1.3.1《算法案例-輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》

1、1.3.1算法案例-輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)教學(xué)目標(biāo) 1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析；2.能根據(jù)算法語(yǔ)句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫(xiě)出算法程序. 教學(xué)重點(diǎn) ：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法 教學(xué)難點(diǎn) ：轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語(yǔ)言。案例1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1. 回顧算法的三種表述：自然語(yǔ)言程序框圖程序語(yǔ)言（三種邏輯結(jié)構(gòu)）（五種基本語(yǔ)句）2. 思考： 小學(xué)學(xué)過(guò)的求兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法？ 先用兩個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái).1、求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)

2、求18和30的最大公約數(shù)所以，18和30的最大公約數(shù)為62、除了用這種方法外還有沒(méi)有其它方法？算出8256和6105的最大公約數(shù).轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）觀察用輾轉(zhuǎn)相除法求8251和6105的最大公約數(shù)的過(guò)程 第一步 用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)8251=61051+2146結(jié)論： 8251和6105的公約數(shù)就是6105和2146的公約數(shù)，求8251和6105的最大公約數(shù)，只要求出6105和2146的公約數(shù)就可以了。第二步 對(duì)6105和2146重復(fù)第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公約數(shù)也是2146和1813的最大公約

3、數(shù)。 為什么呢？思考：從上述的過(guò)程你體會(huì)到了什么？完整的過(guò)程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例2 用輾轉(zhuǎn)相除法求225和135的最大公約數(shù)225=1351+90135=901+4590=452顯然37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8251和6105的最大公約數(shù) 顯然45是90和45的最大公約數(shù)，也就是225和135的最大公約數(shù) 思考1：從上面的兩個(gè)例子可以看出計(jì)算的規(guī)律是什么？ S1：用大數(shù)除以小數(shù)S2：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)S3：重復(fù)S1，直到余數(shù)為0 輾轉(zhuǎn)

4、相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實(shí)際上是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框圖表示出右邊的過(guò)程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否思考2：輾轉(zhuǎn)相除法中的關(guān)鍵步驟是哪種邏輯結(jié)構(gòu)？ 1、輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）（1）算理：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

5、（2）算法步驟第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)m,n(mn).第二步：計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0,則m,n的最大公約數(shù)等于m； 否則轉(zhuǎn)到第二步. 第五步：輸出最大公約數(shù)m.（3）程序框圖（4）程序INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND開(kāi)始輸入m,n r=m MOD n m=nr=0?是否 n=r 輸出m結(jié)束九章算術(shù)更相減損術(shù) 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用2約簡(jiǎn)；若不是

6、則執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個(gè)等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。2、更相減損術(shù)（1）算理：所謂更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。（2）算法步驟第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)a,b(ab);第二步：若a不等于b ,則執(zhí)行第三步；否則轉(zhuǎn)到第五步；第三步：把a(bǔ)-b的差賦予r;第四步：如果br, 那么把b賦給a,把r賦給b;否則把r賦給a，執(zhí)行第二步

7、；第五步：輸出最大公約數(shù)b.（3）程序框圖（4）程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND開(kāi)始輸入a,bab?是否 輸出b結(jié)束 b=ra=br=a-brb?a=r否是例3 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù)解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減 9863356335283528728721217211477所以，98和63的最大公約數(shù)等于7 用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù) 練習(xí)：先約簡(jiǎn)，再求21與18的最大公約數(shù),然后乘以?xún)纱渭s簡(jiǎn)的質(zhì)因數(shù)4例3、求324、243、135這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。思路分析：求三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相