概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章補充題與答案

1、.頁腳.頁腳.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二單元補充題一、填空題：1、函數(shù)/(X)為連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)的充要條件是1), 2)X | 0122、隨機變量X的分布律為p丄2- 則X，的分布律為一_,2卅1的分布律2105為3、設離散型隨機變量X的分布律為PX=R =/ = 12，則隨機變r = sin-X2 2的分布律為4、設離散型隨機變量尤的分布律為 k=l, 2, 3,，則c二.5、設隨機變量才的概率密度函數(shù)為則戶(01 =3隨機變量X的分布律為PX =k = -f (k = l,2,3,4,5),則。=, F(2.5) =隨機變量X服從(0,b)上的均勻分布，且PlvXv3 = ；,則=

2、已知隨機變服從參數(shù)為2的泊松分布，則PX=1=,P%1=二.選擇題:1、1、列命題正確的是(A )連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)(B )連續(xù)型隨機變呈的密度函數(shù)f(x)滿足0/(a)1(C)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)(D )兩個概率密度函數(shù)的乘積仍是密度函數(shù)2 .設斤(切與F2(x)分別為隨機變量X|與兀的分布函數(shù)，則為使F(x) = aFlMbF2(x)是某隨機變量的分布函數(shù)，下列結(jié)果正確的是(A )3 ,2a = .b =55(B )2 / 2 a = =33(C )1 z 3a =(D )1 3G = - ,Q = 2 22 2三.計算題13 571、已知隨機變疑g只能取-1

3、.0.1.2四個值.相應概率依次為一,一,一,一，確定2c 4c 8c 16c常數(shù)C并計算P1| EH0.2、已知 4 (p(x)= P(4=0. 5)；F(x).x00 xlx 0 xl,0 其它求 P-5:03、設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為：=1求：(1).系數(shù)A；、P(0. 3 0. 7)；、概率密度S3.4、設隨機變量*的密度函數(shù)/(x) =2x00 x-出現(xiàn)的次數(shù)，求(1)尸匸2；225、已知離散型隨機變IX的概率分布為PX=n = W= 12，求隨機變量Y = + (l)x的分布律和分布函數(shù).6、(1)、已知隨機變量尤的概率密度函數(shù)為fx(x) = -exi-x0,Y = 一1,

4、X0o試求F的分布律和分布函數(shù)。7、甲、乙二人輪流投籃，每人一次，甲先開始，直到有一人投中為止，假定各人投中 與否互不影響，已知二人投籃的命中率分別為0.7和0.8。記F表示二人投籃的總次數(shù)。(1) 求/的分布律；(2)問誰先投中的可能性大？8、假設隨機變量尤的絕對值不大于1, PX =-1) = 1； PX=1) = 1；在事件84|尤|1”發(fā)生的條件下，才在(-1, 1)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成 正比，求X的分布函數(shù).9、一個人在一年中患感冒的次數(shù)X服從參數(shù)為2 = 4的Poisson分布.現(xiàn)有一種預防 感冒的新藥，它對于22%的人來講，可將上面的參數(shù)2降為幾=1 (稱

5、為療效顯著)；對37% 的人來講，可將上面的參數(shù)2降為久=3 (稱為療效一般)；而對于其余的人來講則是無效 貞腳.貞腳.的.現(xiàn)有一人服用此藥一年，在這一年中，他患了 2次感冒，求此藥對他是“療效顯著”概 率有多大？四、問答題1、隨機變量與普通函數(shù)有何不同？引入隨機變量有何意義？2、隨機變量的分布函數(shù)有什么意義？3、連續(xù)型隨機變量的fMdx與離散型隨機變量的幾在概率中的意義是否相同？4、為什么PX=a= 0不能說明上弋是不可能爭件？5、不同的隨機變量，它們的分布函數(shù)是否一定不同？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二單元補充題參考答案一、填空題：1函數(shù)/(x)為連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)的充要條件是分布律為2

6、X + 1135P13121F5(i) /(go,(2) fX f(x)dx = LJ30X012P131252、隨機變量X的分布律為則X?的分布律為X? | 014.2卅1的210 53、設稱散型隨機變量X的分布律為PX=k =丄, = 12，則隨機變則尸(0從3刃/4)= 1/2 6,隨機變量Xb(10,g),則 P(X=0) = |；7、隨機變量X的分布律為PX=k = -9 (* = 123,4,5), TOC o 1-5 h z 則“ =1, F(2.5)=；58、隨機變量X服從(0,b)上的均勻分布，且P1X3 = 1,則匕=6或。329、已知隨機變服從參數(shù)為2的泊松分布，則IX

7、= 1) =2e2,P(X 1)= 3e 2,二、選擇題:1、下列命題正確的是Co(A)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)(B )連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)/(x)滿足0/(a)1(C)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)(D )兩個概率密度函數(shù)的乘積仍是密度函數(shù)2 .設F,(x)與F2(x)分別為隨機變量X|與X?的分布函數(shù)，則為使Fx) = aF(x)bF2(x)是某隨機變量的分布函數(shù).下列結(jié)果正確的是55二.計算題13571.已知隨機變量只能取-1.0.1.2四個值.相應概率依次為一,一,一,一,確定 2c 4c 8c 16c常數(shù)c并計算P1| EHO.解：根據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)有Pg = 一1

8、 += 0 += 1 + P倚=2 = 1即1357（2c 4c 8c 16c得13 5 78 + 12 + 10 + 7c = + + 2481616設事件月為B為gHO,（注：如果熟練也可以不這樣設）則VllgHO =P(AB) _ vlcgHOP(B) = P驚 0)- TOC o 1-5 h z PU=亠0 32P=-1 + P的 1 + P = 2丄+ ? + ?25 一2 8 162x 0 x 1, ,i2、已知 4(p(x)= 宀 ,求 P(40.5； P(E=05)；F(x)0 具匕0.500.505解：P0.5= j(pxdx = jOt/x+ j2xJx = x2|. =O

9、.52-O2 =0.25；Y-X0因藝為連續(xù)型隨機變量，因此取任何點的概率均為零，所以P =0.5=0； 現(xiàn)在求尸(0：當*0時，尸(0=0 x0 x當 0W*時.F(x)= (pt)dt= Odt + 2tdt = r(=x2-x-x0當 時，綜上所述，最后得：0 A 0F(x) = x2 0 x貞腳.貞腳.頁腳.0 x 03、設連續(xù)型隨機變量$的分布函數(shù)為：尸(力=恭， 0 x求：、系數(shù)M；、戶(0.3 40. 7):、概率密度O3.解：(1)因是連續(xù)型隨機變量，因此F3必是連續(xù)曲線，則F(1-O) = F(1 + O)因此JX12=1,即用1.(2)則分布函數(shù)為0 A 0F(x) = x

10、，0 xP(0 3 $0 7)二 F(0 7)-F(0 3)=0. 7-0. 3 冬0. 49-0. 09=0. 4(3)概率密度OCr)為0(工)=F3 = 2x00 xl其它4、設隨機變疑*的密度函數(shù)f(x)= -=( lxdx = x2 |,1 = 1-1 = -2 2 2 4 43由題意知Yb (3,-)4所以(1) PY = 2 =1 _ 274 64(2)p(ri = i-p(y = 0) = 1-25、已知離散型隨機變的概率分布為PX=n =三屮=12，求隨機變量 y = i +(-i)x的分布律和分布函數(shù)解：由于PY = O = PX =2k + = k）女23 - 4 =1

11、- 91 -2 - 3P（y = 2） = 1-Py = 0） = 14因此，Y的分布律為：易計算，它的分布函數(shù)為0y 00 y 26、（1）、已知隨機變量尤的概率密度函數(shù)為辦（勸=_小忙_8兀0,Y = 一1, X0o試求F的分布律和分布函數(shù)。解:丄（1）由于 fx（X）= j5x0.所以-exdx = -e2 2所以Fx（x） =1 ve21丄2x v 0、x0.當x 0H寸，F(xiàn)x （x） fx （x）dx = JOC00（2）易知p（y = -i）= p（xo）= i-fy（o）= 1,2 2于是Y的分布律為Y -11o, yv-l分布函數(shù)為 Fr() = -1 yl7、甲、乙二人輪流投

12、籃，每人一次，甲先開始，直到有一人投中為止，假定各人投中 與否互不影響，已知二人投籃的命中率分別為0.7和0.8。記F表示二人投籃的總次數(shù)。(1) 求卩的分布律；(2)問誰先投中的可能性大？解：易知戶 1二0. 7戶戶2二0.3X0. 8 P3=0. 3X0. 2X0. 7P方4=0. 32X0.2X0.8所以： TOC o 1-5 h z 八、亡如 PY = 2k = O.3kO.2kO.S,“(1)分布律：k = 12P丫 = 2-1 = 03020730OC仃7(2) P甲先投中= 2k -1=工(O31O2Z()7) = 一 = 0.7447 左.】1 - 006C30n 74P乙先投

13、中 = ypY = 2k =工(0.J0.2Z0.8) = :一 = 0.2553fzffit1 一 0.06甲先投中的可能性大8,假設隨機變量/的絕對值不大于1, PX =-1) = 1； PX =1) = 1；在事件 |尤|1”發(fā)生的條件下，才在(-1, 1)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成 正比，求X的分布函數(shù)解：當 x F(x) = 1由于當一IvxS 1 時， 有 P_1 vX vxll vX vl = k(x + l)即當 x = l (1 + 1) = 1.k = -25(x +1)16 TOC o 1-5 h z P-lXxl-KXl)=P-1XVi= P-1X 1

14、)21丄丄8416F(x) = PX a) = PX =-l + P-lX x) = | + 1)十7.頁腳.貞腳.px=k= /_1(1-/?)+(1-/7)_，/7 (k = 2, 3, 4,)9.一個人在一年中患感冒的次數(shù)X服從參數(shù)為2 = 4的Poisson分布.現(xiàn)有一種預防 感冒的新藥，它對于22$的人來講，可將上面的參數(shù)2降為幾=1 (稱為療效顯著)；對37% 的人來講，可將上面的參數(shù)兄降為久=3 (稱為療效一般)；而對于其余的人來講則是無效 的.現(xiàn)有一人服用此藥一年，在這一年中，他患了 2次感冒，求此藥對他是療效顯著”概 率有多大？解：設人=此藥療效顯著 , A2=此藥療效一般,

15、 A. = 此藥無效,8 = 某人一年中患2次感冒,則卩(恥)工 p(aJp(baJ20.22x=pL = 022060.22 x + 0.37 X 尸 + 0.4 lx2 2 2四、問答題1、隨機變量與普通函數(shù)有何不同？引入隨機變量有何意義？答：隨機變量是在隨機試驗的樣本空間S上，對每一個ewS,給予一個實 數(shù)J(e)與之對應而得到的一個實值單值函數(shù)。從定義可以認識到：普通函數(shù) 的取值是按一定法則給定的，而隨機變量的取值是由統(tǒng)計規(guī)律性給出的，具有隨 機性；又普通函數(shù)的定義域是一個區(qū)間，而隨機變量的定義域是樣本空間。這兩 點是二者的主要區(qū)別。引入隨機變量是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的需要。為了便于

16、數(shù)學推理和計 算，有必要將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，使得可以用髙等數(shù)學課程中的理論與方法 來研究隨機試驗，研究和分析其結(jié)果的規(guī)律性，因此，隨機變量是研究隨機試驗 的重要而有效的工具。2、隨機變量的分布函數(shù)有什么意義？答：分布函數(shù)F(x) = PXx給出了隨機變量尤的取值不大于實數(shù)x的概率，而尤在任意區(qū)間x,Xx2上的概率也可用分布函數(shù)表出，即Px, Xx2) = F(x2)-F(x1)。因此分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī) 律性。另一方面，分布函數(shù)是一個普通函數(shù)，因此可以用高等數(shù)學課程中的理論 和方法加以研究和分析，認識問題。概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是通過隨機變量和分布函數(shù)兩個工具來全面研究認識隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的。3、連續(xù)型隨機變量的f(Qdx與離散型隨機變量的幾在概率中的意義是否相同？相同。在離散型隨機變量才中，隨機變量尤的取值點是離散的點，久是 尤取某一無時的概率。而在連續(xù)型隨機變量尤時，尤取某一/時的概率為零；在 小區(qū)間x,x + dx上的概率為P = J了力，由定積分中值定理有P 2 f(x)-dv0 當對連續(xù)型隨機變量離散化時，f(xdx與幾的意義是相同的，同樣描述了隨機 變量的分布情況。4、為什么PX=a