麥克斯韋速率分布推導(dǎo)_第1頁
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文檔簡介

1、玻爾茲曼對于麥克斯韋速度分布律的推導(dǎo)1 1876年，玻爾茲曼提出以下證明思路：在均勻重力場中恒溫理想氣體的分子數(shù)密度為n(h) = n(0)expmgh/(kT).2 但是，速度分量vz的分布函數(shù)f(vz)應(yīng)該僅由溫度T決定而與重力場強(qiáng)g或高度h無關(guān)。高處的n(h)之所以會比較小，是由于低處那些vz小的分子不能克服重力場而飛到高處。3 因此，正是分子的速度分布決定了其在重力場中按高度的分布。兩者密切相關(guān)，據(jù)此可以推導(dǎo)速度分量vz的分布函數(shù)f(vz).4n(h) = n(0)expmgh/(kT). mvz2/2 = mgh,m 0,vzdvz = gdh. 5 在h = 0處，速度分量vz分布

2、在vzvz+dvz區(qū)間內(nèi)的分子向上的通量，應(yīng)該等于在h處與在h+dh處各種速率分子向上的通量之差。6n(0)vzf(vz)dvz = dJ(0, vz vz+dvz) = J0(h)J0(h+dh) = dJ0(h) = d0n(h)vzf(vz)dvz 7= dn(0)expmgh/ (kT)0vzf(vz)dvz= n(0)mg/(kT) expmgh/(kT)dh 0vzf(vz)dvz8= n(0)m/(kT) expmvz2/ (2kT)vzdvz 0vzf(vz)dvz= m/(kT)0vzf(vz)dvz n(0)expmvz2/(2kT) vzdvz9= Cexpmvz2/(2kT) n(0)vzdvz.C = m/(kT)0vzf(vz)dvz. n(0)vzdvz 0,f(vz) = Cexpmvz2/(2kT).再利用分布函數(shù)f(vz)的歸一化條件就能確定C的值。1020f(vz)dvz = 1 = 2CkT/(2m)1/2 = C(2kT/m)1/2.f(vz) = m/(2kT)1/2 expmvz2/(2kT).11 現(xiàn)在分布函數(shù)f(vz)可以用于g = 0（即無重力場）時沿任何方向所選定的 z軸。換句

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