數(shù)字濾波器的基本概念和設計

1、數(shù)字濾波器的基本概念和設計濾波的目的 為了抑制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例。 廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計。信號的檢測：確定在干擾背景中信號是否存在。信號參量的估計：為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值。濾波技術 濾波器設計：根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)。 濾波過程的實現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達到對輸入信號進行濾波的目的。數(shù)字濾波器：是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。優(yōu)點：數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗

2、匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的設計原理6.1 數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波器一般是一個線性時不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器的設計是已知它的頻率特性 ，求它的系統(tǒng)函數(shù)H(z)或單位脈沖響應h(n). 完全實現(xiàn)一個理想的頻率特性在理論上可以做到，但實際實現(xiàn)則比較困難，另一方面，實際的濾波器也允許有一定的誤差。所以給出的頻率特性通常是頻率特性指標。在誤差范圍內(nèi)，往往有多個H(z)或h(n)滿足指標。因此， 設計出的H(z)或h(n)不是唯一的。 分類: 低通(LP), 高通(HP),帶通(BP), 帶阻(BS) 加性噪聲若 中的有用成分 和希望去

3、除的成分各自占有不同的頻帶, 通過一個線性系統(tǒng)可將 有效去除.一、數(shù)字濾波器的分類1、經(jīng)典濾波器與現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預測、自適應濾波器乘法性噪聲卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲的頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標：根據(jù)隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地恢復信號，從而達到最佳濾波的目的?，F(xiàn)代濾波器一、數(shù)字濾波器的分類2、理想濾波器的頻率響應一、數(shù)字濾波器的分類幾點說明：一、數(shù)字濾波器的分類 （1）由于頻率特性的周期性，只需考慮數(shù)字頻率在(02)范圍的幅度響應。 （2）根據(jù)耐奎斯特定理，輸入信號不得超過采樣頻

4、率的一半，而且實序列的頻譜具有共軛對稱性質(zhì)，所以，頻率特性只能限于（ 0 ）內(nèi)。 （3）圖示的濾波器特性沒有過渡帶，不可能實現(xiàn)。只能在誤差范圍內(nèi)近似實現(xiàn)。3、本課程數(shù)字濾波器設計的適用對象 通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器，其有用信號和干擾信號的頻譜分別在不同的頻段。用IIR或FIR系統(tǒng)實現(xiàn)時，系數(shù)是固定的。 如果兩者的頻譜共用同一個頻段，則需使用自適應濾波器實現(xiàn)，它與普通濾波器不一樣的地方是，它的濾波系數(shù)是隨輸入信號的變化而變化。 一、數(shù)字濾波器的分類 設輸入為一個低頻正弦波與一個高頻正弦波疊加而成。 一、數(shù)字濾波器的分類左邊為時域波形，右邊為它的頻譜。濾波前：濾波后：二、 數(shù)字濾波器的

5、技術指標數(shù)字濾波器的頻率特性：其中： 選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。若對輸出波形有要求時，則需考慮線性相位問題。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況二、 數(shù)字濾波器的技術指標通帶阻帶過渡帶低通濾波器的幅頻特性指標示意圖 二、 數(shù)字濾波器的技術指標 在阻帶內(nèi)，幅度響應以誤差 逼近0，即在過渡帶內(nèi)，幅度響應平滑地從通帶下降到阻帶。在通帶內(nèi)，幅度響應以誤差 逼近1，即二、 數(shù)字濾波器的技術指標 上述表示不是很方便，在具體的技術指標中，往往使用通帶允許的最大衰減（波紋） 和阻帶應達到的最小衰減 表示，這里的兩個指標

6、都是正數(shù)。定義為： 二、 數(shù)字濾波器的技術指標這里=0處幅度已歸一化到1。：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應達到的最小衰減p 越小, 通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越小； s越大, 阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越?。?p與s間距越小, 過渡帶就越窄。低通濾波器的設計指標：二、 數(shù)字濾波器的技術指標三、數(shù)字濾波器設計方法概述 設計IIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法：1. 間接法:首先設計一個合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標的數(shù)字濾波器，這種方法適合于設計幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。2.直接法：直接在頻域或者時域中進行數(shù)字濾波器設計，由于要聯(lián)立方程，設計時需要計

7、算機作輔助設計。6.2 模擬濾波器的設計常用模擬濾波器: 1、巴特沃斯(Butterworth)濾波器 2、切比雪夫(Chebyshev)濾波器 3、橢圓(Ellipse)濾波器一、模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法設計模擬濾波器時，設計指標一般由幅頻響應函數(shù)|Ha(j)|給出，而模擬濾波器設計就是根據(jù)設計指標，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。1、四個技術指標 工程實際中通常用損耗函數(shù)（衰減函數(shù)）A()來描述濾波器的幅頻響應特性 損耗函數(shù)A()是對幅頻響應|Ha(j)|的非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。1、四個技術指標模擬濾波器的設計指標：1、四個技術指標p:

8、通帶截止頻率s: 阻帶截止頻率p: 通帶最大衰減s:阻帶最小衰減 模擬濾波器幅度響應常用幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2來表示，即 由于濾波器沖激響應ha(t)是實函數(shù)，因而Ha(j)滿足 2、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)如果能由 p、p、 s和s求出|Ha(j)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必須是因果穩(wěn)定的，因此極點必須落在s平面的左半開平面，相應的Ha(s)的極點必然落在右半開平面。這就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具體原則，即模擬低通濾波器的逼近方法。2、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)二、巴特沃斯低通濾波器的設計 巴特沃斯逼近又稱

9、最平幅度逼近，它具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性,且隨的增大，幅頻特性隨單調(diào)下降。1、原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：巴特沃斯低通濾波器幅度特性與N之間的關系二、巴特沃斯低通濾波器的設計由圖可知：二、巴特沃斯低通濾波器的設計 優(yōu)點：幅度特性平坦，相位特性近似為線性相位；缺點：階次N一般較大。二、巴特沃斯低通濾波器的設計二、巴特沃斯低通濾波器的設計以s替換j，將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)： 上式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：二、巴特沃斯低通濾波器的設計2N個極點等間隔分布在半徑為c的圓上(該圓稱為巴特沃斯圓)，間隔是/Nrad。設N=3，極點有6個，它們分別

10、為：二、巴特沃斯低通濾波器的設計設N=4，極點有8個，它們分別為：二、巴特沃斯低通濾波器的設計為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構成Ha(s)，而右半平面的N個極點構成Ha(s)。二、巴特沃斯低通濾波器的設計歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)： 令p=s/c，（p稱為歸一化復變量），則巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：二、巴特沃斯低通濾波器的設計二、巴特沃斯低通濾波器的設計歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，以及極點pk，可以由表得到。表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 二、巴特沃斯低通濾波器的設計二、巴特沃斯低通濾波器的設計二、巴特沃斯低通濾波器的設計階數(shù)N

11、取大于或等于N的最小整數(shù)。二、巴特沃斯低通濾波器的設計3、低通巴特沃斯濾波器的設計步驟(1) 根據(jù)技術指標p、 p、s和s，求出濾波器的階數(shù)N和c。(2) 求出歸一化極點pk，及歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。(3) 將Ga(p)去歸一化。將p=s/c代入Ga(p)，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù) 二、巴特沃斯低通濾波器的設計例1、已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶最大衰減 p=2 dB，阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最小衰減 s=30 dB，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。解： (1) 確定階數(shù)N和c 二、巴特沃斯低通濾波器的設計取N=5二、巴特沃斯低通濾波器的設計或直接查表可

12、得極點：， 0.8090j0.5878, 1.0000歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中, b0，b1，b2，b3， b4=3.2361二、巴特沃斯低通濾波器的設計(3) 去歸一化將p=s/c代入Ga(p)中, 得到：二、巴特沃斯低通濾波器的設計巴特沃斯模擬濾波器的設計總結： 上述歸一化公式和表格是相對3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術指標 ，利用上述公式和表格進行設計時，最關鍵的2個參數(shù)是濾波器的階數(shù)N和3dB 截止頻率 。 N用來求巴特沃思多項式， 用來去歸一化，求實際濾波器的參數(shù)。二、巴特沃斯低通濾波器的設計切比雪夫低通濾波器 切比雪夫低通濾波器采用切比雪夫函數(shù)來逼近給定的指標，該函數(shù)具有

13、等波紋特性。它可將指標要求均勻發(fā)布在通帶（或阻帶）內(nèi)，故如此設計出的濾波器階數(shù)較低。切比雪夫低通濾波器切比雪夫型切比雪夫型：通帶等波紋、阻帶單調(diào)：通帶單調(diào)、阻帶等波紋 巴特沃斯低通濾波器的缺點是階次較高，原因是它的頻率特性在通帶和阻帶內(nèi)都是隨的增大而單調(diào)減小，如果在通帶（阻帶）滿足指標，則在阻帶（通帶）內(nèi)肯定有富裕量。三、切比雪夫濾波器的設計切比雪夫型的幅度平方函數(shù)為：為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，愈大，波動幅度也愈大; p稱為通帶截止頻率。令=/p，稱為對p的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式。三、切比雪夫濾波器的設計設計過程： 1)根據(jù)要求的濾波器指標確定波紋參數(shù) 和

14、階數(shù)N。 2) 求歸一化傳輸函數(shù) 。 3) 去歸一化。將 代入歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)，即得到實際濾波器傳輸函數(shù) 。三、切比雪夫濾波器的設計四、橢圓濾波器 橢圓(Elliptic)濾波器允許在通帶和阻帶內(nèi)都有等間隔的波動，可進一步減少濾波器的階次，但通帶上的相位響應非線性失真（波形）較大。五、三種濾波器比較 復雜性: 在滿足相同的濾波器幅頻響應指標條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應用較廣泛。 當階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減s，巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶

15、最寬。 兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。切比雪夫型濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。 橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。五、三種濾波器比較六、模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計 在模擬濾波器設計手冊中，各種經(jīng)典濾波器的設計公式都是針對低通濾波器的，并提供從低通到其他各種濾波器的頻率變換公式。 設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是: (1) 通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉(zhuǎn)換為相應的低通濾波器

16、指標； (2) 設計相應的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)； (3) 對Q(p)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統(tǒng)函數(shù)H (s)。 七、用MATLAB工具箱設計巴特沃斯濾波器 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)buttap, buttord和butter是巴特沃斯濾波器設計函數(shù)。其5種調(diào)用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻率c=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子。返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式:2） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)

17、該格式用于計算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。調(diào)用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示數(shù)字頻率。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。當wswp時，為高通濾波器； 當wp和ws為二元矢量時，為帶通或帶阻濾波器，這時wc也是二元向量。N和wc作為butter函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。七、用MATLAB工具箱設計巴特沃斯濾波器3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。wp、ws和wc是實際模擬角頻率（rad/s）。其

18、他參數(shù)與格式2）相同。七、用MATLAB工具箱設計巴特沃斯濾波器4） B, A=butter(N, wc, ftype)計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率的歸一化值（關于歸一化），一般按格式2）調(diào)用函數(shù)buttord計算N和wc。由系數(shù)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 七、用MATLAB工具箱設計巴特沃斯濾波器5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3 dB

19、截止頻率（實際角頻率）。由系數(shù)向量B和A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為七、用MATLAB工具箱設計巴特沃斯濾波器參數(shù)ftype區(qū)分濾波器類型。ftype=high時，設計3 dB截止頻率為wc的高通濾波器。缺省ftype時默認設計低通濾波器。ftype=stop時，設計通帶3 dB截止頻率為wc的帶阻濾波器，此時wc為二元向量wcl, wcu，wcl和wcu分別為帶阻濾波器的通帶3 dB下截止頻率和上截止頻率。缺省ftype時設計帶通濾波器，通帶為頻率區(qū)間wcl0,1,即s平面的右半平面映射到z平面單位圓外；r1,即s平面的左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)；（2）與的關系（=T） 用脈沖響應不變法設計

20、IIR數(shù)字低通濾波器 s平面寬 的水平條帶對應整個z平面。= 0， = 0，s平面的實軸對應 z平面正實軸； 用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器 s平面寬 的水平條帶，同樣對應整個z平面。一、用模擬濾波器設計IIR數(shù)字低通濾波器設計過程是： （1）將給定的數(shù)字濾波器的技術指標，按某一變換規(guī)則轉(zhuǎn)換成相應的模擬濾波器的性能指標。（2）如要設計的不是數(shù)字低通濾波器，則需將步驟（1）中變換得到的相應（高通、帶通、帶阻）模擬濾波器性能指標轉(zhuǎn)換為低通性能指標。（3）設計一個過渡模擬低通濾波器。（4）將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成相應類型的過渡模擬濾波器。（5）再按照轉(zhuǎn)換規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。6.

21、3 用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器二、脈沖響應不變法的變換原理 已知一個滿足濾波器設計指標的模擬濾波器的沖激響應ha(t) ，先離散化ha(t)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應ha(t)的采樣值，即 從這個關系式出發(fā)，找出Ha(s) 和H (z)之間的關系式。 這里Ha(s)表示 ha(t) 的拉普拉斯變換， H(z)表示h(n) 的 z 變換，即映射關系 ： 二、脈沖響應不變法的變換原理z 平面S 平面數(shù)字濾波器的頻響特性與模擬濾波器的頻響特性之間的關系： 上式說明，H(ejT)是Ha(j)以2/T為周期的周期延拓函數(shù)（對數(shù)字頻率，則是以2為周期）。

22、三、頻譜混疊三、頻譜混疊 如果模擬濾波器的頻率特性是帶限信號，帶限于折疊頻率以內(nèi)時，即 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而不產(chǎn)生混疊失真。 如果模擬濾波器的頻率特性不是帶限信號，或采樣頻率不滿足采樣定理時將會產(chǎn)生混疊。三、頻譜混疊 由于實際的模擬濾波器，其頻率響應都不可能是真正帶限的，因而數(shù)字濾波器的頻率響應不可避免地存在頻譜的混疊，從而帶有一定的失真。 模擬濾波器頻率響應在折疊頻率以上衰減越大，失真越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。三、頻譜混疊四、模擬濾波器的數(shù)字化 脈沖響應不變法特別適用于用部分分式表達傳遞函數(shù)。 設模擬濾波

23、器的傳遞函數(shù)只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù) NM，則可表達為部分分式形式： 其相應的沖激響應ha(t)為Ha(s)的拉普拉斯反變換： 四、模擬濾波器的數(shù)字化 式中si 是Ha(s)的單階極點。 在脈沖響應不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h(n)等于ha(t)的采樣，即對h(n)取z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：四、模擬濾波器的數(shù)字化比較兩式： 四、模擬濾波器的數(shù)字化此時，四、模擬濾波器的數(shù)字化例題例5：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字濾波器。例題 五、優(yōu)缺點 脈沖響應不變法使得數(shù)字濾波器的脈沖響應完全模仿模擬濾波器的沖激響應。 優(yōu)點： （1）時域逼近好

24、；（2）如線性相位關系不變。 缺點： 存在頻譜混疊，只適合帶限的模擬濾波器，如低通、帶通，但不適合高通、帶阻濾波器。而且對低通、帶通應充分的帶限。6.4 用雙線性變換法一、變換原理 第一步：將整個s平面壓縮到另一個s1平面的一條橫帶里，橫帶的寬度為2/T； 第二步：再通過變換 將此橫帶變換到整個z平面上去。 由此建立s平面與z平面一一對應的單值關系，消除多值性，也就消除了混疊現(xiàn)象。一、變換原理z平面一、變換原理 先推理s與s1之間的關系式一、變換原理從s1平面轉(zhuǎn)換到z平面，得或二、優(yōu)缺點優(yōu)點： 缺點：沒有頻譜混疊。 這種非線性關系如右圖所示，表現(xiàn)為： 二、優(yōu)缺點 所以，原來是線性相位的模擬濾波

25、器經(jīng)雙線性變換后得到的卻是非線性數(shù)字濾波器。 在零頻率附近，近似為線性關系；隨著的增加，非線性關系關系越來越嚴重，造成兩者的幅頻響應不同（有畸變）。 所以，雙線性變換適合用于設計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。是目前使用的最普遍、最有成效的一種設計工具。二、優(yōu)缺點頻率預校正 模擬濾波器的頻率點與數(shù)字濾波器的頻率點是非線性對應關系，應按轉(zhuǎn)換，稱為頻率預校正。例題例題解：（1）預畸變校正計算相應模擬低通的技術指標為（2） 設計巴特沃斯低通模擬濾波器。 計算得 N，取N=6； c=0.7663 rad/s 查表得Ga(p)例題將p=s/c代入Ga(p)，去歸一化得到實際的Ha(s)為（3） 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z), 即例題6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計 對于數(shù)字高通、帶通和帶阻的設計，通用方法為雙線性變換。可以借助于模擬濾波器的頻率變換設計一個所需類型的過渡模擬濾波器，再通過雙線性變換將其轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。 具體設