信號(hào)與系統(tǒng)第4章 拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的s域分析

1、第四章 拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(xtng)的s域分析 4.1 引言4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 4.3 拉氏變換的基本性質(zhì)4.4 拉普拉斯逆變換 4.5 用拉普拉斯變換分析法分析電路(dinl)、S域模型4.6 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)共一百八十三頁(yè)4.7 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)(jdin)分布決定時(shí)域特性4.8 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定頻域特性4.9 二階諧振系統(tǒng)的s平面分析4.10 全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點(diǎn)分布4.11 線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.12 雙邊拉氏變換4.13 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系共一百八十三頁(yè) 這一章(y zhn)開(kāi)始討論連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，即用

2、拉普拉氏變換這個(gè)工具來(lái)完成。 從頻域分析系統(tǒng)有其不足之處：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，即不滿(mǎn)足絕對(duì)可積（2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析（不能求全響應(yīng)）（3）反傅里葉變換不好求 基于以上幾點(diǎn)引入了拉普拉氏變換，把頻域變成復(fù)頻域共一百八十三頁(yè)4.1 引言(ynyn)19世紀(jì)末，英國(guó)工程師赫維賽德(O.Heaviside)發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）解決電工程計(jì)算中遇到的一些(yxi)基本問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace)為赫維賽德找到了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)。共一百八十三頁(yè)4.2 拉普拉斯變換的定義(dngy)、收斂域 （一）從傅里葉變換(binhun)到拉普拉斯變換(b

3、inhun) 共一百八十三頁(yè)對(duì)于(duy)因果信號(hào)有狄利克雷條件(tiojin)共一百八十三頁(yè) f1(t)=f(t)e-t e-t為收斂（衰減）因子，且f1(t)滿(mǎn)足絕對(duì)(judu)可積條件。 則令+j=s， 上式可表示(biosh)為 共一百八十三頁(yè)F1()的傅氏反變換(binhun)為 共一百八十三頁(yè)f(t)為原函數(shù)F(s)為象函數(shù)(hnsh) 拉普拉斯變換(binhun)式(或拉普拉斯變換(binhun)對(duì)) 拉氏變換L f(t)拉氏逆變換L -1 F(s)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)注意： 傅氏變換將f(t)變換為F()，或作相反(xingfn)變換。 時(shí)域中的變量t和頻域中的變量都是

4、實(shí)數(shù)。 拉氏變換是將f(t)變換為F(s)，或作相反變換。 這時(shí)t是實(shí)數(shù)s卻是復(fù)數(shù)。 共一百八十三頁(yè) s稱(chēng)為“復(fù)頻率”。 傅里葉變換建立(jinl)了時(shí)域和頻域間的聯(lián)系。 拉氏變換則建立了時(shí)域與復(fù)頻域(s域)間的聯(lián)系。共一百八十三頁(yè)單邊拉普拉斯變換(binhun)雙邊(shungbin)拉普拉斯變換共一百八十三頁(yè)(二) 從算子(sun z)符號(hào)法的概念說(shuō)明拉氏變換的定義共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)(三)拉氏變換的收斂收斂域是使f(t)e-t滿(mǎn)足(mnz)絕對(duì)可積的取值范圍， 或是使f(t)的單邊拉氏變換存在的取值范圍。 共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè) =0做收斂(shulin)坐標(biāo)，是實(shí)軸上的一

5、個(gè)點(diǎn)。 穿過(guò)0并與虛軸j平行的直線(xiàn)叫做收斂軸。 收斂軸的右邊為收斂區(qū)， 收斂區(qū)不包括收斂軸。滿(mǎn)足(mnz)的函數(shù)為指數(shù)階函數(shù)。共一百八十三頁(yè)0收斂(shulin)坐標(biāo)收斂(shulin)軸Oj收斂區(qū)共一百八十三頁(yè)1、有始有終(yu sh yu zhng)的信號(hào)： 收斂坐標(biāo)落于-，全部s平面都屬于收斂區(qū)。2、等幅度信號(hào)收斂坐標(biāo)落于原點(diǎn)，s右半平面屬于收斂區(qū)。3、隨時(shí)間成正比的信號(hào)收斂坐標(biāo)落于原點(diǎn)，s右半平面屬于收斂區(qū)。共一百八十三頁(yè)4、按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)eat的函數(shù)收斂坐標(biāo)落于0=a， a屬于收斂區(qū)。5、比指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)得更快的函數(shù)不能找到收斂坐標(biāo)，不能進(jìn)行(jnxng)拉氏變換。共一百八十三頁(yè)(四)

6、 一些(yxi) 常用函數(shù)的拉氏變換(1) 階躍函數(shù)(hnsh)(2) 指數(shù)函數(shù)共一百八十三頁(yè)(3) tn (n是正整數(shù))共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)(4) 沖激函數(shù)共一百八十三頁(yè)表4-1 常用(chn yn)函數(shù)單邊拉氏變換 序號(hào)1234567共一百八十三頁(yè)序號(hào)891011121314共一百八十三頁(yè) 4.3 拉氏變換的基本(jbn)性質(zhì)(一) 線(xiàn)性(疊加) 若 K1、K2為常數(shù)(chngsh) 則 共一百八十三頁(yè)例4-1 求 的拉氏變換(binhun)F(s)。解：同理共一百八十三頁(yè)(二) 原函數(shù)微分(wi fn) 若則共一百八十三頁(yè)為什么與0-時(shí)刻有關(guān)系？當(dāng)f(t)在t=0時(shí)

7、刻不連續(xù)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)在0時(shí)刻有沖激信號(hào)存在，為了在拉氏變換中反映(fnyng)0時(shí)刻前后的變化，所以下限從0-開(kāi)始。共一百八十三頁(yè)11012共一百八十三頁(yè)例：求該系統(tǒng)(xtng)的全響應(yīng)，已知微分方程式共一百八十三頁(yè)例4-2 已知流經(jīng)電感(din n)的電流iL(t)的拉氏變換為IL(s)，求電感的電壓vL(t)的拉氏變換。解：若共一百八十三頁(yè)(三) 時(shí)域積分(jfn)若則式中共一百八十三頁(yè)證： 其中(qzhng) 共一百八十三頁(yè)例4-3 已知流經(jīng)電容的電流iC(t)的拉氏變換(binhun)為IC(s)，求電容的電壓vC(t)的拉氏變換。解：若共一百八十三頁(yè)例4-4 如圖所示電路在t=0時(shí)開(kāi)關(guān)

8、閉合(b h)，求輸出信號(hào)vC(t)。解：(3) 求VC(s)的逆變換R+-ES+-C(1) 列寫(xiě)微分方程(wi fn fn chn)(2) 將上式取拉氏變換共一百八十三頁(yè)(四)延 時(shí)(時(shí)域平移(pn y)證： 若則令共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)例4-5 求如圖所示矩形脈沖的拉氏變換(binhun)。解：共一百八十三頁(yè)(五) s域平移(pn y) 若 則 證： 共一百八十三頁(yè)例4-6 求 和 的拉氏變換(binhun)。 解： 已知 由s域平移(pn y)定理 同理 由s域平移定理 共一百八十三頁(yè)(六) 尺度(chd)變換 證： 若 則 共一百八十三頁(yè)例4-7 求 ，若 ，求 解： 或 共一百

9、八十三頁(yè)例：如圖信號(hào)(xnho)的單邊拉氏變換f1(t)11f2(t)11-1共一百八十三頁(yè)例：T/201f(t)T/201f(t)T/201f(t)共一百八十三頁(yè)(七) 初值 若函數(shù)(hnsh)f(t)及其導(dǎo)數(shù) f(t)可以進(jìn)行拉氏變換， f(t)的變換式為F(s)，則共一百八十三頁(yè)證：共一百八十三頁(yè)終值適用的條件：僅當(dāng)sF(s)在s平面(pngmin)的虛軸上及其右邊都為解析時(shí)(原點(diǎn)除外)，終值定理才可應(yīng)用。(八) 終值 若f(t)及其導(dǎo)數(shù) f(t)可以進(jìn)行(jnxng)拉氏變換， f(t)的變換式為F(s)，而且 存在，則共一百八十三頁(yè)證： 令s0, 兩邊(lingbin)取極限得 共一

10、百八十三頁(yè) 當(dāng)信號(hào) f ( t ) 的終值存在時(shí)，才能利用它求得終值，否則將得到錯(cuò)誤的結(jié)果。而要使 f ( t ) 的終值存在，則要求 F ( s ) 的極點(diǎn)在左半 s 平面，如果 F ( s ) 在 jw 上有極點(diǎn)的話(huà)，也只能(zh nn)是在原點(diǎn)上的一階極點(diǎn)，其原因在于，只有滿(mǎn)足這種極點(diǎn)分布的信號(hào)才有終值存在。 終值和初值定理常用(chn yn)于由 直接求f(0-)和f()共一百八十三頁(yè) (九) 卷積 若 則 證： 共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)表4-2 拉氏變換性質(zhì)(xngzh)（定理） 共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)4.4 拉普拉斯逆變換 拉普拉斯反（逆）變換(binhun)是將象函數(shù)F

11、(s)變換為原函數(shù)f(t)的運(yùn)算。用定義式做比較困難，通常的方法(fngf)有：（1）查表。直接利用逆變換表（2）部分分式展開(kāi)（重點(diǎn)）（3）留數(shù)法共一百八十三頁(yè)(一)部分分式分解 F(s)為s的有理函數(shù)(yu l hn sh)時(shí)， 一般形式可表示為 式中, ai、 bi為實(shí)常數(shù)(chngsh)， n、 m為正整數(shù)。 共一百八十三頁(yè) 將分母多項(xiàng)式表示為便于分解的形式 B(s)=bn(s-p1)(s-p2)(s-pn) 式中, p1, p2, , pn是B(s)=0方程式的根， 也稱(chēng)F(s)的極點(diǎn)(jdin)。 同樣分子多項(xiàng)式也可以表示為 A(s)=am(s-z1)(s-z2)(s-zm) 式中,

12、 z1, z2, , zm是A(s)=0方程式的根， 也稱(chēng)F(s)的零點(diǎn)。 共一百八十三頁(yè) 1. mn， F(s)均為單極點(diǎn)(jdin) 共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)同樣, F(s)兩邊同乘(s-p2)， 然后(rnhu)令s=p2可得第二個(gè)系數(shù)以此類(lèi)推， 任一極點(diǎn)pi對(duì)應(yīng)(duyng)的系數(shù)為共一百八十三頁(yè)例4-8 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：將F(s)寫(xiě)成部分分式展開(kāi)(zhn ki)形式共一百八十三頁(yè)或共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè) 2. mn， F(s)均為單極點(diǎn)(jdin) 共一百八十三頁(yè)例4-9 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：用分子分母(fnm)(長(zhǎng)除法)得到共一百八十三頁(yè)或

13、共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)例4-10 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：部分(b fen)分式展開(kāi)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)例4-11 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：共一百八十三頁(yè)例4-10方法(fngf)二：共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè) 3. mn, F(s)有重極點(diǎn)(jdin) 設(shè)共一百八十三頁(yè)L tne-at=L -1共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)例4-12 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：部分分式(fnsh)展開(kāi)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)或共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)(二)用留數(shù)定理(dngl)求逆變換共一百八十三頁(yè)s=pi為一階極點(diǎn)

14、(jdin) s=pi為k階極點(diǎn)(jdin) 共一百八十三頁(yè)例4-12 求下列(xili)函數(shù)的逆變換解：s=0為一階極點(diǎn)(jdin) s=-1為3階極點(diǎn) 共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)4.5 用拉普拉斯變換分析電路(dinl)、s域元件模型 (一) 利用拉氏變換(binhun)解微分方程共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)1. 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)(jl)引起的響應(yīng)。得零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng)為 共一百八十三頁(yè)2. 零輸入(shr)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)是僅由系統(tǒng)初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)。共一百八十三頁(yè) 3. 全響應(yīng)(xingyng) 共一百八十三頁(yè)(二) 利用(lyng)拉氏變換分析電路 例 4-

15、13 如圖所示電路，當(dāng)t0時(shí)，開(kāi)關(guān)位于“1”端，電路的狀態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)從“1”端打到“2”端，分別求vC(t)與vR(t)波形。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)共一百八十三頁(yè)解：首先(shuxin)求vC(t)(2) 取拉氏變換(binhun)(1) 列寫(xiě)微分方程共一百八十三頁(yè)求vR(t)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)(三) s域的元件(yunjin)模型 共一百八十三頁(yè)分別對(duì)上式進(jìn)行(jnxng)拉氏變換， 得到 不考慮(kol)起始條件 共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)若對(duì)電流(dinli)求解， 得到 共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)例 4-1

16、5 如圖所示電路，當(dāng)t0時(shí)，開(kāi)關(guān)(kigun)位于“1”端，電路的狀態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)從“1”端打到“2”端，分別求vC(t)。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)共一百八十三頁(yè)+-E+-vC(t)CRVC(s)-+I(s)解：畫(huà)出s域網(wǎng)絡(luò)(wnglu)模型共一百八十三頁(yè)例 4-15 如圖所示電路，當(dāng)t0時(shí)，開(kāi)關(guān)位于“1”端，電路的狀態(tài)(zhungti)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)從“1”端打到“2”端，求iL(t) 。-E2+-E1iL(t)21LR0R2R1+共一百八十三頁(yè)解：-E2iL(t)LR0R2+-E1iL(t)R1sLIL0(s)E2R2共一百八十三頁(yè)共

17、一百八十三頁(yè)例 電路(dinl)如圖, 已知e(t)=10 V； vC(0-)=5 V， iL(0-)=4 A， 求i1(t)。 共一百八十三頁(yè)解：共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)分別計(jì)算零狀態(tài)(zhungti)、 零輸入響應(yīng)。 (1) 零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng) 共一百八十三頁(yè)(2) 零輸入(shr)響應(yīng) 共一百八十三頁(yè)4.6 系統(tǒng)(xtng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)系統(tǒng)(xtng)函數(shù)在零狀態(tài)下定義為 系統(tǒng)函數(shù)共一百八十三頁(yè)例4-17 如圖所示在t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，接入信號(hào)源e(t)=sin(2t)，電感起始(q sh)電流等于零，求電流i(t)。解：共一百八十三頁(yè)共一百八十三頁(yè)共一百八十三

18、頁(yè)共一百八十三頁(yè)策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)：激勵(lì)與響應(yīng)(xingyng)是同一端口2) 策動(dòng)(cdng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)1) 策動(dòng)點(diǎn)阻抗函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳輸函數(shù))：激勵(lì)與響應(yīng)不在同一端口2) 轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)1) 轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)3) 轉(zhuǎn)移電壓比函數(shù)4) 轉(zhuǎn)移電流比函數(shù)共一百八十三頁(yè)n階系統(tǒng)(xtng)微分方程的一般形式為 (1) 由微分方程求系統(tǒng)(xtng)函數(shù)共一百八十三頁(yè)零狀態(tài)(zhungti)下拉氏變換系統(tǒng)(xtng)函數(shù)為共一百八十三頁(yè)(2) 電路系統(tǒng) 舉例說(shuō)明用s域等效(dn xio)模型， 可以得到網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。如圖所示電路系統(tǒng)， 輸入為v1(t)，輸出為v2(t)，試求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。共一百八十三頁(yè)解：畫(huà)零狀態(tài)(zhungti)s域模型圖共一百八十三頁(yè)4.7 由系統(tǒng)(xtng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性(一) H(s)零、極點(diǎn)分布與h(t)波形特性的對(duì)應(yīng)極點(diǎn)： H(s)分母(fnm)多項(xiàng)式之根。零點(diǎn)： H(s)分子多項(xiàng)式之根。為有限值s=p1處為一階極點(diǎn)。直到K=n時(shí)才為有限值s=p1處為n階極點(diǎn)。共一百八十三頁(yè)的極點(diǎn)(jdin)即零點(diǎn)(ln din)。的零點(diǎn)即極點(diǎn)。(二階)零點(diǎn)：(一階)