最優(yōu)化之多目標規(guī)劃ppt課件

1、數(shù)學建模講義曲阜師范大學數(shù)學系Qufu Normal University 主講人：呂迪迪最優(yōu)化模型 -多目的規(guī)劃第四講 多目的規(guī)劃方法 多目的規(guī)劃解的討論非劣解 多目的規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介成效最優(yōu)化模型 罰款模型約束模型 目的規(guī)劃模型目的到達法多目的規(guī)劃運用實例 多目的規(guī)劃是數(shù)學規(guī)劃的一個分支。研討多于一個的目的函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目的最優(yōu)化。通常記為 MOP(multi-objective programming)。在很多實踐問題中，例如經(jīng)濟、管理、軍事、科學和工程設(shè)計等領(lǐng)域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個目的來判別，而需求用多個目的來比較，而這些目的有時不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾

2、的。因此有許多學者努力于這方面的研討。1896年法國經(jīng)濟學家V.帕雷托最早研討不可比較目的的優(yōu)化問題，之后，J.馮諾伊曼、H.W.庫恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學家做了深化的討論，但是尚未有一個完全令人稱心的定義。求解多目的規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法，即把多目的化為比較容易求解的單目的或雙目的，如主要目的法、線性加權(quán)法、理想點法等；另一種叫分層序列法，即把目的按其重要性給出一個序列，每次都在前一目的最優(yōu)解集內(nèi)求下一個目的最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目的的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運籌學家沙旦于70年代

3、提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目的決策與分析方法，對于目的構(gòu)造復雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為適用。 多目的規(guī)劃模型一任何多目的規(guī)劃問題，都由兩個根本部分組成： 1兩個以上的目的函數(shù)； 2假設(shè)干個約束條件。 二對于多目的規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學模型普通地描寫為如下方式： 一 多目的規(guī)劃及其非劣解 式中： 為決策變量向量。 縮寫方式：有n個決策變量，k個目的函數(shù)， m個約束方程，那么： Z=F(X) 是k維函數(shù)向量， (X)是m維函數(shù)向量； G是m維常數(shù)向量； 12 對于線性多目的規(guī)劃問題，可以進一步用矩陣表示： 式中： X 為n 維決策變量向量； C 為kn 矩陣，即目的函數(shù)系數(shù)矩陣； A

4、為mn 矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣； b 為m 維的向量，即約束向量。 多目的規(guī)劃的非劣解 多目的規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目的的最優(yōu)化最大或最小，而不顧其它目的。對于上述多目的規(guī)劃問題，求解就意味著需求做出如下的復合選擇： 每一個目的函數(shù)取什么值，原問題可以得到最稱心的處理？ 每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最稱心的處理 ？ 在圖1中，max(f1, f2) .就方案和來說，的 f2 目的值比大，但其目的值 f1 比小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。 在各個方案之間，顯然：比好，比好, 比好, 比好。 非劣解可以用圖1闡明。圖1 多目的規(guī)劃的劣解與非劣解 而對于方案、之間那么無法確定

5、優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目的規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其他方案都稱為劣解。一切非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。 當目的函數(shù)處于沖突形狀時，就不會存在使一切目的函數(shù)同時到達最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解又稱非支配解或帕累托解。 成效最優(yōu)化模型 罰款模型 約束模型 目的到達法 目的規(guī)劃模型二 多目的規(guī)劃求解技術(shù)簡介 為了求得多目的規(guī)劃問題的非劣解，經(jīng)常需求將多目的規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目的規(guī)劃問題去處置。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。是與各目的函數(shù)相關(guān)的成效函數(shù)的和函數(shù)。 方法一 成效最優(yōu)化模型線性加權(quán)法 1 2 思想：規(guī)劃問題的各個目的函數(shù)可以經(jīng)過一定的

6、方式進展求和運算。這種方法將一系列的目的函數(shù)與成效函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目的之間經(jīng)過成效函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目的規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目的規(guī)劃問題： 在用成效函數(shù)作為規(guī)劃目的時，需求確定一組權(quán)值 i 來反映原問題中各目的函數(shù)在總體目的中的權(quán)重，即：式中， i 應滿足：向量方式：方法二 罰款模型理想點法 思想: 規(guī)劃決策者對每一個目的函數(shù)都能提出所期望的值或稱稱心值；經(jīng)過比較實踐值 fi 與期望值 fi* 之間的偏向來選擇問題的解，其數(shù)學表達式如下：或?qū)懗删仃嚪绞剑?式中， 是與第i個目的函數(shù)相關(guān)的權(quán)重； A是由 (i=1,2,k )組成的mm對角矩陣。實際根據(jù) ：假設(shè)規(guī)劃問題的某一目的可以給出一個可供

7、選擇的范圍，那么該目的就可以作為約束條件而被排除出目的組，進入約束條件組中。假設(shè)，除第一個目的外，其他目的都可以提出一個可供選擇的范圍，那么該多目的規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目的規(guī)劃問題： 方法三 約束模型極大極小法 方法四 目的到達法 首先將多目的規(guī)劃模型化為如下規(guī)范方式： 在求解之前，先設(shè)計與目的函數(shù)相應的一組目的值理想化的期望目的 fi* ( i=1,2,k ) ,每一個目的對應的權(quán)重系數(shù)為 i* ( i=1,2,k ) ，再設(shè) 為一松弛因子。那么，多目的規(guī)劃問題就轉(zhuǎn)化為： 松弛因子 由于流膂力學中要求解非線性的方程,在求解過程中,控制變量的變化是很必要的,這就經(jīng)過松弛因子來實現(xiàn)的.它控制變

8、量在每次迭代中的變化.也就是說,變量的新值為原值加上變化量乘以松弛因子.如:A1=A0+B*DETAA1 ：新值 A0 ：原值： B：松弛因子 DETA ：變化量松弛因子可控制收斂的速度和改善收斂的情況!為1,相當于不用松弛因子大于1,為超松弛因子,加快收斂速度小于1,欠松弛因子,改善收斂的條件普通來講,大家都是在收斂不好的時候，采用一個較小的欠松弛因子。 Fluent里面用的是欠松弛，主要防止兩次迭代值相差太大引起發(fā)散。松弛因子的值在01之間，越小表示兩次迭代值之間變化越小，也就越穩(wěn)定，但收斂也就越慢。 方法五 目的規(guī)劃模型目的規(guī)劃法 需求預先確定各個目的的期望值 fi* ，同時給每一個目的

9、賦予一個優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個目的，L個優(yōu)先級( LK)，目的規(guī)劃模型的數(shù)學方式為： 式中： di+ 和 di分別表示與 fi 相應的與fi* 相比的目的超越值和缺乏值，即正、負偏向變量； pl表示第l個優(yōu)先級； lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級 pl 中，不同目的的正、負偏向變量的權(quán)系數(shù)。 投資的收益和風險二、根本假設(shè)和符號規(guī)定二、根本假設(shè)和符號規(guī)定三、模型的建立與分析1.總體風險用所投資的Si中最大的一個風險來衡量,即 max qixi|i=1，2,n三、模型的建立與分析4. 模型簡化：四、模型1的求解 由于a是恣意給定的風險度，究竟怎樣給定沒有一個準那么，不同的投資者有不同的風險度。

10、我們從a=0開場，以步長a=0.001進展循環(huán)搜索，編制程序如下：a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)To Matlabxxgh5計算結(jié)果：五、 結(jié)果分析3.曲線上的任一點都表示該風險程度的最大能夠收益和該收益要求的最小風險。對于不同風險的接受才干，選擇該風險程度下的最優(yōu)投資組合。2.當投資越分散時，投資者承當?shù)娘L險越小，這與題意一致。 即:冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者那么盡量分散投資。1.風險大，收益也大。返 回4.在a=0.006 附近有一個轉(zhuǎn)機點，在這一點左邊，風險添加很少