高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（知識點歸納與總結(jié)）圓的方程

1、eq avs4al(第三節(jié)圓的方程) 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.掌握確定圓的幾何要素2.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.圓的方程、圓心坐標(biāo)、半徑、圓的性質(zhì)等是高考考查圓的基礎(chǔ)知識時最常涉及的要素大多以選擇題或填空題的形式考查，有時也會穿插在解答題中，如x年xTx等.歸納知識整合1圓的定義(1)在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓(2)確定一個圓的要素是圓心和半徑2圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程兩個條件：圓心(a，b)，半徑r；標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程一般方程：x2y2DxEyF0；方程表示圓的充要條件為：D2E24F0；圓心坐標(biāo)eq blc(rc)(av

2、s4alco1(f(D,2)，f(E,2)，半徑req f(r(D2E24F),2).探究1.方程x2y2DxEyF0一定表示圓嗎？提示：不一定只有當(dāng)D2E24F0時，上述方程才表示圓2如何實現(xiàn)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化？提示：一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化，可用下圖表示：eq x(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程)eq o(,sup7(展開),sdo5(配方)eq x(圓的一般方程)3點與圓的位置關(guān)系(1)理論依據(jù)：點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系(2)三個結(jié)論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點M(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2點在圓上；(x0a)2(y0b)2r2點在圓外；(x0a)2(y0b)2r2

3、點在圓內(nèi)自測牛刀小試1(教材習(xí)題改編)圓x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是()A(2,3)B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：選D圓的方程可化為(x2)2(y3)213，所以圓心坐標(biāo)是(2，3)2已知方程x2y22kx4y3k80表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍是()A1k4 B4k1Ck1 Dk4解析：選D由(2k)2424(3k8)4(k23k4)0，解得k4.3若點(2a，a1)在圓x2(y1)25的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A1a1 B0a1C1aeq f(1,5) Deq f(1,5)a1解析：選A點(2a，a1)在圓x2(y1)25的內(nèi)部，(2a)2a25，解得1a0)，則eq

4、blcrc (avs4alco1(2545D2EF0，,943D2EF0，,2blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)f(E,2)30，)解得D4，E2，F(xiàn)5.所求圓的方程為x2y24x2y50.(2)根據(jù)題意可知圓心坐標(biāo)為(1,0)，圓的半徑長為eq f(|103|,r(2)eq r(2)，故所求圓C的方程為(x1)2y22.答案(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x1)2y22求圓的方程的兩種方法求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來說，求圓的方程有兩種方法：幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量eq avs4al(代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程

5、，用待定系數(shù)法求解.,若條件中圓心坐標(biāo)明確時，常設(shè)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不明確時，常設(shè)為一般方程.)1求下列圓的方程：(1)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點P(3，2)；(2)過三點A(1,x)，B(7,10)，C(9,2)解：(1)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，則有eq blcrc (avs4alco1(b4a，,3a22b2r2，,f(|ab1|,r(2)r，)解得a1，b4，r2eq r(2).故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.法二：過切點且與xy10垂直的直線為y2x3.與y4x聯(lián)立可得圓心為(1，4)，所以半徑req r(132422)2eq r(2

6、).故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.(2)法一：設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0.則eq blcrc (avs4alco1(1144D12EF0，,491007D10EF0，,8149D2EF0，)解得D2，E4，F(xiàn)95，所以所求圓的方程為x2y22x4y950.法二：由A(1,x)，B(7,10)得AB的中點坐標(biāo)為(4,x)，kABeq f(1,3)，則AB的中垂線方程為3xy10.同理得AC的中垂線方程為xy30.聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(3xy10，,xy30，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y2，)即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑req r

7、(1122122)10，所以所求圓的方程為(x1)2(y2)2100.與圓有關(guān)的最值問題例2已知實數(shù)x、y滿足方程x2y24x10，求：(1)eq f(y,x)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值自主解答(1)原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，eq r(3)為半徑的圓，eq f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq f(y,x)k，即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq f(|2k0|,r(k21)eq r(3)，解得keq r(3).所以eq f(y,x)的最大值為eq r(3)，最小

8、值為eq r(3).(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當(dāng)直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，解得b2eq r(6).所以yx的最大值為2eq r(6)，最小值為2eq r(6).(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離為eq r(202002)2，所以x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).本例條件不變，求點P(x，y)到直線3x4yx0的距離的最大值和最

9、小值解：圓心(2,0)到直線3x4yx0的距離為deq f(|612|,5)eq f(18,5)，P(x，y)到直線3x4yx0的距離的最大值為eq f(18,5)eq r(3)，最小值為eq f(18,5)eq r(3). 與圓有關(guān)的最值問題及解題方法(1)形如ueq f(yb,xa)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為定點(a，b)與圓上的動點(x，y)的斜率的最值問題；2形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；3形如xa2yb2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的最值問題.2由方程x2y2x(m1)yeq f(1,2)m20所確定的圓中，最大面積是多少？解：由題意知，r2eq

10、f(1m124f(1,2)m2,4)eq f(m22m2,4)，所以當(dāng)m1時，req oal(2,max)eq f(3,4)，所以Smaxr2eq f(3,4).與圓有關(guān)的軌跡問題例3已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ中點的軌跡方程自主解答(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x2,2y)因為P點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|，設(shè)O為坐

11、標(biāo)原點，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.求軌跡方程的一般步驟(1)建系設(shè)點：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動點坐標(biāo)為(x，y)；(2)列式：列出幾何等式；(3)坐標(biāo)化：用坐標(biāo)表示得到方程；(4)化簡：化簡幾何等式得到的方程；(5)證明作答：除去不合題意的點，作答3如圖，已知點A(1,0)與點B(1,0)，C是圓x2y21上的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|BC|，求AC與OD的交點P的軌跡方程解：設(shè)動點P(x，y)，由題意可知P是ABD的重心由A(1,0)，B(1,0)，

12、令動點C(x0，y0)，則D(2x01,2y0)，由重心坐標(biāo)公式得，eq blcrc (avs4alco1(xf(112x01,3)，,yf(2y0,3)，)則eq blcrc (avs4alco1(x0f(3x1,2)，,y0f(3y,2)y00，)代入x2y21，整理得，所求軌跡方程為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,3)2y2eq f(4,9)(y0)1種方法待定系數(shù)法求圓的方程(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已

13、知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值3個性質(zhì)常用到的圓的三個性質(zhì)在解決與圓有關(guān)的問題時，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡潔明了，簡化思路，簡便運算(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任意一弦的垂直平分線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線. 創(chuàng)新交匯高考中與圓有關(guān)的交匯問題1近年來高考對圓錐曲線的要求相對降低，因此圓的相關(guān)問題成了高考命題的一個新熱點圓的性質(zhì)使其具有很強的交匯性，對圓的考查可以與集合、直線、向量、三角函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃等知識交匯命題2對于這類問題，要特別注意圓的定義及其性質(zhì)的運用，同時要有豐富的相關(guān)知識儲備，解題時只有做到平心靜氣

14、地認真研究，不斷尋求解決問題的方法和技巧，才能真正把握好問題典例(xx高考)設(shè)集合Aeq blcrc(avs4alco1(x，yblc|rc (avs4alco1(f(m,2)x22y2m2，x，yR)，B(x，y)|2mxy2m1，x，yR若AB，則實數(shù)m的取值范圍是_解析由題意知A，則eq f(m,2)m2，即m0或meq f(1,2).因為AB，則有：(1)當(dāng)2m12，即m2，即m1時，圓心(2,0)到直線xy2m的距離為d2eq f(|22m|,r(2)|m|，化簡得m24m20，解得2eq r(2)m2eq r(2)，所以10，b0)始終平分圓C：x2y28x2y10，則ab的最大值

15、為()A4B2C1 D.eq f(1,4)解析：選C圓C的圓心坐標(biāo)為(4，1)，則有4ab40，即4ab4.所以abeq f(1,4)(4ab)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4ab,2)2eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,2)21.當(dāng)且僅當(dāng)aeq f(1,2)，b2時取等號2如果點P在平面區(qū)域eq blcrc (avs4alco1(2xy20，,x2y10，,xy20)上，點Q在曲線x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值為_解析：由點P在平面區(qū)域eq blcrc (avs4alco1(2xy20，,x2y10，,xy20)上

16、，畫出點P所在的平面區(qū)域由點Q在圓x2(y2)21上，畫出點Q所在的圓，如圖所示記Q所在曲線的圓心為點M(0，2)，又(1,0)為圖中的陰影區(qū)域的左頂點，(1,0)與M的連線垂直于陰影區(qū)域的下邊界因此，|PQ|的最小值為圓心(0，2)到直線x2y10的距離減去半徑1.又圓心(0，2)到直線x2y10的距離為eq f(|0221|,r(1222)eq r(5)，此時垂足(1,0)在滿足條件的平面區(qū)域內(nèi)，故|PQ|的最小值為eq r(5)1.答案：eq r(5)1一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1若直線2xya0與圓x2y22x4y0的相切，則a的值為()Aeq r(5)B5C3

17、 D3解析：選B圓的方程可變?yōu)?x1)2(y2)25，因為直線與圓相切，所以eq f(|a|,r(5)eq r(5)，即a5.2已知圓C：x2y2mx40上存在兩點關(guān)于直線xy30對稱，則實數(shù)m的值是()A8 B4C6 D無法確定解析：選C因為圓上兩點A，B關(guān)于直線xy30對稱，所以直線xy30過圓心eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)，0)，從而eq f(m,2)30，即m6.3已知兩定點A(2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A B4C8 D9解析：選B設(shè)P(x，y)，由題意知有，(x2)2y24(x1)2y2，

18、整理得x24xy20，配方得(x2)2y24.可知圓的面積為4.4(x廣州模擬)若圓心在x軸上，半徑為eq r(5)的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x2y0相切，則圓O的方程是()A(xeq r(5)2y25 B(xeq r(5)2y25C(x5)2y25 D(x5)2y25解析：選D設(shè)圓心為(a,0)(a0)上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及x軸都相切的圓的方程是()Ax2y2x2yeq f(1,4)0Bx2y2x2y10Cx2y2x2y10Dx2y2x2yeq f(1,4)0解析：選D拋物線y22x(y0)的準(zhǔn)線為xeq f(1,2)，圓與拋物線的準(zhǔn)線及x軸都相切，則圓心在直線yxeq f(1,2)(y

19、0)上，與y22x(y0)，聯(lián)立可得圓心的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)，半徑為1，則方程為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2(y1)21，化簡得x2y2x2yeq f(1,4)0.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7(x開封模擬)若PQ是圓O：x2y29的弦，PQ的中點是M(1,2)，則直線PQ的方程是_解析：由圓的幾何性質(zhì)知kPQkOM1.kOM2，kPQeq f(1,2)，故直線PQ的方程為y2eq f(1,2)(x1)，即x2y50.答案：x2y508(x金華十校聯(lián)考)已知圓C的半徑為1，圓心在x象限，與y軸相

20、切，與x軸相交于點A、B，且ABeq r(3)，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：依題可設(shè)C：(x1)2(yb)21(b0)，且eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2b21，可解得beq f(1,2)，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)21.答案：(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)219定義：若平面點集A中的任一個點(x0，y0)，總存在正實數(shù)r，使得集合eq blcrc(avs4alco1(x，y|r(xx02yy02)0)；eq blcrc(avs4alco1(x，y|xy|6)；eq blc

21、rc(avs4alco1(x，y|0 x2yr(2)21).其中是開集的是_(請寫出所有符合條件的序號)解析：集合eq blcrc(avs4alco1(x，y|r(xx02yy02)r)表示以(x0，y0)為圓心，以r為半徑的圓面(不包括圓周)，由開集的定義知，集合A應(yīng)該無邊界，故由表示的圖形知，只有符合題意答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)10已知圓C和直線x6y100相切于點(4，1)，且經(jīng)過點(9,6)，求圓C的方程解：因為圓C和直線x6y100相切于點(4，1)，所以過點(4，1)的直徑所在直線的斜率為eq f(1,f(1,6)6，其方程為y16(x4)，即y6x

22、23.又因為圓心在以(4，1)，(9,6)兩點為端點的線段的中垂線yeq f(5,2)eq f(5,7)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(13,2)，即5x7y500上，則eq blcrc (avs4alco1(y6x23，,5x7y500，)解得圓心為(3,5)，所以半徑為(93)2(65)2eq r(37)，故所求圓的方程為(x3)2(y5)237.x已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|4eq r(10).(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程解：(1)直線AB的斜率k1，AB的中點坐標(biāo)為(1,2)，直線C

23、D的方程為y2(x1)，即xy30.(2)設(shè)圓心P(a，b)則由P在CD上得ab30.又直徑|CD|4eq r(10)，|PA|2eq r(10).(a1)2b240.由解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b6，)或eq blcrc (avs4alco1(a5，,b2.)圓心P(3,6)或P(5，2)圓P的方程為(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.x在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線xeq r(3)y4相切(1)求圓O的方程；(2)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍解：(1)依題設(shè)，圓O的半徑r

24、等于原點O到直線xeq r(3)y4的距離，即req f(|4|,r(13)2，所以圓O的方程為x2y24.(2)由(1)知A(2,0)，B(2,0)設(shè)P(x，y)，則|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列得，eq r(x22y2) eq r(x22y2)x2y2，即x2y22.(2x，y)(2x，y)x24y22(y21)，由于點P在圓O內(nèi)，故eq blcrc (avs4alco1(x2y24，,x2y22，)由此得y20，b0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號探究1.如何理解基本不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義？提示：當(dāng)ab時，eq f(ab,2)eq r(ab)取等號，即abeq f

25、(ab,2)eq r(ab)僅當(dāng)ab時，eq f(ab,2)eq r(ab)取等號，即eq f(ab,2)eq r(ab)ab.2幾個重要的不等式a2b22ab(a，bR)；eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同號)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，bR)；eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2eq f(a2b2,2)(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq f(ab,2)，幾何平均數(shù)為eq r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知

26、x0，y0，則(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2eq r(P)(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是eq f(P,4)2(簡記：和定積最大)探究2.當(dāng)利用基本不等式求最大(小)值時，等號取不到時，如何處理？提示：當(dāng)?shù)忍柸〔坏綍r，可利用函數(shù)的單調(diào)性等知識來求解例如，yxeq f(1,x)在x2時的最小值，利用單調(diào)性，易知x2時ymineq f(5,2).自測牛刀小試1已知m0，n0，且mn81，則mn的最小值為()A18B36C81 D243解析：選A因為m0，n0，所以mn2eq r(mn)2eq r(81)18.2若函數(shù)f

27、(x)xeq f(1,x2)(x2)在xa處取最小值，則a()A1eq r(2)B1eq r(3)C3D4解析：選Cf(x)xeq f(1,x2)x2eq f(1,x2)2，x2x20f(x)2 eq r(x2f(1,x2)24當(dāng)且僅當(dāng)x2eq f(1,x2)，即x3時，“”成立，又f(x)在xa處取最小值，所以a3.3已知x0，y0，z0，xy2z0則eq f(xz,y2)的()A最小值為8 B最大值為8C最小值為eq f(1,8) D最大值為eq f(1,8)解析：選Deq f(xz,y2)eq f(xz,x2z2)eq f(xz,x24xz4z2)eq f(1,f(x,z)f(4z,x)

28、4)eq f(1,8).當(dāng)且僅eq f(x,z)eq f(4z,x)，即x2z時取等號4函數(shù)yxeq f(1,x)的值域為_解析：當(dāng)x0時，xeq f(1,x)2 eq r(xf(1,x)2；當(dāng)x0，xeq f(1,x)2 eq r(xf(1,x)2，所以xeq f(1,x)2.綜上，所求函數(shù)的值域為(，22，)答案：(，22，)5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)f(x)eq f(2,x)的圖象交于P，Q兩點，則線段PQ長的最小值是_解析：由題意知：P，Q兩點關(guān)于原點O對稱，不妨設(shè)P(m，n)為x象限中的點，則m0，n0，neq f(2,m)，所以|PQ|24|OP|24(

29、m2n2)4eq blc(rc)(avs4alco1(m2f(4,m2)16(當(dāng)且僅當(dāng)m2eq f(4,m2)，即meq r(2)時，取等號)故線段PQ長的最小值為4.答案：4利用基本不等式證明不等式例1已知a0，b0，ab1，求證：eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)9.自主解答法一：a0，b0，ab1，1eq f(1,a)1eq f(ab,a)2eq f(b,a).同理，1eq f(1,b)2eq f(a,b).eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(

30、1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(b,a)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(a,b)52eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)f(a,b)549，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(b,a)eq f(a,b)，即ab時取“”eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)9，當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,2)時等號成立法二：eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)1eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,ab)1eq f

31、(ab,ab)eq f(1,ab)1eq f(2,ab)，a，b為正數(shù)，ab1，abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2eq f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,2)時取“”于是eq f(1,ab)4，eq f(2,ab)8，當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,2)時取“”eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)189，當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,2)時等號成立保持例題條件不變，證明： eq r(af(1,2) eq r(bf(1,2)2.證明：a0，b0，且ab1， eq r(af(1,2) eq r(bf

32、(1,2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)1)eq r(blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)1)eq f(af(1,2)1,2)eq f(bf(1,2)1,2)eq f(ab3,2)eq f(4,2)2.當(dāng)且僅當(dāng)aeq f(1,2)1，beq f(1,2)1，即abeq f(1,2)時“”成立利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項、并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等1已知a0，b0，c

33、0，求證：eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.證明：a0，b0，c0，eq f(bc,a)eq f(ca,b)2 eq r(f(bc,a)f(ca,b)2c，eq f(bc,a)eq f(ab,c)2 eq r(f(bc,a)f(ab,c)2b，eq f(ca,b)eq f(ab,c)2 eq r(f(ca,b)f(ab,c)2a.以上三式相加得：2eq blc(rc)(avs4alco1(f(bc,a)f(ca,b)f(ab,c)2(abc)，即eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.利用基本不等式求最值例2(1)(x浙江高考)若正

34、數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.eq f(24,5)B.eq f(28,5)C5 D6(2)已知a0，b0，a2eq f(b2,2)1，則a eq r(1b2)的最大值為_自主解答(1)由x3y5xy，得eq f(3,x)eq f(1,y)5(x0，y0)，則3x4yeq f(1,5)(3x4y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,x)f(1,y)eq f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(13f(12y,x)f(3x,y)eq f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(132 r(f(12y,x)f(3x,y)eq f(1,5)

35、(13x)5.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(12y,x)eq f(3x,y)，即x2y時，“”成立，此時由eq blcrc (avs4alco1(x2y，,x3y5xy，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,yf(1,2).)(2)a0，aeq r(1b2)eq r(a21b2) eq r(2) eq r(a2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(b2,2)eq r(2)eq f(a2f(1,2)f(b2,2),2)eq f(3r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)eq blcrc (avs4alco1(a2f(1,2)f(b2,2)，,a2f(b2,2)1，)即eq blcrc (avs

36、4alco1(af(r(3),2)，,bf(r(2),2)時取等號aeq r(1b2)的最大值為eq f(3r(2),4).答案(1)C(2)eq f(3r(2),4)應(yīng)用基本不等式求最值的條件利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：(1)一正二定三相等“一正”就是各項必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方2(1)函數(shù)ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點A，若

37、點A在直線mxny10(m，n0)上，求eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值；(2)若正數(shù)a，b滿足abab3，求ab的取值范圍解：(1)ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點A，A(1,1)又點A在直線mxny10(m0，n0)上，mn1(m0，n0)eq f(1,m)eq f(1,n)(mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,n)2eq f(n,m)eq f(m,n)224，當(dāng)且僅當(dāng)mneq f(1,2)時，等號成立，eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為4.(2)abab3，又a，b(0，)，ab2eq r(ab)3.設(shè)eq r(ab)t0，t2

38、2t30.t3或t1(舍去)ab的取值范圍是9，)利用基本不等式解決實際問題例3為響應(yīng)國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在x年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用t(t0)萬元滿足x4eq f(k,2t1)(k為常數(shù))如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知x年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入x萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)(1)將該廠家x年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；(2)該廠家x年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？自主解答(1

39、)由題意有14eq f(k,1)，得k3，故x4eq f(3,2t1).故y1.5eq f(612x,x)x(6xx)t36xt36eq blc(rc)(avs4alco1(4f(3,2t1)t27eq f(18,2t1)t(t0)(2)由(1)知：y27eq f(18,2t1)t27.5eq blcrc(avs4alco1(f(9,tf(1,2)blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2).基本不等式eq f(9,tf(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)2 eq r(f(9,tf(1,2)blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)6，當(dāng)且僅當(dāng)eq

40、f(9,tf(1,2)teq f(1,2)，即t2.5時等號成立故y27eq f(18,2t1)t27.5eq blcrc(avs4alco1(f(9,tf(1,2)blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)27.5621.5.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(9,tf(1,2)teq f(1,2)時，等號成立，即t2.5時，y有最大值21.5.所以x年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元解實際應(yīng)用題時應(yīng)注意的問題(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需再利用基本不等式求得函數(shù)的最值；3在求函數(shù)的最值時，一定要

41、在定義域使實際問題有意義的自變量的取值范圍內(nèi)求.4有些實際問題中，要求最值的量需要用幾個變量表示，同時這幾個變量滿足某個關(guān)系式，這時問題就變成了一個條件最值，可用求條件最值的方法求最值.3某種商品原來每件售價為25元，年銷售量8萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最高為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元公司擬投入eq f(1,6)(x2600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入eq f(1,5)x萬元作為浮動宣傳費用

42、試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價解：(1)設(shè)每件定價為x元，依題意，有eq blc(rc)(avs4alco1(8f(x25,1)0.2)x258，整理得x265x1 0000，解得25x40.要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最高為40元(2)依題意，x25時，不等式ax25850eq f(1,6)(x2600)eq f(1,5)x有解，等價于x25時，aeq f(150,x)eq f(1,6)xeq f(1,5)有解，eq f(150,x)eq f(1,6)x2 eq r(f(150,x)f(1,

43、6)x)10(當(dāng)且僅當(dāng)x30時，等號成立)，a10.2.當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元1個技巧公式的逆用運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是abeq f(a2b2,2)；eq f(ab,2)eq r(ab)(a，b0)逆用就是abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，b0)等，還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等2個變形基本不等式的變形(1)eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)

44、2ab(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)；(2) eq r(f(a2b2,2)eq f(ab,2)eq r(ab)eq f(2,f(1,a)f(1,b)(a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)3個關(guān)注利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致. 創(chuàng)新交匯基本不等式在其他數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用1考題多以函數(shù)

45、、方程、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識為載體考查基本不等式求最值問題2解決此類問題的關(guān)鍵是正確利用條件轉(zhuǎn)換成能利用基本不等式求解的形式，同時要注意基本不等式的使用條件典例(xx高考)已知兩條直線l1：ym和l2：yeq f(8,2m1)(m0)，l1與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點A，B，l2與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當(dāng)m變化時，eq f(b,a)的最小值為()A16eq r(2)B8eq r(2)C8eq r(3,4) D4eq r(3,4)解析數(shù)形結(jié)合可知A，C點的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，B，D點的橫坐

46、標(biāo)在區(qū)間(1，)內(nèi)，而且xCxA與xBxD同號，所以eq f(b,a)eq f(xBxD,xCxA)，根據(jù)已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以eq f(b,a)2，由于eq f(8,2m1)meq f(8,2m1)eq f(2m1,2)eq f(1,2)4eq f(1,2)eq f(7,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(8,2m1)eq f(2m1,2)，即2m14，即meq f(3,2)時等號成立，故eq f(b,a)的最小值為28eq r(2).答案Beq avs4al(名師點評)1本題具有以下創(chuàng)新點(1)本題是對數(shù)函數(shù)的圖象問題，通過分析、

47、轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值問題(2)本題將指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式相結(jié)合，考查了考生分析問題、解決問題的能力2解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(1)正確求出A、B、C、D四點的坐標(biāo)；(2)正確理解a，b的幾何意義，并能正確用A、C、B、D的坐標(biāo)表示；(3)能用拼湊法將meq f(8,2m1)(m0)化成利用基本不等式求最值的形式eq avs4al(變式訓(xùn)練)1已知x0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列x，c，d，y成等比數(shù)列，則eq f(ab2,cd)的最小值是()A0B1C2D4解析：選D由題知abxy，cdxy，x0，y0，則eq f(ab2,cd)eq f(xy2,xy)eq f(2r(xy)

48、2,xy)4，當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號2若直線axby20(a0，b0)被圓x2y22x4y10截得的弦長為4，則eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值為()A.eq f(1,4) B.eq r(2)C.eq f(3,2)eq r(2) D.eq f(3,2)2eq r(2)解析：選C圓的直徑是4，說明直線過圓心(1,2)，故eq f(1,2)ab1，eq f(1,a)eq f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)eq f(3,2)eq f(b,a)eq f(a,2b)eq f(3,2)eq r

49、(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(b,a)eq f(a,2b)，即a2(eq r(2)1)，b2eq r(2)時取等號3若x0，y0，且eq r(x)eq r(y)aeq r(xy)恒成立，則a的最小值是_解析：由eq r(x)eq r(y)aeq r(xy)，得aeq f(r(x)r(y),r(xy)，令f(x，y)eq f(r(x)r(y),r(xy)，則f(x，y)eq f(r(x)r(y),r(xy) eq r(f(r(x)r(y)2,xy) eq r(1f(2r(xy),xy) eq r(1f(2r(xy),2r(xy)eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立故a eq r(2).答案：eq

50、r(2)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(xx高考)下列不等式一定成立的是()Alg(x2eq f(1,4)lg x(x0)Bsin xeq f(1,sin x)2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.eq f(1,x21)1(xR)解析：選C取xeq f(1,2)，則lgeq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,4)lg x，故排除A；取xeq f(3,2)，則sin x1，故排除B；取x0，則eq f(1,x21)1，故排除D.2(xx高考)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()Aaveq r(ab)Bveq r(a

51、b)C.eq r(ab)veq f(ab,2) Dveq f(ab,2)解析：選A設(shè)甲、乙兩地的距離為S，則從甲地到乙地所需時間為eq f(S,a)，從乙地到甲地所需時間為eq f(S,b)，又因為ab，所以全程的平均速度為veq f(2S,f(S,a)f(S,b)eq f(2ab,ab)eq f(2ab,2b)a，即av0，b0，且ln(ab)0，則eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值是()A.eq f(1,4)B1C4D8解析：選C由a0，b0，ln(ab)0得eq blcrc (avs4alco1(ab1，,a0，,b0.)故eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,a

52、b)eq f(1,ab)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)4.當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,2)時上式取“”4(x淮北模擬)函數(shù)yeq f(x22,x1)(x1)的最小值是()A2eq r(3)2 B2eq r(3)2C2eq r(3) D2解析：選Ax1，x10，yeq f(x22,x1)eq f(x22x2x2,x1)eq f(x22x12x13,x1)eq f(x122x13,x1)x1eq f(3,x1)22 eq r(x1f(3,x1)22eq r(3)2，當(dāng)且僅當(dāng)x1eq f(3,x1)

53、，即x1eq r(3)時，取等號5設(shè)a0，b0，且不等式eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(k,ab)0恒成立，則實數(shù)k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：選C由eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(k,ab)0得keq f(ab2,ab)，而eq f(ab2,ab)eq f(b,a)eq f(a,b)24(ab時取等號)，所以eq f(ab2,ab)4，因此要使keq f(ab2,ab)恒成立，應(yīng)有k4，即實數(shù)k的最小值等于4.6(x溫州模擬)已知M是ABC內(nèi)的一點，且2eq r(3)，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面積分別為eq f(1,2)，x，y，則eq

54、 f(1,x)eq f(4,y)的最小值是()A20 B18C16 D19解析：選B由|cos 302eq r(3)得|4，SABCeq f(1,2)|sin 301，由eq f(1,2)xy1得xyeq f(1,2).所以eq f(1,x)eq f(4,y)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)(xy)2eq blc(rc)(avs4alco1(5f(y,x)f(4x,y)2(522)18.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比，如果在距車站1

55、0公里處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站_公里處解析：設(shè)x為倉庫與車站距離，由已知y1eq f(20,x)；y20.8x費用之和yy1y20.8xeq f(20,x)2 eq r(0.8xf(20,x)8，當(dāng)且僅當(dāng)0.8xeq f(20,x)，即x5時“”成立答案：58若a0，b0，ab2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是_(寫出所有正確命題的編號)ab1eq r(a)eq r(b) eq r(2)a2b22a3b33eq f(1,a)eq f(1,b)2.解析：兩個正數(shù)，和為定值，積有最大值，即abeq f(ab2,4

56、)1，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，故正確；(eq r(a)eq r(b)2ab2eq r(ab)22eq r(ab)4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，得eq r(a)eq r(b)2，故錯誤；由于eq f(a2b2,2)eq f(ab2,4)1，故a2b22成立，故正確；a3b3(ab)(a2b2ab)2(a2b2ab)，ab1，ab1，又a2b22，a2b2ab1，a3b32，故錯誤；eq f(1,a)eq f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)eq f(ab,2)1eq f(a,2b)eq f(b,2a)112，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，故正確答案：9(x泰州模擬)已

57、知x0，y0，x2y2xy8，則x2y的最小值是_解析：依題意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)2eq r(x12y1)6，x2y4，當(dāng)且僅當(dāng)x12y1，即x2，y1時取等號，故x2y的最小值是4.答案：4三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)10已知a0，b0，c0，d0.求證：eq f(adbc,bd)eq f(bcad,ac)4.證明：eq f(adbc,bd)eq f(bcad,ac)eq f(a,b)eq f(c,d)eq f(b,a)eq f(d,c)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)f(b,a)eq blc(rc)(avs4alco1(f(

58、c,d)f(d,c)224(當(dāng)且僅當(dāng)ab，cd時，取“”)，故eq f(adbc,bd)eq f(bcad,ac)4.x已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)x0，y0，xy2x8y2eq r(16xy)，即xy8eq r(xy)，eq r(xy)8，即xy64.當(dāng)且僅當(dāng)2x8y，即x16，y4時，“”成立xy的最小值為64.(2)x0，y0，且2x8yxy0，2x8yxy，即eq f(2,y)eq f(8,x)1.xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,y)f(8,x)10eq f(2x,y)eq f(8y,x)102 eq

59、 r(f(2x,y)f(8y,x)18，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(2x,y)eq f(8y,x)，即x2yx時“”成立xy的最小值為18.x提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時研究表明：當(dāng)20 x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0 x200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)

60、xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時)解：(1)由題意，當(dāng)0 x20時，v(x)60；當(dāng)20 x200時，設(shè)v(x)axb，則由已知得eq blcrc (avs4alco1(200ab0，,20ab60，)解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,3)，,bf(200,3).)故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)eq blcrc (avs4alco1(60，0 x20，,f(1,3)200 x，20 x200.)(2)依題意并由(1)可得f(x)eq blcrc (avs4alco1(60 x，0 x20，,f(1,3)x200 x，20 x200.)當(dāng)0 x20時，