利用流體靜力學(xué)相關(guān)知識(shí)解釋“靜水奇象”

1、利用流體靜力學(xué)相關(guān)知識(shí)解釋“靜水奇象”首先，讓我們來(lái)解決這樣一個(gè)問(wèn)題。設(shè)有三個(gè)形狀各不相同的開口盛水容器， 放在桌面上，如圖所示。各容器的平底面積A和盛水深度h都相等，而各容器 的盛水體積、重量G都不想等(為方便討論，各容器自重略去不計(jì))。試問(wèn)各容 器底壁上所受的靜水總壓力哪個(gè)最大？作用于桌面上的總壓力哪個(gè)最大？圖一也許有人會(huì)回答，圖一中第一個(gè)容器體積、水的重量G最大，所以作用于 容器底壁的靜水總壓力最大。這樣一個(gè)直觀、直覺(jué)看來(lái)似乎有理的回答，但是其 是否正確還需要用理論知識(shí)進(jìn)行證明。要解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先應(yīng)了解有關(guān)靜水壓力的相關(guān)知識(shí)。流體靜壓強(qiáng)的定義一一作用在單位面積上的流體靜壓力為流體靜

2、壓 強(qiáng)。即指流體處于平衡或相對(duì)平衡狀態(tài)時(shí)，作用在流體的應(yīng)力只有法 向應(yīng)力，而沒(méi)有切向應(yīng)力，此時(shí)，流體作用面上的負(fù)的法向應(yīng)力即為 流體靜壓強(qiáng)。流體靜壓強(qiáng)的特征一一流體靜壓強(qiáng)具有以下兩個(gè)特征：一是流體靜壓 強(qiáng)的方向必然是沿著作用面的內(nèi)法線方向，即垂直于作用面，并指向 作用面；二是在靜止或相對(duì)靜止的流體中，任一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)的大 小與作用面的方向無(wú)關(guān)，只與該點(diǎn)的位置有關(guān)即同一點(diǎn)上各方向的靜流體平衡微分方程的積分式dp= p (fx dx+fy dy+fz dz)等壓面定義及等壓面方程一一流體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)所組成的面，稱為 等壓面。等壓面上的壓強(qiáng)p為常數(shù)，可得等壓面的方程為fx dx+fy dy+fz

3、 dz+0。水靜力學(xué)基本方程一一當(dāng)靜止流體所受到的質(zhì)量力只有重力時(shí)，這種流體稱靜止重力流體。此時(shí)，fx=fy=0,fz=-g，帶入3中的式子并積 分得z+p/ （p g） =C （其中C為常數(shù)）。經(jīng)過(guò)變換，對(duì)于流體中任意 兩點(diǎn)得p2=p1+p gh，此式稱為水靜力學(xué)基本方程。而對(duì)于液體，其自 由表面上的靜壓強(qiáng)p0常為大氣壓強(qiáng)，所以可得液體中任意一點(diǎn)的靜 壓強(qiáng)p為p=p0+p gh （其中h為該點(diǎn)的淹沒(méi)深度）。流體靜壓強(qiáng)分布圖了解上述有關(guān)知識(shí)后，我們便可解決前面提出的問(wèn)題。容器底壁所受的靜水 壓強(qiáng)用相對(duì)壓強(qiáng)（以自由表面上壓強(qiáng)為基準(zhǔn)）可表示為p=p gh，則底壁所受的 靜水總壓力為Fp=p ghA

4、，所以圖一中三個(gè)容器底壁所受的靜水壓力是相等的， 與三個(gè)容器的形狀無(wú)關(guān)。這說(shuō)明前面一些人根據(jù)直觀給出的解答是錯(cuò)誤的。而每 一盛水容器作用于桌面上的總壓力等于各容器內(nèi)水的重量 （各容器自重忽略不 計(jì)）。因此，每一盛水容器作用于桌面上的總壓力應(yīng)該是不相等的，它可能等于 或大于或小于容器各底壁所受的靜水總壓力。作用于容器底壁上的靜水總壓力和作用于桌面上的總壓力，這兩個(gè)概念的混 淆，引出看起來(lái)似乎是矛盾的奇怪現(xiàn)象，這就是著名的“靜水奇象”。事實(shí)上，這一“奇象”運(yùn)用流體靜力學(xué)的相關(guān)知識(shí)是可以解釋的。因?yàn)樽饔?于桌面上的總壓力（忽略容器的自重）是容器全部壁面（包括底面和側(cè)面）所受 靜水總壓力的鉛垂分力；側(cè)

5、壁所受的鉛垂總分力，經(jīng)由容器傳遞到桌面上。由于 圖一中第二個(gè)容器的側(cè)壁是鉛垂的，所以只有底壁所受的鉛垂總分力，即為容器 中的水重，亦為底壁所受的靜水總壓力，與桌面上所受的總壓力相等。對(duì)于第一 個(gè)容器，底壁所受的鉛垂總分力為虛線內(nèi)水的重力，側(cè)壁所受的鉛垂總分力為虛 線兩側(cè)的水重，所以作用于容器全部壁面的靜水總壓力的鉛垂分力為容器中的水 重，與桌面上所受的總壓力相等，大于底壁所受的靜水總壓力。同樣，第三個(gè)容 器中，容器全部壁面的靜水總壓力的鉛垂分力為虛線包括的矩形水重減去兩側(cè)三 角形包括的水的重量，與桌面上所受的總壓力相等，小于底壁所受的靜水總壓力。 在工程技術(shù)中，第三種情況的應(yīng)用較多，可使用較少

6、的液體產(chǎn)生對(duì)底部較大的作 用力，以便對(duì)容器底部的檢查。至此，開頭所提出的問(wèn)題已通過(guò)利用流體靜力學(xué)的相關(guān)知識(shí)得到了全部的解 答。即各容器底壁上所受的靜水總壓力相等，與容器的形狀和容器中水的多少無(wú) 關(guān)；而作用在桌面上的總壓力即為容器內(nèi)水的重量，所以容器一對(duì)桌面的總壓力 最大，容器三對(duì)桌面的總壓力最小。并且，“靜水奇象”也通過(guò)相關(guān)知識(shí)給出了 科學(xué)的解答，解決了所謂的“流體靜力學(xué)矛盾”，使“奇象”不再“奇異”。通過(guò)對(duì)這一問(wèn)題的研究過(guò)程，我所獲得的不僅是問(wèn)題的解答，更多的是學(xué)習(xí)方面的認(rèn)識(shí)。首先，我對(duì)流體靜力學(xué)的相關(guān)知識(shí)有了更加深入、深刻的了解和學(xué) 習(xí)，加深了我對(duì)流體力學(xué)的認(rèn)識(shí)和興趣。其次，我學(xué)會(huì)了運(yùn)用流體靜力學(xué)知識(shí)解 決具體問(wèn)題的分析思路和方法，將理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際之中。最后，通過(guò)這一問(wèn) 題，我了解到，人們的直觀、直覺(jué)的觀點(diǎn)在很多情況下是片面、錯(cuò)誤的，在學(xué)習(xí) 的過(guò)程中我們不能過(guò)分依賴主觀臆斷，而是應(yīng)該利用科學(xué)知識(shí)