件的個數(shù)。 例3.6.1 中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求實例中，對零階齊次性檢驗： 取=5%，查得臨界值F0.05(1,10)=4.96 判斷：不能拒絕中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。 無約束回歸:RSSU=0.00324， kU=3 受約束回歸:RSSR=0.00332， KR=2 樣本容量n=14， 約束條件個數(shù)kU - kR=3-2=1這里的F檢驗適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗如：多元回歸

4、中對方程總體線性性的F檢驗： H0： j=0 j=1,2,k這里：受約束回歸模型為這里，運用了ESSR 0。 二、對回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個回歸模型(*)(*)(*)式可看成是（*）式的受約束回歸：H0：相應(yīng)的統(tǒng)計量為： 如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1, , Xk+q對沒有解釋能力，則統(tǒng)計量較??； 否則，約束條件為假，意味著額外的變量對有較強的解釋能力，則統(tǒng)計量較大。 因此，可通過F的計算值與臨界值的比較，來判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。討論： 統(tǒng)計量的另一個等價式 三、參數(shù)的穩(wěn)定性 1、鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗 建立模型時往往希望模型的參數(shù)是穩(wěn)定的，即所謂的結(jié)構(gòu)不變，這將提

5、高模型的預測與分析功能。如何檢驗？ 假設(shè)需要建立的模型為在兩個連續(xù)的時間序列（1,2,，n1）與（n1+1,，n1+n2）中，相應(yīng)的模型分別為： 合并兩個時間序列為( 1,2,，n1 ，n1+1,，n1+n2 )，則可寫出如下無約束回歸模型 如果=，表示沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)變化，因此可針對如下假設(shè)進行檢驗： H0: =(*)式施加上述約束后變換為受約束回歸模型(*)（*）因此，檢驗的F統(tǒng)計量為： 記RSS1與RSS2為在兩時間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗證，于是參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗步驟： （1）分別以兩連續(xù)時間序列作為兩個樣本進行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方： RSS1與RSS2 （2）將兩序列并為

6、一個大樣本后進行回歸，得到大樣本下的殘差平方和RSSR （3）計算F統(tǒng)計量的值，與臨界值比較： 若F值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定的。 該檢驗也被稱為鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗（Chow test for parameter stability）。 2、鄒氏預測檢驗 上述參數(shù)穩(wěn)定性檢驗要求n2k。 如果出現(xiàn)n2F(n2, n1-k-1) ，則拒絕原假設(shè)，認為預測期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。 例3.6.2 中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求的鄒氏檢驗。 1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗19811994：RSS1=0.003240 19952001： (9.96) (7.14) (-5.13) (1.81

7、) 19812001: (14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17) 給定=5%，查表得臨界值F0.05(4, 13)=3.18 判斷：F值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在1994年前后發(fā)生了顯著變化。 2、鄒氏預測檢驗給定=5%，查表得臨界值F0.05(7, 10)=3.18判斷： F值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè) *四、非線性約束 也可對模型參數(shù)施加非線性約束,如對模型施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型: 該模型必需采用非線性最小二乘法（nonlinear least squares）進行估計。 非線性約束檢驗是建立在最大似然原理

8、基礎(chǔ)上的,有最大似然比檢驗、沃爾德檢驗與拉格朗日乘數(shù)檢驗.1、最大似然比檢驗 (likelihood ratio test, LR) 估計:無約束回歸模型與受約束回歸模型， 方法:最大似然法， 檢驗:兩個似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。 記L(,2)為一似然函數(shù):無約束回歸 : Max:受約束回歸 : Max:或求極值： g():以各約束條件為元素的列向量, ：以相應(yīng)拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量 約束：g()=0 受約束的函數(shù)值不會超過無約束的函數(shù)值，但如果約束條件為真，則兩個函數(shù)值就非常“接近”。 由此，定義似然比（likelihood ratio）: 如果比值很小，說明兩似然函數(shù)值差距較大

9、，則應(yīng)拒絕約束條件為真的假設(shè)； 如果比值接近于，說明兩似然函數(shù)值很接近，應(yīng)接受約束條件為真的假設(shè)。 具體檢驗時，由于大樣本下： h是約束條件的個數(shù)。因此： 通過LR統(tǒng)計量的2分布特性來進行判斷。 在中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費需求例中，對零階齊次性的檢驗： LR= -2(38.57-38.73)=0.32 給出=5%、查得臨界值20.05(1)3.84， 判斷： LR 20.05(1),不拒絕原約束的假設(shè)， 表明:中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。 、沃爾德檢驗（Wald test, W） 沃爾德檢驗中，只須估計無約束模型。如對 在所有古典假設(shè)都成立的條件下，容易證明 因此，

10、在1+2=1的約束條件下 記 可建立沃爾德統(tǒng)計量: 如果有h個約束條件，可得到h個統(tǒng)計量z1,z2,zh 約束條件為真時，可建立大樣本下的服從自由度為h的漸近2 分布統(tǒng)計量 其中，Z為以zi為元素的列向量，C是Z的方差-協(xié)方差矩陣。 因此，W從總體上測量了無約束回歸不滿足約束條件的程度。 對非線性約束，沃爾德統(tǒng)計量W的算法描述要復雜得多。 3、拉格朗日乘數(shù)檢驗 拉格朗日乘數(shù)檢驗則只需估計受約束模型. 受約束回歸是求最大似然法的極值問題: 是拉格朗日乘數(shù)行向量，衡量各約束條件對最大似然函數(shù)值的影響程度。 如果某一約束為真，則該約束條件對最大似然函數(shù)值的影響很小，于是，相應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)的值應(yīng)接近于零。 因此，拉格朗日乘數(shù)檢驗就是檢驗某些拉格朗日乘數(shù)的值是否“足夠大”，如果“足夠大”，則拒絕約束條件為真的假設(shè)。 拉格朗日統(tǒng)計量LM本身是一個關(guān)于拉格朗日乘數(shù)的復雜的函數(shù)，在各約束條