排版細節(jié)錯誤更正近世代數(shù)習題答案

1、1.1集合1、設 A B ,證明： AB A , AB B .證明：由 A B ，可知A 的所有元素都屬于B，既 A 的所有元素，都是 A 和B 的共同元，則由交集定義可知 A AB .又 AB A ,所以 AB A .由并集定義知， AB 的所有元素，都屬于A 或B；又 A B ，所以 AB 的所有元素都屬于B，即 AB B .又B AB ,故 AB B, Ai i I 2、設B均為集合 的子集，試證：A 1BA Bi i iIiIA 2BA Bi i iiIA 證明： 1由定義 x B當且僅當x B 且x 屬于某一 A ；i i iIBAi .當且僅當x 屬于某一BAi ；當且僅當x iI

2、A 當且僅當x 屬于B，或x 屬于任一 A ，i I ；2由定義x Bi i iIBAi .當且僅當x 屬于任一BAi ， i I ；當且僅當x iI1.2 等價關(guān)系1、設 為整數(shù)集，問以下各關(guān)系是否為M 的等價關(guān)系？1） aRb ab 02） aRb 4 a b3） aRb a b4） aRb a2 b2 0解：1）不是，因為不滿足傳遞性2）不是，不滿足反身性和傳遞性3）是4）是2、試上題中等價關(guān)系所決定的分類.解：3）每個元素是一個類4）整個整數(shù)集作成一個類3、找出下列證明中的錯誤：若S 的關(guān)系R有對稱性和傳遞性，則必有反身性.這是因為，對任意的a S,由對稱性，如果aRb ，則bRa .

3、再由傳遞性，得aRa ，所以R 有反身性.解：以上證明過程中只考慮了當aRb 成立的情況，但是當對于元素a ，不存在b 使aRb 成立時，aRa 就不能得到.4、在復數(shù)集 中，規(guī)定關(guān)系 ： ab b .（1）證明： 是 的一個等價關(guān)系；（2）試確定相應的商集，并給出每個等價類的一元素.（1）證明：設a ， b ， c ，則a 因為 aa ，所以aa ，于是是有反身性；ab 若ab ，則 a b ，于是 b，a從而ba ，說明 是具有對稱性；c 若ab ， bc ，則 a b ， bc ，于是 ac ，從而ac ，從而 具有傳遞性.所以 是 的一個等價關(guān)系.（2）解：相應的商集 r r R且r

4、0，x r r cos i sin 0, 2 其中r x 對任意的c ，等價是c：代表元素可取作 c .1.31、S 1, 2,100，找一個 A A 到 A 的.解：設a, b 表示 A A 的任意元素， a,b A,f : A A A , f a,b b .則作f 是一個 A A 到 A 的.2、設 A , B 是兩個有限集合，則（1） A 到B 的不同共有多少？（2） A 到B 的單射共有多少個？解：（1）設A n, m ,則 A 到B 的有mn 個B（2）設A n, m ,B若n m，則 A 到B 沒有單射；m!m n!若n m ，則 A 到B 有個單射.3、設x 是數(shù)域F 上全體n（

5、 n ）階方陣作成的集合問： : A A 是否為x 到F 的一個？其中A 為 A 的行列式，是否為滿射或單射？解：是，且是滿射，但不是單射f 1 : B A 也是一個雙射且4 、設 f : A B為雙射，則 f 的逆 f 1 1 f .證明：設 f x y x A, y B,則 f 1 : y x ，即 f 1 y x ，因 f 是 A B 的雙射，所以 f 1 是B 到 A 的雙射，就是 f ，即 f 1 1 f .且 f 1 的逆5 、設 f : A B， g : B C 為兩個雙射到 gf : A C也是雙射且 gf 1 f 1g1.證明： g f f 1 g1 g1Bg1 1C ， f

6、 1g1故 gf1 1A ，g也是雙射，且 gf 1 f 1g1.1.41、設 A 是一個有限集合，則 A 上不同的二元運算共有多少個？解：設A n ,則A A n2 ，2故 A A 到 A 有 nn個不同的.2即 A 上有nn 個不同的二元運算.2、 A a,b, c，規(guī)定 A 的兩個不同的代數(shù)運算.解： a b x, y a xRy x, y y xRy第一個代數(shù)運算Rx, y A第二個代數(shù)運算Rx, y Aa,b M 是否滿足結(jié)合律和交3、設M為整數(shù)集，問a b a2 b2換律.解：交換律滿足，但結(jié)合律不滿足.例如1 11 0 20 4 ，14、設M為實數(shù)集，問：a b 2a 3b a,

7、b M 是否滿足結(jié)合律和交換律.解：都不滿足.例1 00 0 2 ，故1 0 0 0 ，0 4 ，10 1又1 0 2 ， 0 1 3 ，故1 0 0 1.5、數(shù)域F 上全體非零多項式的集合對于 f xg x f x, g x 是否滿足結(jié)合律和交換律？其中 f x, g x 表示 f x 與 g x 的首項函數(shù)為 1 的最大公因式.解： 顯然是代數(shù)運算且滿換律.又結(jié)合律也滿足，因為根據(jù)最大公因式的性質(zhì)知：h f ,g, h f , g , h f gg fh2.11、有限群中每個元素的階都是有限的。證明：設a 為有限群G 里任意元，則a, a2, a3,也都屬于G ，因此存在i, j N ,i

8、 j 使ai a j ，兩邊同乘a j ，得ai j e 。即，存在i j N ,使ai j e ，因此元a 的階有限。2、設G 是群，若G 除元外的其他元素都是2 階元，則G 是交換群。證明：設G 中任意兩個元a 和b ，據(jù)題意知abab ab2 e又abba ab2a aea a2 e從而abab abba ，由消去律ab ba ，故G 是交換群。3、設G 是一個非零集合，它有一個二元運算 ，則G 關(guān)于一個群充分必要條件是（1）滿足結(jié)合律（2）G 中存在一個元素e ，使對a G ，有ae a （稱e 為G 右單位元）（3）對a G ，存在a ，使aa e ，這里e 為右元。（稱a 為a 右

9、）證明：必要性：由群的定義，這是顯然的。充分性：只需證明一個右一定也是一個左，右元一定是左元。由aa1 ea1a e 。這是因為，由條件（3），有元a 使a1a e 。故有a1aa1a a1ae a1 ae a1a又a1aa1a a1 aa1 a a1ea a1a e所以a1a ea G ，都有ea a ，這是因為a a1a ae a ，a a1a aa1 a ea ，所以ea a 。證畢。4、在整數(shù)集 中，規(guī)定運算“ ”如下： a b a b 2,a, b證明： , 群證明：（1）顯然 為的代數(shù)運算（2） a, b，c 有a b a b 2 b a 2 b a ，所以交換律成立。（3）對任意

10、： a,b, c 有a b c a b 2 c a b 2 c 2 a b c 2 2 a b c 2 a b c所以結(jié)合律成立。（4） a ，因為a 2 a 2 2 a 2 a 所以零元為2，因為a a 4 a a 4 2 2 a 4 a ，所以a（5）a 的故為a 4, 群0,a,b 5、設 為整數(shù)模 7 剩余類集，* 。規(guī)定a b ab ，*7777證明： * 關(guān)于運算群。7證明：（1）首先證明 運算是 * 上的代數(shù)運算，7只需證運算與剩余類代表元的選取無關(guān)。設a a ， b b ，則7 a a ， 7 b b 。于是m a a b b b a ab ab 從而ab ab（2） a, b

11、, c ， a b c ab c ab c a bc a bc a b c 即結(jié)合律* 7成立。（3）考慮i * ,a * ，有a 1 a 1 a,1 a 1 a a，所以i 為* 的777元。（4） a ，有a,7 1，*7故存在u, v ，使au 7v 1，顯然u, 7 1，所以u * ，且a u au au 7v 1， u a ua au 17所以u 為a 的。這就證明了 * 關(guān)于運算群。76 寫出整數(shù)模 7 剩余類群 * 乘法表。解：123456126123456246426543212.21、群1. 1, i, 1：下列子群是否它的子群：（1）1. 1 ；（2）i. i；（3）1,

12、i ；（4）1, i解：（1）是；（2）（3）（4）否。（乘法不封閉）2、設G GL2 R , H AG證明： H 是G 的子群。A 是3的整數(shù)次冪證明：顯然H 非空，設 A, B H ，則存在m, n 使A 3m ， B 3n 。B 1 3m3n 3mnAB1于是，A從而 AB1 H .所以H 為G 的子群。3、設H 為G 群的子群，證明：g G 集合， gHg1 ghg1的子群。h H 是G證明：設x gh g1， y gh g1 gHg1,(h , h H)1212因為H 為G 的子群，所以h h1 H ，1 21于是xy gh ggh g111 gh ggh g11 1g h hg H

13、1112121 2從而H 為G 的子群。4、證明：循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。證明：設G ，且H 是G 的一個子群。a若H 只包含元e ，則H e 是循環(huán)群。若H 不包含e ，由于H 是子群。那么一定含有元am 。其中m 是整數(shù)。令i 是最小的使得ai 屬于H 的正整數(shù)。需證H aiat H ，令t iq r 0 r i ，則at aiqar ，又at 和aiq 都屬于H ，則有ar aiqat H .由假設r 0 ，從而H 。ai2.25.找出模 12 的剩余類加群：所有子群.解：由上題知， G 的子群都是循環(huán)群，則G 的所有子群如下 0 01 11 G 5 710 2, 4, 6,8,10,

14、09 3, 6, 9, 02 3 4 8 4,8, 06 6, 06.設H G , K G ,則HK G H K 或 K H.證明： 顯然a K , 但a H ,故存在b H , 但b K.若否，即H K, K H因HK G ，故ab HK ,故ab H 或 ab K.若ab H ,則由于H 是子群，故b .若ab K，則由于K 是子群，.從而H K 或 K H.故a 假定 H 是群G 的一個非空子集，且 H 的每個元的階都有限.7.證明： H作成子群的充分必要條件是： a,b H ab H證必要性 顯然.充分性：只需證明 a H a1 H設a H ，由于 H每個元都是有限階的，則元a 的階是

15、某一個正整數(shù)n ，且a1 an1，則由題設條件得 a1 H.2.31. 在（整數(shù)模 12 的剩余類加群）中，求子群H 4的所有左陪12集.解： H 4的左陪集有0 H H 0, 4,8 ,1 H 1,5,9 , 2 H 2, 6,10， 3 H 3, 7,112. 設 (a) 30 ，問a4在 a中有多少個左陪集？試將它們列出.解：因(a4 ) (a2 ) 15 ，所以在 a, 28中有 2 個左陪集 .即a4 ak | k 0, 2, 4,ea4a4a2 ak | k 1,3,5, 29a4a3 證明：一個子群的左陪集的所有元素的素組成這個子群的一個右陪集.證明：設 H 為群G 的一個子群，

16、 a G ,則x ah aH， x1 h1a1 Ha1.素都在Ha1 中.aH所以中任一元素的另一方面，對任意的 y ha1 Ha1 ，x1 ha1 y如取x ah1 ，則 x aH,且.所以Ha1 中任一元素都是aH 中某個元素的素。4. 設 H , K 分別為群G 的兩個m與n 階子群 . 證明：若(m,n) 1，則H K e.證明：由于H K H , H K K ,由lagrange 定理知：| H K | m.,從而H K e故| H K | (m, n) 1 ，故| H K |1.5. 證明：階是 pm 的群（ p 是素數(shù)）一定包含一個階是 p 的子群.證明：設G 的階為 pm ，在

17、G 中任取一元a e .pm ,又n 1 , 所以n pt ,t 1設 (a) n ， n.若t 1 ，則a 的階為 p ， a若t 1 ，取b apt1 ，那么 b是一個階為 p 的子群.的階為 p ，b是一個階為 p 的子群.6.假定 a 和 b 是群 G 的兩個元，并且 ab ba，又假定，(a) m(b) n ，并且 (m, n) 1 .證明： ab 的階為mn .證明：設 (ab) k ，由ab ba 得(ab)mn amnbmn e ，故 k mn .接下來證明 mn k .由e (ab)kn aknbkn akn，又 (a) m，故 m kn .又(m, n) 1 ，所以m k

18、，同理可證n k.又由(m, n) 1 ，mn k ，所以ab 的階為mn .2.41. 假定群G 的正規(guī)子群N 的階是 2 . 證明： G 的中心包含N.證明：令N e, n, a G ,由于N 是G 的正規(guī)子群.則有 aN Na，即a, an a, na.故an na .可與G 的任何元交換，所以N 含于G的中心 .故N 的每個2. 舉例證明，如果 H是K 的正規(guī)子群，K是G 的正規(guī)子群，則H 不一定是G 的正規(guī)子群 .解：取H (1),(13) , K (1),(13),(24),(13)(24),G (1),(13),(24),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1

19、234),(1432) .即可3. 證明：若群G 的n 階子群有且僅有 1 個，則此子群必為G 的正規(guī)子群 . n ，則a G , aHa1 也是G 的n 階子群 .證：設H G ,H由題設 aHa1 H ，從而4. 設 H , K 是群G 的兩個正規(guī)子群，且H K e.證明：H與K 中的元素相乘時可交換 .證：任取a H , b K，則因,故aba1b1 H K e，從而 aba1b1 e ， ab ba .5、設Z G是G 中心，且商群G Z (G) 是循環(huán)群，證明： G 是交換群證明：設G Z (G) a , a G ,則對任意的 x, y G ，存在k,l ， Z G，使x ak zk

20、l使 x a , y a , ，于是存在z , z, y al z ，1212從而xy ak z al z akal z z alak z z al z ak z yx ，所以G 是交換群121 22 121HG , KGHG .6、設G 為群，a,b G ，稱a,b a1b1ab ，為a, b 的換位 ，G 中所有換位 生成的群叫做G 的換位子群，記作G, G，證明：G, G是G 的正規(guī)子群G G, G是交換群若NG ，且G N 為交換群，則G, G N證明：（1） x G, y G,G ，由于xyx1 y1 x1, y1 G,G因此xyx1 xyx1 y1y G,G ，所以G, G是G 的

21、正規(guī)子群（2） x, y G ，由于( yx)1 xy x1y1xy G,G,因此xyG,G yxG,G ,于是xy xG,G yG,G xyG,G yxG,G y G,G xG,G yx ，所以 G G, G為交換群（3） x, y G ，有xN yN yN xN ,即xyN yxN ，于是x1y1xy ( yx)1 xy N 這說明N 包含所有的換位 ，因此也包含換位子群，所以G, G N2.5 中哪些是G 到G 的1、設G 上一切非空實數(shù)乘法律，問下列同態(tài)(4)x 1x(1)x (2)x ax(3)x x2x ，找出(G) 及Ker對于同態(tài)，(G) , Ker 1, 1解：（1） 是同態(tài)

22、（2） a 1, 不是同態(tài)，(G) G , Ker 1當a 1時是同態(tài) , Ker 1, 1(G) (3) 是同態(tài),(4) 不是同態(tài)2、找出Z4 到Z6 的所有同態(tài)解：a : x ax ， a 0 或33、設G1, G2 分別為n1, n2 階循環(huán)群，證明G1 G2 n2n1證明：設G1 a1 ,G2 a2 , (a1) n1, (a2 ) n2必要性：若 : G1 G2 ，由同態(tài)基本定理知G1 Ker G2于是 G1 Ker G，所以nn221n ，令 : G G， a ka k充分性：設n211212k l ，從而nk l ， a G若a kln（1），則1211 a(a ) (a )所以

23、a klklGG，即，因此 是 到 的221112(a ) aaGka GkkkGG（2），有，使，所以 是 到的滿射122112(a a ) (a) a a ka l (a )k l k l (a )a , a Gklk lkl（3） 對任意：，有1111 1122211所以 是G1 到G2 的滿同態(tài)4、設G 是一個循環(huán)群， N 是G 的一個子群，證明： G N 也是循環(huán)群。證明：由于循環(huán)群是交換群，則N 是G 的正規(guī)子群，從而G N 有意義，設G ，GN aaN，故G N 也是循環(huán)群。，證明：G H 5、設G GL ( ), H SL ( )*（* 表示一切非零實數(shù)構(gòu)nn成乘法律）G GL

24、 () *證明：令nAA（1）顯然 是 a010 0 0（2） a * ，有對角矩陣D GL ( )n， 01 0* 的滿射使(D) a ，所以 是GLn ( ) 到D（3）對任意 A, B GLn ( ) 有(AB) (A)(B) ,ABAB所以 是GLn ( ) 到* 的滿同態(tài)（4）同態(tài)核：Ker AGLn ( AGLn () ( A) 1A 1) SLn () H故由同態(tài)基本定理得G H *2.61、 把下列置換寫成互不相交的輪換的乘積12334255 4123456 123456 （1） 1（2） 3 解：（1）(23)(45)（2） (14)(235)2、證明：定理 6-5，即（1）

25、 k 循環(huán)的階為k ；（2） ii 1i i i i i1 2kk k 12 1 （3）設 1 2 s 為一些不相交循環(huán)的乘積，且 i 為ki 循環(huán)，的最小公倍數(shù)，即 k1, k2,則 的階為k1, k2 , ks, ks 證明：（1）一個k 循環(huán)置換 i1i2ik ，其一次方，二次方，(k 1)次方，k 次方分別將i1 變?yōu)閕2 ,i3ik ,i1 ，同理， k 將i2 變?yōu)閕2ik (1) ，則 的變?yōu)閕k ，即 k (1) ，由上述分析可知，若l k ，則 l階為k .（2）由于ii i i i (1) ，故iiii 1i i i 1 2kk k 11k k 111 2k（3）設m k1

26、, k2 , ks ，由于不相交的輪換的乘積可互相交換， m (1) ，從而 mmmm因此12s i1 i 另一方面， 設 i i ,i ,ii，則對任意的，由于kj1 2k111, 2 , s為互 不相交的輪換， 因此 (i) (i ) i，故 (1)i ， 從而 1j12sjjj1k1 , 同理可證ki ,(i 1, 2, ks , 所有s) ，于是m k1, k2 , k1, k2, ks ，則 1 (1) (2) (n) .3、設 1n S2， S (i ) nn (i ) (i1n 2證明：由于 2n ，1 (1) (n) (2)n 故 1212n.12n (1) (2) (n) (

27、1) (2) (n) 但是 (i ) (i ) (i1n 2 (1) (2) (n) 12n (i ) (i ) (1) (2) (n) (i )1n 2= =12 n (i ) (i ) (i1n 2因此， 1 (1) (2) (n) . (i ) (i ) (i12n) .4、設 S ，則 (i ) (i1n1k證明：對任意的ij ( j 1k) ，有 1( (i ) (ii )(i ) (i) ，其中i i ，j1k 11j1kj對于i ij ( j 1k) 時，有 (i) (ii )(i) (i) 1(1k) .所以 (i ) (i11k5、證明：（1）(（2）(證明：（1）由定義，對

28、任意 j 有(例() a而d )(ik ) a(ikabinc所以（1）式成立.(2)由（1）可驗證.6.證明Sn 中每一個元都可寫成12, (1換中的若干個的乘積。1n ，這n 個 2-循環(huán)置3)證明：因為每個置換都可寫成不相連的循環(huán)置換的乘積。故只需證明一個循環(huán)置換可以寫成若干1 i 形式置換的乘積.設 為一個k -循環(huán)置換，則（i） 當 1 在 中出現(xiàn)時， 又寫成(1 i1i2ik 1 ) ,i1 1 i2 1ik 1 ) (1(1 i1i2ik 1 )（ii） 當 1 不在 中出現(xiàn)時，有 (i1ik ) (1,i1)(1i2i1ik )1 i2 1i1 . (1ik )(1ik 1)2

29、.71、問 4 8 中有多少個 4 階元素。解：12 個，分別為： 02,06,1 0, 12, 14, 1 6,22,26,30, 32, 34, 36 .2、若rs 1 ， r、s 為兩整數(shù)，則Cr CS Crs .證明：因 Cr CS rs .故只需在Cr CS 中找到一個rs 階元.設C a ， C b ，則(a,b)rs (ars ,brs ) (e, e) .rS設a, b 階為k ，則k rs.若k rs ，則由(r, s) 1知r 與s 不能同時整除k .進而(a,b)k (ak ,bk ) (e, e) 與(a, b) 階為k.所以k rs .3、設G1 H1,G2 H2 ,

30、證明： G1 G2 H1 H2 .證明：設1 : G1 H1 ，2 : G2 H2 .令 : G1 G2 H1 H2(a,b) (1(a),2(b)a G1,b G2（1）顯然 上G1 G2 到H1 H2 的.（2）設(a,b)(a ,b ) G1 G2 ，(a,b) (a ,b ) ，即(1),a()2 (b (), ()1 a 2由于1,2 是單射，因此a a ,b b ，于是(a,b) (a ,b ) .所以 是單射.（3） (h, k) H1 H2 ， 由于1,2 都是滿射，故存在 a G1,b G2 ， 使1(a) h,2 (b) k于是(a,b) (1(a),2(b) (h, k)

31、 所以 是滿射.(a,b)(c, d) G1 G2 有(a,b)(c, d) (ac,bd) (1(ac),2(bd ) (1(a)1(c),2 (b)2 (d) (1(a),2(b)(1(c),2(d) (a, b)(c, d).所以 為G1 G2 到H1 H2 的同構(gòu)，故G1 G2 H1 H2 .4、證明一下命題等價.（1） G 為G1Gn 的內(nèi)直積.（2） GiGi 12n G 的每個元都可唯一地表示為G1Gn 的元的乘積.（3） G G1GnGj e ， i 12Ginji ai aj ajai ，1 i j n， ai Gi , aj Gj 證明：（1）（2）：只需證明.若對于g G

32、 有兩種表示，設為g g1g2gn g1 g2 gn ， gi , gi Gi ，ng 1 G ， G 1則 g 1 g g g g1g1112nnn12ii2從而g1 g1 ，同理， gi gi ， i 12n .故成立.（2）（3）由可直接得和因GG ， GG ，所以aa a 1a 1 GG 1iji j ijij從而ai aj ajai（3）（1）只需證明GiG ， i 12n ，由直接.（4）3.11、若環(huán)有元，則元是唯一的。證明：設有兩個元e1,e2 ，則e1 e2 e1 e22、設為環(huán)， a ，若a 可逆。則a 的是唯一的。證明：若a 有兩個b 和b ，bab b ab b bab

33、 b則從而b b3、設為一個有元的環(huán)，則1 0 當且僅當為整環(huán)。證明： 顯然 a ，有a 1 a ，因1 0 ，所以a 0 a 0所以為零環(huán)4、證明定理 1-2，設上環(huán)， a, b, ca b a b，則（1） a b a b,（2） a b c a c b（3） a b c ab acb ca ba ca,證明：（1）因a b a b 0 ，從而a b 是a b 的從而a b a b ；因a b a b 0 ，即a b a b從而a b 是a b 的（2） a b c 兩端同時加上b 得a b b c b ，即a c b ，反過來a c b 兩端同時加上b 得a b c ；（3） a b c

34、 a b c ab a c ab ac ，b ca b ca ba ca ba ca .5、設環(huán)對于加法來說作成一個循環(huán)群，證明：是交換環(huán)。證明：設作為加群是由元a 生成的循環(huán)群， b, c ，則 b ma , c na ， m, n 為整數(shù)，易見bc mn a2 cb ，因此是交換環(huán)。6、證明：由所有實數(shù)a b 2 （ a, b 為整數(shù)）作為的集合對于普通加法和乘法一環(huán)。證明：當a,b, c, d 是整數(shù)時，有a b 2 c da b 2 c d2 a c b d 22 ac 2bd ad bc2其中a c,b d, ac 2bd, ad bc 也是整數(shù)，因此對普通加法和乘法是封閉的，顯然，

35、普通加法和乘法滿足結(jié)合律、交換律和分配律，而0 0 2 0，對a b 2 ，存在唯一的a b 2 ，使a b 2 a b 2 0 ，故是環(huán)。3.21、設不是零環(huán)，有元1,則 的可不可為零因子。證明：若存在的可a 為的零因子，即a 0,b 0 ，但ab 0 ，因a 可逆，所以存在a1 ，a1 得a1ab a10 ，將ab 0 兩端同時即b 0。2、求 18 的所有可和零因子。解：可為1,5, 7,11,13,17 ， 18 的零因子為2,3, 4, 6,8,9,10,12,14,15,163、F 所有復數(shù)a bi,a,b是有理數(shù) ，證明F 對于普通加法和乘法來說是一個域。證明:易證F 對普通加法

36、和乘法作為一個整環(huán)。設a bi 是F 的一個非零元，則a 和b 不能同時為零，則a2 b2 0 ，易得a biabi 1,abi F ,a ba2 b222a2 b2a2 b2則F 的任意非零元在F 中有，所以F 是一個域。整環(huán)Z i a bi a,b ,i2 1的所有可，4、求。解：設 a bi 是Z i 的可則有 Z i 使 1, 2 2 1 2 a2 b2 1，這只有從而有a 1,b 0 或a 0,b 1，從而 1或 i 。5、證明：一個至少有兩個元而且沒有零因子的有限環(huán)是一個除環(huán)。證明：設R* 為R 的一切非零元組成的集合，則由于R 至少有兩個元而R* 不空，且有 i）由于R 沒有零因

37、子，故R* 對乘法是封閉的；ii）乘法對R 的元適合結(jié)合律，則對R* 中元顯然也適合；iii）由于R 無零因子，故消去律對R* 的元成立；又R* 只有有限元，因此， R* 作為一個乘群。令 1 是R 的元，則由于 0=0 =0 ，可知 1 也是R 的元，因此R* 的元在乘群R* 中的逆也是它在R 逆，因此R 是一個除環(huán)。6、（往后放作為3.6 的習題）設F 是一個域，且 F=4 ，證明：1） charF =22） F 中非0及1的兩個元素都滿足x2 x 1證明：1）設F 的特征是素數(shù) p ，則F 中的每個非空元素的階都是 p ，有 F=4 ，故 p 2 ，即charF =22）設F 0,1,

38、a, b ，則G 1, a,b 對F 的乘積乘群，由于a, b 在G 中階整除 G =3 , 故 a, b 的階為 3 ，令 x 是 a, b 中任一個，則 x3 1 且 2 x 1 0 ， 但 x 1 ，且域無零因子，故 x2 x 1 0 或x2 x 1，又charF =2 ，故x x,1 1，從而x2 x 1 。6、R=所有復數(shù)對, ，這里1, 1 =2, 2 1=2, 1=2R 的加法乘法如下1, 1 2 , 2 1 2 , 1 2 ，1, 1 2, 2 12 12,12 12 ， 表示 的共軛復數(shù)證明R 是一個除環(huán)。證明：對加法R 顯然作成一個加群，也乘法適合結(jié)合律，并且兩個分配律也成

39、立，因此R 作成一個環(huán)，元就是1, 0R 有一個看R 的一個元， , a1 a2i, b1 b2i a1, a2, b1,b2 R由于, , , , ,0 a a b b 0 除非 = =02222而1212所以只要 , 不是R 的零元0, 0 , 它就有一個這樣， R 是一個除環(huán)3-31、 證明定理 3-1，設R 是上的一個環(huán)， 是R 的非空子集，則為R(1)a,b S (2)a,b S a b Sab S的子環(huán)的充要條件是：證明：略2、 設R 是一個環(huán)，記Z R r R rs sr, 環(huán)，稱此子環(huán)為環(huán)R 的中心。s R 則為的一個子證明： r1 ，r2 Z Rs Rr1 r2 s r1s

40、r2s sr1 sr2 s r1 r2 r1 r2 Z Rr1r2 s r1sr2 sr1r2 s r1r2 r1 r2 Z R所以Z R 是R 的子環(huán)。3、證明定理 3-5.設R 為環(huán)， I、J 為R 的理想，則IJ 為R 的理想(1)I J 為R 的理想(2)證明：(1) a,b IJ ，因I、J 為R 的理想，故a b I且a b J ，即a b IJ ，又r R ， ar IJ , ra IJ ，所以IJ 是R 的理想aibi , cjdj I J其中ai , cj I bi , d j J ，(2)易得aibi cjdj IJr R ， aibi r aibi r 故 ab r ab

41、 I J因J 是R 的理想i ii ir aibi IJ ，故I 同理J 是R 的理想am R ，則4、證明定理 3-7.設R 是環(huán)， a1,am a1 a2 ama1, a2 ,a1, a2 ,am是包含a1,am 的最小的理想證明：a1 am且由定理 3-5 易證是R 理想am a1 ama1,所以am ai從而 a1 ,am a1 ama1,又am a1 ama1,所以元1 I ，則5、設R 為一個有元的環(huán). I 為R 的理想，若R 的I R .，1 I證明：因I 為理想故r R 有r1=r I 從而I R3-41、下列中哪個是環(huán)同態(tài)，并說明理由。, x :x(1), a bi a, a

42、 bi a bi :(2) :(3)解：(1)因 1 2 1 1 2 ，所以 不是環(huán)同態(tài)(2)因 i i 1 ii ，故 不是同態(tài)(3)對任意的a bi, c di 有a bi c di a c b d i a c b d i a bi c di a bi c di a bic di ac bd adb a bic di a bi c di 所以 是同態(tài)c bd ad bciS xy x, y, z 按矩陣的加法與乘法 0z 2、集合一個環(huán).令, xy :S z 0z 證明： 是S 到 的滿同態(tài)求 的核K ，并給出S K 到 的一個同構(gòu)(1)證明：顯然 為S 到的滿，又對任意： A xy .B

43、 uv S 有 0z 0w( A B) x uv y z w ( A) (B)z w0，所以為S到的滿同態(tài)(A B) xuxv yw zw ( A) (B)0zw（2）解： K Ker xy |x,y ,z=0 xy | x, y 0 0z 0 00 K | z S 0z K所以S K 到 的一個同構(gòu)為 : 00 Kz 0z 的同態(tài)。證明： 是單同態(tài)當且僅當Ker=0.3、設 為環(huán)R 到R證明：必要性：設x Ker ，則（x)=0= 0 .由于 是單同態(tài)，因此x=0 所以Ker=0.充分性：設x, y R, 使（x)=(y)則（x-y)=（x)-(y)于是x-y Ker.又因Ker=0, 因此

44、x y 0所以x=y ，由此知 為單同態(tài)。4、設I 和J 是從R 的理想且滿足證明：環(huán)R I J證明：由環(huán)第二同構(gòu)定理得RI I J I J InJ J 0 JJRI 是 I 的5.證明定理 4-5.設R 是環(huán)。I , J 為R 的兩個理想且I J 。則理想且環(huán)同態(tài)R I RJ I J證明：令 : R Ix+I R Jx+J（1）若 x J y I 則x y I J 所以x J y J 故 為.x J R J , x I R I 且(x I ) x J ，故 為滿射x I , y I R I 有 x+y y I x y I x y J x J y J x I y I x I y I xy I

45、x y J x J y+J = x I y I 所以 為R I 到R J 的滿同態(tài)又Ker x I | x I J x I | x J J I于是由環(huán)同態(tài)基本定理將R I RJ I J3.5i1、在整環(huán)中，下列理想中哪些是素理想，哪些是極大理想，并說明理由。（1） 1 i （2） 3 （3） 3 i 解：（1）是極大理想也是素理想。首先 1 i 含哪些元,設a bi 1 i ，則a bi (x yi)(1 i) (x y) (x y)i ，故若x、y 同為素數(shù)或同為偶數(shù)，那么a 和b 同為偶數(shù)；若x 和 y 一奇一偶，那么a 、b 同為素數(shù)，可見a 、b 必有相同奇偶性.反之，設a 、b 有相同奇偶性，則方程x y a 有整數(shù)解x a b , y b a ，x y b22則a bi 1 i .于是當且僅當a 、b 有相同奇偶性時有a bi 1 i .ii設u 是的一個理想且有 1 i u .因 1 i u ，故c di u .其中c, d 一奇一偶，1 c di 1 i u ，i .因此1u