環(huán)境系統(tǒng)分析3-1ppt課件

1、第三章 環(huán)境系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的 數(shù)學(xué)模型玩具、照片.風(fēng)洞中的飛機(jī).地圖、電路圖.實(shí)物模型物理模型符號(hào)模型觀念：所謂的高科技就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。什么是數(shù)學(xué)模型建模的三大功能：解釋、判別、預(yù)見(jiàn)解釋孟德?tīng)栠z傳定律RrRr( Rr)RRRrRrrr+表現(xiàn)性狀比：3：1放射性廢物處置美國(guó)原子能委員會(huì)提出如下的處置濃縮放射性廢物的方案：封裝入密封性很好的鞏固的圓桶中，沉入300feet的海里。而一些工程師提出質(zhì)疑？需求判別方案的合理性。判別？F重F浮f阻0.08v谷神星的發(fā)現(xiàn)預(yù)見(jiàn)行星的軌道半徑水、金、地、火、？、木、土1802年，發(fā)現(xiàn)了谷神星與3對(duì)應(yīng)，之后，還發(fā)現(xiàn)了海王星、冥王星他碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型“航行

2、問(wèn)題用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到 x=20, y=5,答：船速每小時(shí)20公里航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的根本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)船速、水速為常數(shù)； 用符號(hào)表示有關(guān)量x, y表示船速和水速； 用物理定律勻速運(yùn)動(dòng)的間隔等于速度乘以 時(shí)間列出數(shù)學(xué)式子二元一次方程； 求解得到數(shù)學(xué)解答x=20, y=5； 回答原問(wèn)題船速每小時(shí)20公里。數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模Mathematical Modeling)數(shù)學(xué)模型:對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程包括建

3、立、求解、分析、檢驗(yàn)。數(shù) 學(xué) 建 模 的 重 要 意 義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速開(kāi)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域浸透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法處理實(shí)踐問(wèn)題的第一步，越來(lái)越遭到人們的注重。數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)如虎添翼知識(shí)經(jīng)濟(jì)內(nèi) 容第一節(jié) 環(huán)境數(shù)學(xué)模型概述 第二節(jié) 環(huán)境數(shù)學(xué)模型的建模方法簡(jiǎn)介 第三節(jié) EXCEL在建立數(shù)學(xué)模型中的運(yùn)用3-1環(huán)境數(shù)學(xué)模型概述一、定義和分類(lèi) 1.定義假設(shè)一個(gè)事物 M 與另一個(gè)事物 S 之間，滿(mǎn)足兩個(gè)條件：M 中包含有一些元素(分量)，每個(gè)元素(分量)分別對(duì)應(yīng)和代表 S 中的一個(gè)元素(分量)；M 中的上述分量之間應(yīng)存在一定的關(guān)系，這種個(gè)關(guān)系可以用于與 S 的分量間關(guān)系進(jìn)展

4、類(lèi)比。 我們那么將事物 M 稱(chēng)為事物 S 的模型。滿(mǎn)足模型條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式和算法叫做數(shù)學(xué)模型環(huán)境系統(tǒng)工程中的數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)言語(yǔ)和方法來(lái)描畫(huà)環(huán)境污染過(guò)程中的物理、化學(xué)、生物化學(xué)、生物生態(tài)以及社會(huì)等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。2.模型的方式數(shù)學(xué)模型:方程式,函數(shù),邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計(jì)算機(jī)程序:計(jì)算程序,模擬程序類(lèi)似模型:(實(shí)物放大減少)建筑模型，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍M模型:電模擬模型模型籠統(tǒng)模型詳細(xì)模型3.數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的最大特點(diǎn)是它的籠統(tǒng)性和對(duì)真實(shí)世界的理想化和簡(jiǎn)化，它要比其它模型更籠統(tǒng)、更簡(jiǎn)化、更反映事物本質(zhì) 優(yōu)點(diǎn)：1用數(shù)學(xué)模型進(jìn)展對(duì)原型的展現(xiàn)和模擬研討，不需

5、求過(guò)多的公用設(shè)備和用資料制造模型，僅需求一臺(tái)計(jì)算機(jī)，比較容易實(shí)現(xiàn)，而且不受外界惡劣條件影響，可以加快模擬研討的進(jìn)度。2在實(shí)物模型上或原型上進(jìn)展某些條件的模擬實(shí)驗(yàn)研討是不允許的或是不能夠做到的，這些特殊或極限情況在數(shù)學(xué)模型中可以很容易做到，而且在數(shù)學(xué)模型模擬中不存在放大效應(yīng)。 3在環(huán)境科學(xué)與工程領(lǐng)域，經(jīng)常需求對(duì)大范圍區(qū)域進(jìn)展研討，如流域、區(qū)域、全球環(huán)境，這對(duì)物理模型幾乎是不能夠的，數(shù)學(xué)模型可以作到。4利用計(jì)算機(jī)和多媒體技術(shù)，數(shù)學(xué)模型也可以把模擬結(jié)果表現(xiàn)的非常逼真 制約 1籠統(tǒng)或簡(jiǎn)化能夠或往往不完全正確，在描畫(huà)系統(tǒng)的某些特征時(shí)有能夠忽略了關(guān)鍵要素，呵斥模型失真 2二是由于系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，數(shù)學(xué)模型

6、僅可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展粗略的近似，模型本身存在著固有誤差，假設(shè)不真實(shí)踐地要求提高精度，會(huì)使得模型變得非常復(fù)雜，計(jì)算困難或根本無(wú)法獲得可靠的解答 。4.數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)劃分根據(jù)模型類(lèi)型變量與時(shí)間關(guān)系穩(wěn)態(tài)模型 動(dòng)態(tài)模型變量間關(guān)系線(xiàn)性模型 非線(xiàn)性型變量性質(zhì)確定性模型 隨機(jī)性型參數(shù)性質(zhì)集中參數(shù)模型 分布參數(shù)模型模型用途模擬模型(評(píng)價(jià))，管理模型(優(yōu)化)環(huán)境系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的普通建模方法 環(huán)境系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的根本構(gòu)造假設(shè)我們關(guān)懷的是環(huán)境系統(tǒng)的某一個(gè)形狀變量Y例如某污染物濃度或物理參數(shù)，如多個(gè)關(guān)懷變量，成為方程組，影響這一形狀變量的系統(tǒng)變量可以分成系統(tǒng)其它形狀變量 x1，x2，.xn和外部變量 u1，u2，.um，模型

7、中參數(shù)為1，2，. p。那么數(shù)學(xué)模型的普通構(gòu)造可以表達(dá)為： 環(huán)境系統(tǒng)模型中變量的分類(lèi) 干擾變量 決策變量 形狀變量 中間變量 環(huán)境系統(tǒng)二、數(shù)學(xué)模型的建立建模過(guò)程觀測(cè)數(shù)據(jù)組模型結(jié)構(gòu)選擇模型運(yùn)用觀測(cè)數(shù)據(jù)組參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)與驗(yàn)證1.數(shù)據(jù)的搜集與初步分析1數(shù)據(jù)或資料，即data 客觀實(shí)體屬性的值，是對(duì)客觀事物及其形狀進(jìn)展記錄而得到的用于鑒別的符號(hào)。2信息information 信息是反映客觀情況的，它表達(dá)和反映了人們對(duì)某一事物的認(rèn)識(shí)和了解程度；信息與決策是親密相關(guān)的，正確的決策必需依托和控制有足夠數(shù)量和質(zhì)量的信息，信息經(jīng)過(guò)決策表達(dá)本身的價(jià)值；信息是籠統(tǒng)的認(rèn)識(shí)或知識(shí)。3 數(shù)據(jù)處置1明確搜集數(shù)據(jù)的目的2有時(shí)間

8、的延續(xù)性和一定的時(shí)間跨度3鑒別可靠性4信息源的概念：與目的有關(guān)的信息集合信息源信息目的5信息源的性質(zhì)不可預(yù)知部分將可了解部分脫漏部分已了解部分可知部分不可知部分本質(zhì)上不可知部分信息源2、模型的構(gòu)造1.白箱模型又稱(chēng)機(jī)理模型 根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的構(gòu)造和性質(zhì)的了解,以客觀事物變化遵照的物理化學(xué)定律為根底，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機(jī)理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。機(jī)理模型具有獨(dú)一性建立機(jī)理模型最主要的方法是質(zhì)量平衡法規(guī)律一樣時(shí)可以通用 2黑箱模型又稱(chēng)閱歷模型或輸入輸出模型人們對(duì)系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)律沒(méi)有掌握，僅根據(jù)察看即一定輸入條件下的系統(tǒng)輸出。建立模型時(shí)不清查系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)內(nèi)在機(jī)理，僅根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測(cè)，在數(shù)理統(tǒng)

9、計(jì)根底上建立起的閱歷模型的方法叫歸納法。系統(tǒng)或形狀下運(yùn)用是有條件的 閱歷模型不具有獨(dú)一性，可被多種不同類(lèi)型的函數(shù)描畫(huà) 本世紀(jì)二十年代,意大利生物學(xué)家 U.DAncona在研討相互制約的各魚(yú)類(lèi)種群構(gòu)造時(shí)發(fā)現(xiàn),食肉魚(yú)類(lèi)的百分比在第一次世界大戰(zhàn)期間急劇添加。當(dāng)時(shí)他以為是由于戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕撈量大大降低的結(jié)果,但捕撈量的減少也同樣有利于被捕食的小魚(yú)。雖然 U.D. Ancona 從生物學(xué)的角度多方思索，一直未能獲得稱(chēng)心的結(jié)果；然而,這一問(wèn)題被意大利數(shù)學(xué)家 Volterra 處理,他建立起著名的“捕食模型。從所討論的事物出發(fā)來(lái)建立模型時(shí)，首先使重要特征以分量方式出如今模型中，在本問(wèn)題中用 x 表示被捕食肉的小

10、魚(yú)的種群數(shù)，以 y 表示食肉魚(yú)類(lèi)(大魚(yú))的種群數(shù),要求獲得其相互制約關(guān)系,及人類(lèi)活動(dòng)對(duì)該關(guān)系的影響。Volterra 的捕食模型為：Y X ( X1k, Y1k )( X0, Y0 )( X12, Y12 )( X10, Y10 )( X11, Y11 )( XP, YP )圖1-3 Volterra捕食模型的軌線(xiàn)構(gòu)造例：在xr sin 那么雨淋在前胸上的雨量為那么，代入常數(shù)的總量為于是，在為負(fù)角的情況下，當(dāng) 即 時(shí)，V盡能夠大，C才干盡能夠小，當(dāng) 即，才是淋雨量最小。 上述結(jié)果似乎與實(shí)踐有些相符 結(jié)論： 假設(shè)他是逆風(fēng)行走，那么越快越好； 假設(shè)是順風(fēng)行走，那么當(dāng)雨的傾角大于約8時(shí)，他應(yīng)該堅(jiān)持與

11、降雨的程度速度一致的速度；而當(dāng)雨根本上是垂直而下時(shí)傾角小于約8，還是越快越好。雨中行走問(wèn)題的建模過(guò)程，又一次提示我們模型假設(shè)的重要性和模型的階段性。模型解釋問(wèn)題3：某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，假設(shè)學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問(wèn)三系各有多少個(gè)席位？問(wèn)題的提出按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原那么座位分配m 表示某單位的席位數(shù)P 表示某單總?cè)藬?shù)N 表示總?cè)藬?shù)q 表示總席位數(shù)現(xiàn)有6名學(xué)生從丙系轉(zhuǎn)到甲乙系各3名20個(gè)席位的分配(20/100)20=4(30/100)20=6(50/100)20=10分配方案440/20040 丙660/20060乙10100/20010

12、0甲席位數(shù)所占比例人數(shù)系別17.0%20=3.431.5%20=6.351.5 %20 =10.3分配方案434/200=17.0%34 丙663/200=31.5%63乙10103/200=51.5%103甲席位數(shù)所占比例人數(shù)系別景象1：丙系少了6人，但席位仍是4位，不公平！為了在表決提案時(shí)能夠出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。21個(gè)席位的分配結(jié)果17.0%21=3.57031.5%21=6.61551.5 %21=10.815分配方案34/200=17.0%34 丙63/200=31.5%63乙103/200=51.5%103甲席位數(shù)所占比例人數(shù)系別1173景象2：總席位添加一席，丙系反

13、而減少一席不公平！慣例分配：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平景象，能否給出更公平的分配席位的方案？ 建模分析目的：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量目的可用每席位代表的人數(shù)來(lái)衡量。34/4=8.563/6=10.5103/10=10.3每席位代表的人數(shù)4610席位數(shù)好34 丙差63乙中103甲公平程度人數(shù)系別40/4=1060/6=10100/10=10每席位代表的人數(shù)440 丙660乙10100甲席位數(shù)人數(shù)系別34/3=11.3363/7=9103/11=9.36每席位代表的人數(shù)3711席位數(shù)差34 丙好63乙中103甲公平程度人數(shù)系別普通地，每

14、席位代表的人數(shù)席位數(shù)BA人數(shù)單位當(dāng)席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下規(guī)范來(lái)判別。值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量規(guī)范。100101000D102-100=2102101020C1010100B12-10=21210120A絕對(duì)不公平規(guī)范每席位代表的人數(shù)席位數(shù)n人數(shù)p單位C,D的不公平程度大為改善！2 相對(duì)不公平表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。那么A吃虧,或?qū) 是不公平的。定義“相對(duì)不公平對(duì)A的相對(duì)不公平值同理，可定義對(duì)B 的相對(duì)不公平值為：對(duì)B的相對(duì)不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量目的制定席位分配方

15、案的原那么是使它們的盡能夠的小。建模假設(shè)A、B兩方已占有席位數(shù)為用相對(duì)不公平值討論當(dāng)席位添加1 個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A 還是B 方。不失普通性，有下面三種情形。情形1闡明即使給A 單位添加1席，仍對(duì)A不公平，所增這一席必需給A單位。情形2闡明當(dāng)對(duì)A 不公平常，給A單位添加1席，對(duì)B又不公平。計(jì)算對(duì)B 的相對(duì)不公平值情形3闡明當(dāng)對(duì)A不公平常，給B單位添加1席，對(duì)A 不公平。計(jì)算對(duì)A 的相對(duì)不公平值那么這一席位給A 單位，否那么給B 單位。結(jié)論：當(dāng)*成立時(shí)，添加的一個(gè)席位應(yīng)分配給A 單位，反之，應(yīng)分配給 B 單位。記作那么添加的一個(gè)席位應(yīng)分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱(chēng)為Q值方法。假設(shè)A、B兩

16、方已占有席位數(shù)為4 推行 有m方分配席位的情況設(shè)方人數(shù)為，已占有個(gè)席位，當(dāng)總席位添加1 席時(shí)，計(jì)算那么1席應(yīng)分給Q值最大的一方。從 開(kāi)場(chǎng)，即每方至少應(yīng)得到以1 席，假設(shè)有一方1 席也分不到，那么把它排除在外。舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？按Q值方法：1丙1乙1甲456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4第二節(jié) 環(huán)境數(shù)學(xué)建模方法簡(jiǎn)介 一、系統(tǒng)構(gòu)造和過(guò)程分析方法二、污染物稀釋分散模型三、機(jī)理分析建模法四、回歸分析建模五、時(shí)間序列建模 灰箱模型的建立，普通從對(duì)對(duì)象系統(tǒng)的調(diào)查和研討開(kāi)場(chǎng)，掌握系統(tǒng)的構(gòu)造和系統(tǒng)內(nèi)景象發(fā)生的過(guò)

17、程，經(jīng)過(guò)分析建立系統(tǒng)的定性模型，又稱(chēng)概念模型，然后研討系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生的各類(lèi)過(guò)程數(shù)學(xué)表達(dá)式，把系統(tǒng)變化過(guò)程定量化。黑箱模型，常采用測(cè)試分析的方法建立，即將研討的系統(tǒng)視為一個(gè)黑箱系統(tǒng)，丈量系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)，并以此為根據(jù)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，在某一類(lèi)模型中選擇一個(gè)與數(shù)據(jù)擬合得比較好的模型。 1、模型變量的挑選與確定1首先建立環(huán)境輸入輸出模型時(shí)，根據(jù)建模的目的，很容易確定要描畫(huà)的系統(tǒng)變量，即因變量。2然后，利用對(duì)系統(tǒng)的初步了解，特別是利用專(zhuān)業(yè)知識(shí)和閱歷確定影呼應(yīng)變量的要素，即需求思索模型的自變量。3搜集歷史數(shù)據(jù)或組織實(shí)驗(yàn)察看獲得數(shù)據(jù)，為建模作預(yù)備。留意問(wèn)題：1能夠會(huì)把對(duì)因變量影響很小的自變量引入，也有能夠

18、漏掉一些重要的自變量和控制變量，2有一些變量間相互不獨(dú)立，在利用逐漸回歸方法建立模型時(shí)可以消除變量間相互影響或相互重疊對(duì)模型的影響。3一些重要變量能夠在建模察看的系統(tǒng)變化范圍內(nèi)變化很小，普通不思索作為變量引進(jìn)模型，由于很難察看，引進(jìn)后用途也不大。4模型變量的選擇是一個(gè)反復(fù)研討的過(guò)程，歷史上對(duì)類(lèi)似問(wèn)題的研討可以協(xié)助確定需求引入的變量。 2.數(shù)學(xué)模型構(gòu)造的選擇 經(jīng)過(guò)表達(dá)式變換，把曲線(xiàn)函數(shù)方式轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性函數(shù)方式。不少數(shù)學(xué)手冊(cè)上還有這些函數(shù)的圖形和直線(xiàn)化方程，對(duì)我們選擇輸入輸出模型構(gòu)造方式很有協(xié)助。 3.合理安排系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)或察看用于建立輸入輸出模型數(shù)據(jù)的質(zhì)量決議了模型產(chǎn)品的質(zhì)量。建模用的原始數(shù)據(jù)質(zhì)量和觀

19、測(cè)方法及觀測(cè)儀器精度有關(guān)，也和實(shí)驗(yàn)或察看的安排有關(guān)。察看點(diǎn)位的分布應(yīng)該思索系統(tǒng)的變化規(guī)律，變化猛烈地方宜多布點(diǎn) 對(duì)自變量取值進(jìn)展察看的次數(shù)應(yīng)該選得合理，保證一定的精度，又不過(guò)多加重實(shí)驗(yàn)負(fù)擔(dān)，這方面主要靠閱歷。 模型中各變量的察看精度要協(xié)調(diào)，不要盲目添加某些變量的察看精度，而另一些變量卻察看的非常粗糙，這時(shí)候模型的精度完全由察看粗糙的變量決議了。 合理設(shè)計(jì)建模實(shí)驗(yàn)方案，可以采用科學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法 系統(tǒng)內(nèi)污染物的分布和變化情況污染源其他有關(guān)物質(zhì)環(huán)境介質(zhì)污染物污染受體系統(tǒng)組成系統(tǒng)內(nèi)污染物的分布和變化情況有關(guān)的過(guò)程污染物排放污染物相間遷移污染物轉(zhuǎn)化或化學(xué)生物學(xué)反響環(huán)境介質(zhì)中的稀釋一、系統(tǒng)構(gòu)造和過(guò)程分析方法

20、 例如：河流中溶解氧濃度分布及其變化，影響要素及各要素間發(fā)生的過(guò)程可以用圖表示。這個(gè)圖就是一個(gè)系統(tǒng)概念模型，美國(guó)QUAL-II河流水質(zhì)模型就是對(duì)它定量化開(kāi)發(fā)出來(lái)的。我們從圖中可以知道，河流中溶解氧濃度受大氣復(fù)氧過(guò)程、CBOD耗氧過(guò)程，NBOD耗氧過(guò)程、底泥耗氧過(guò)程、藻類(lèi)呼吸耗氧和光協(xié)作用產(chǎn)氧作用控制。磷普通不直接影響溶解氧，但它對(duì)河流中藻類(lèi)濃度有較大影響，間接影響溶解氧濃度，它來(lái)源于人為排放，還經(jīng)過(guò)底泥分解有機(jī)物而向水中釋放。底泥中有機(jī)物厭氧分解，產(chǎn)生溶解性有機(jī)物和氨氮進(jìn)入水系統(tǒng)，底泥和水中有機(jī)物之間存在物質(zhì)交換，顆粒態(tài)有機(jī)物能夠沉入底泥，底泥也能夠被沖刷進(jìn)入河水，在底泥或水中耗費(fèi)溶解氧。 大

21、氣河流溶解氧底泥CBOD水中磷藻類(lèi)葉綠素aNH3-NNO2-NNO3-N大氣復(fù)氧過(guò)程 CBOD耗氧過(guò)程 底泥耗氧過(guò)程藻類(lèi)生物量受許多要素制約 NBOD耗氧過(guò)程比CBOD要復(fù)雜得多，首先分解成氨氮，進(jìn)一步分解成亞硝酸態(tài)氮，最后才構(gòu)成硝酸態(tài)氮 二、污染物稀釋分散模型的推導(dǎo)和建立 1、污染物在環(huán)境介質(zhì)中的保送和稀釋分散特征 1推流遷移推流遷移是污染物隨介質(zhì)運(yùn)動(dòng)而發(fā)生的位置變化，不改動(dòng)環(huán)境介質(zhì)中污染物的濃度。經(jīng)過(guò)某斷面單位面積的污染物通量f f = u C分解到三個(gè)坐標(biāo)軸，那么有 fx = ux C fy = uy C fz = uz C式中，u為該處環(huán)境介質(zhì)流速，C為該處污染物濃度。 2分散作用污染

22、物在湍流流動(dòng)的介質(zhì)中，在濃度梯度作用下存在兩種分散作用：分子分散作用和湍流分散作用。a.分子分散是由分子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)引起的分散景象，分散過(guò)程服從Fick第一分散定律，即分子分散通量I與分散物質(zhì)的濃度梯度成正比。對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸，有： EM 為分子分散系數(shù) b.湍流分散是湍流流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)引起的一種分散景象。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的條件下，湍流分散規(guī)律也可以用Fick第一定律描畫(huà)，但其系數(shù)是湍流分散系數(shù)。和分子分散系數(shù)不同，湍流分散系數(shù)往往是各向異性的。 C為一定時(shí)間周期內(nèi)的平均濃度 c.彌散景象可以定義為由空間各點(diǎn)流速或其他參數(shù)與調(diào)查空間的平均值的系統(tǒng)差別所產(chǎn)生的分散景象。彌散也可以用沒(méi)有嚴(yán)厲的

23、實(shí)際證明Fick 第一定律的方式表示。 彌散景象只需在調(diào)查空間平均濃度時(shí)才進(jìn)入模型中來(lái)，這時(shí)的濃度參數(shù)和流速都是空間平均值 但是對(duì)空間平均濃度來(lái)說(shuō)，這三種分散作用的大小相差懸殊，河流中分子分散系數(shù)10-5-10-4 m2/s，湍流分散系數(shù)10-2-10-0 m2/s，彌散系數(shù)101-10 4 m2/s 2、污染物的衰減和轉(zhuǎn)化性質(zhì) 非守恒物質(zhì)進(jìn)入環(huán)境之后，除了稀釋、分散和遷移之外，本人還發(fā)生自我分解或在其他化學(xué)物質(zhì)與生物的作用下衰減。由于污染物在環(huán)境中的濃度很低，普通都把這種衰減看作是一級(jí)反響，產(chǎn)生的誤差不會(huì)很大。守恒物質(zhì)在環(huán)境保送和遷移過(guò)程中以為不發(fā)生轉(zhuǎn)化和相間轉(zhuǎn)移。 河流湖泊中的有機(jī)物，普通

24、根據(jù)它們的耐久期長(zhǎng)短分辨能否是耐久性污染物。耐久期是指物質(zhì)進(jìn)入環(huán)境至75%在環(huán)境中消逝所需求的時(shí)間 分 類(lèi)持 久 期實(shí) 例非耐久性有機(jī)物1-12周大多數(shù)有機(jī)磷殺蟲(chóng)劑弱耐久性有機(jī)物3-20個(gè)月甲基對(duì)硫磷耐久性有機(jī)物2-5年有機(jī)氯化合物，DDT永久性污染物不降解金屬類(lèi)、無(wú)機(jī)鹽類(lèi)環(huán)境介質(zhì)的推流遷移作用，污染物的分散作用和衰減過(guò)程0aAx0aA0aAx(1) 推流遷移 (2)推流遷移+分散 (3)推流遷移+分散+衰減A=a A=a Aax假設(shè)進(jìn)入環(huán)境的污染物可以和介質(zhì)相互交融，具有一樣的流膂力學(xué)性質(zhì)，無(wú)相間轉(zhuǎn)移景象，從而可以把污染物質(zhì)點(diǎn)看作是流體質(zhì)點(diǎn)進(jìn)展分析。按空間維數(shù)分類(lèi)；分為零維、一維、二維、三維

25、水質(zhì)模型。當(dāng)把所調(diào)查的水體看成是一個(gè)完全混合反響器時(shí)，即水體中水質(zhì)組分的濃度是均勻分布的，描畫(huà)這種情況的水質(zhì)模型稱(chēng)為零維的水質(zhì)模型。描畫(huà)水質(zhì)組分的遷移變化在一個(gè)方向上是重要的，另外兩個(gè)方向上是均勻分布的，這種水質(zhì)模型稱(chēng)為一維水質(zhì)模型。描畫(huà)水質(zhì)組分的遷移變化在兩個(gè)方向上是重要的，在另外的一個(gè)方向上是均勻分布的，這種水質(zhì)模型稱(chēng)為二維水質(zhì)模型。描畫(huà)水質(zhì)組分，遷移變化在三個(gè)方向進(jìn)展的水質(zhì)模型稱(chēng)為三維水質(zhì)模型。 1零維環(huán)境質(zhì)量根本模型箱模型的推導(dǎo) 根據(jù)質(zhì)量守衡可寫(xiě)出完全混合反響器的平衡方程,即零維模型 延續(xù)流完全混合反響器Q,C0Q,CSV,C假設(shè)單元內(nèi)沒(méi)有源和匯項(xiàng)，并且本身衰減可以看作是一級(jí)反響，那么

26、零維模型可以改寫(xiě)成 2混合單元模型系列箱模型假設(shè)被視作完全混合器的環(huán)境單元有假設(shè)干個(gè)，首尾相連，那么描畫(huà)這種環(huán)境系統(tǒng)的零維模型被稱(chēng)為混合單元系列模型。比如，河流無(wú)法看成一個(gè)箱子，但可以分割成一系列的河段，每個(gè)河段以為是濃度均勻的箱子，近似模擬河流的污染情況?；旌蠁卧盗心Ｐ椭苯永昧憔S模型， 對(duì)單元1有 對(duì)單元2有 對(duì)單元i有 3一維環(huán)境質(zhì)量根本模型的推導(dǎo) 單位時(shí)間內(nèi)，流經(jīng)端面的物質(zhì)總量為物質(zhì)通量與面積的乘積。單位時(shí)間內(nèi)輸入量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)的輸出量為：假設(shè)體積元污染物按一級(jí)反響式衰減，衰減量為：對(duì)微小體元利用質(zhì)量守衡定律，并令x0，得 在均勻流場(chǎng)中，介質(zhì)的流速和分散系數(shù)可以以為是常數(shù)，那么上式

27、進(jìn)一步簡(jiǎn)化 x 坐標(biāo)方向的彌散系數(shù) x方向的流速分量 y 坐標(biāo)方向的彌散系數(shù) y方向的流速分量4二維和三維環(huán)境數(shù)學(xué)根本模型 假設(shè)思索微元2個(gè)或3個(gè)方向的物質(zhì)平衡關(guān)系，我們可以得到相應(yīng)的均勻流場(chǎng)中的二維和三維環(huán)境質(zhì)量根本模型。二維環(huán)境數(shù)學(xué)根本模型，均勻穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)： 三維環(huán)境數(shù)學(xué)根本模型，均勻穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)，守恒物質(zhì) 三、機(jī)理分析法建模例：香煙過(guò)濾嘴的作用分析建模1問(wèn)題的提出和分析 首先分析吸煙過(guò)程：有毒物質(zhì)根本上均勻分布在煙草中，吸煙時(shí)點(diǎn)燃的煙草化為煙霧，一部分進(jìn)入空氣，一部分沿?zé)煵荽┬?，其中一部分又被未燃煙草和過(guò)濾嘴吸附，剩下的進(jìn)入人體。吸附在煙草上的有毒物在該處煙草被點(diǎn)燃時(shí)又進(jìn)入煙霧中，反復(fù)上述過(guò)程

28、 。假設(shè)一切人和一切時(shí)辰吸煙動(dòng)作和方式根本一樣，外部環(huán)境在吸煙過(guò)程中也不變，這樣許多參數(shù)都可以看作常數(shù)。 2模型假設(shè)模型變量和參數(shù) 煙草和過(guò)濾嘴長(zhǎng)度分別為 ，毒物M均勻分布在煙草中，線(xiàn)濃度為點(diǎn)燃處煙霧進(jìn)入空氣和順煙草運(yùn)轉(zhuǎn)的比例為 未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)經(jīng)過(guò)的煙霧毒物吸附的百分?jǐn)?shù)為 將1支煙吸完人體吸收毒物總量為Q。 煙霧在煙草中穿行的速度是v，煙草熄滅的速度是u，并有 時(shí)辰t單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)煙截面x處的毒物流量為qx，t；時(shí)辰t截面x處單位長(zhǎng)度煙草中的毒物含量wx，t。由假設(shè)，wx，0=W0。 3)問(wèn)題的數(shù)學(xué)描畫(huà)方法建立微分方程及求解 香煙模型建立表示圖 對(duì)吸煙者吸入毒物總量Q，有 我們分析毒物

29、流量函數(shù)的方式。首先思索剛點(diǎn)燃瞬間情況。由于 可以以為煙霧穿過(guò)一小段香煙時(shí)點(diǎn)燃處位置沒(méi)有發(fā)生變化。即 根據(jù)假設(shè)，有 是煙霧穿過(guò)所需求的時(shí)間。令其趨向零，有 1 初始時(shí)釋放的毒物總量和吸入的毒物量：解微分方程1得，對(duì)煙草內(nèi)部有 對(duì)過(guò)濾嘴部分，根據(jù)在結(jié)合部該函數(shù)延續(xù)的推想初始條件，有 四、線(xiàn)性回歸分析建模方法 一一元線(xiàn)性回歸分析簡(jiǎn)述一元線(xiàn)性回歸分析是一種常用的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。它的根本假設(shè)是：1.一切自變量取值 都是準(zhǔn)確值，不存在誤差；2.因變量和自變量之間是相關(guān)關(guān)系，因變量還存在察看誤差，與察看點(diǎn)擬合得最好的直線(xiàn)是各察看點(diǎn)到該直線(xiàn)的Y向間隔平方和最小。二一元線(xiàn)性回歸分析法參數(shù)估值模型的構(gòu)造方式確定之

30、后，還需求確定模型中的參數(shù)值，稱(chēng)為環(huán)境數(shù)學(xué)模型的參數(shù)估值。在實(shí)踐任務(wù)中，模型中的參數(shù)值隨不同的詳細(xì)環(huán)境而變化，必需經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到數(shù)據(jù)，然后采用一定的方法進(jìn)展估計(jì)，如分散系數(shù)E，有機(jī)物衰減常數(shù)Kd，大氣復(fù)氧系數(shù)Ka等。 利用根本質(zhì)量模型的解析解方式進(jìn)展參數(shù)估值最方便。這時(shí)，模型構(gòu)造和需求估計(jì)的參數(shù)數(shù)量是確定的，我們可以根據(jù)模型構(gòu)造類(lèi)型和參數(shù)多少?zèng)Q議采用估值的方法。假設(shè)模型是線(xiàn)性函數(shù)或可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性函數(shù)的函數(shù)方式，可以采用一元和多元線(xiàn)性回歸分析方法進(jìn)展參數(shù)估值。否那么就需求用最優(yōu)化方法進(jìn)展參數(shù)估值，或用網(wǎng)格法等數(shù)值計(jì)算的方法進(jìn)展估計(jì)。 設(shè)所求的回歸直線(xiàn)方程為表示是用建立的線(xiàn)性回歸方程估計(jì)的因變

31、量值，上邊加短平線(xiàn)表示平均值，不加任何符號(hào)的為實(shí)測(cè)值。式中，為用回歸方程估計(jì)值和實(shí)踐值的差，稱(chēng)為殘差。各知察看點(diǎn)到該回歸直線(xiàn)的Y向間隔的平方和 我們求的就是使J取最小值的回歸方程系數(shù)m和b，即J對(duì)b和J對(duì)m的偏導(dǎo)數(shù)為零的m和b值。 對(duì)上式求導(dǎo)并聯(lián)立建立方程，方程組求解，可以得到一元線(xiàn)性回歸系數(shù)的計(jì)算公式 有機(jī)污染物的好氧生化降解模型水體中有機(jī)物的生化降解呈以及動(dòng)力學(xué)反響廢水中有機(jī)物在各時(shí)辰的耗氧速度與該時(shí)辰的生化需氧量成正比例1：某河流河水在恒溫培育箱中定時(shí)測(cè)定耗氧值，如下表所示 求有機(jī)物衰減系數(shù)Kd 有機(jī)物耗氧分解方程：初始條件： L (t=0) = L0 T,日12345678910mg/

32、l2.5673.6904.9886.0196.8377.4888.0058.4158.7419.000解析解為 而B(niǎo)OD逐日測(cè)定值為 待求參數(shù)和濃度的關(guān)系是非線(xiàn)性的，我們可以用不同的方法把它轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性。 由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，因此，當(dāng)Kd值比較小的時(shí)候普通都可以滿(mǎn)足此要求，存在以下近似式 故代入，經(jīng)過(guò)整理，有 令 有線(xiàn)性關(guān)系式： 例2：某研討獲得如表的資料，試作回歸分析經(jīng)過(guò)作散點(diǎn)圖，可以看出 和 的關(guān)系大致為為此選變換那么新的數(shù)值為繪制圖形如圖三二元線(xiàn)性回歸分析的計(jì)算公式 回歸系數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)和一元線(xiàn)性回歸公式一樣，只是準(zhǔn)那么方程需求對(duì)三個(gè)回歸系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，建立線(xiàn)性方程組并解得回歸系

33、數(shù)計(jì)算公式。二元回歸分析中的準(zhǔn)那么方程為分別對(duì)系數(shù)求導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為零 對(duì)方程求解用方差和協(xié)方差的表示那么二元線(xiàn)性回歸的系數(shù)為五、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的建模方法 歷史的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，包含了三種變動(dòng)要素： 長(zhǎng)期變動(dòng)趨勢(shì)； 周期變動(dòng)趨勢(shì)； 隨機(jī)動(dòng)搖趨勢(shì) 我國(guó)社會(huì)商品零售總額如下表，試建立自回歸預(yù)測(cè)模型 年 份零售總額，Yi后退1年，X1后退2年，X21970858.01971929.2858.019721023.3929.2858.019731106.71023.3929.219741163.61106.71023.319751271.11163.61106.719761339.41271.11163.619

34、771432.81339.41271.119781558.61432.81339.419791800.01558.61432.819802140.01800.01558.619812350.02140.01800.019822570.02350.02140.0設(shè)自回歸預(yù)測(cè)模型為 假設(shè)不存在周期性變化，那么用最近的數(shù)據(jù)最可靠，即m=1。假設(shè)存在周期性變化，周期是T，取m=T比較適宜。也可以用后退不同時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)建立自回歸模型，比較相關(guān)系數(shù)，取R大者對(duì)應(yīng)的回歸方程為我們求的模型。利用一元線(xiàn)性回歸分析方法，求出的自回歸方程和相關(guān)系數(shù)為 后退2年的回歸方程，R=0.982，小于上述回歸方程值，不采用

35、。1趨勢(shì)預(yù)測(cè)建模方法這是一類(lèi)根據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)點(diǎn)出的散點(diǎn)圖外形建模的方法，用時(shí)間t直接作自變量。對(duì)于社會(huì)景象或生物景象，事物隨時(shí)間變化規(guī)律普通可以用不多幾種模型曲線(xiàn)性狀來(lái)描畫(huà)。主要的模型有：第一：線(xiàn)性直線(xiàn)關(guān)系，模型方式直線(xiàn)外形 拋物線(xiàn)外形 S曲線(xiàn)外形第二：拋物線(xiàn)性關(guān)系，模型方式 可以轉(zhuǎn)變?yōu)槎€(xiàn)性關(guān)系第三：指數(shù)曲線(xiàn)性關(guān)系，模型方式 或可以轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€(xiàn)性式 第四：生長(zhǎng)S形曲線(xiàn)關(guān)系，模型方式 皮爾模型 龔伯茲曲線(xiàn)模型 2挪動(dòng)平均法建模假設(shè)時(shí)間序列中數(shù)據(jù)的變動(dòng)不僅有總趨勢(shì)引起的部分，還有周期性要素引起的部分，那么需求消除周期性變動(dòng)成分，才可以凸現(xiàn)出總體變化趨勢(shì)。挪動(dòng)平均法是修勻時(shí)間序列數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)一方法

36、，包括簡(jiǎn)單挪動(dòng)平均法、幾何挪動(dòng)平均法，和加權(quán)挪動(dòng)平均法。 簡(jiǎn)單挪動(dòng)平均法：把原數(shù)列從后邊開(kāi)場(chǎng)算起，N項(xiàng)求和計(jì)算平均值替代原來(lái)最后一項(xiàng)，然后從最后第二項(xiàng)算起求N-1項(xiàng)平均替代最后第二項(xiàng)，如此進(jìn)展構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)據(jù)系列。這種方法把數(shù)據(jù)內(nèi)的周期變化和無(wú)規(guī)那么變化修勻，變動(dòng)趨于平滑，使長(zhǎng)期趨勢(shì)更明顯。這里假設(shè)僅有無(wú)規(guī)那么變動(dòng)，N取值影響不大，假設(shè)有周期變化，取周期值為N往往效果好得多。假設(shè)周期未知，需求嘗試確定。挪動(dòng)平均計(jì)算公式加權(quán)挪動(dòng)平均，和簡(jiǎn)單挪動(dòng)平均一樣，但每一個(gè)數(shù)列值上都乘1個(gè)權(quán)系數(shù)0w1，權(quán)系數(shù)取值根據(jù)客觀判別，如對(duì)新察看值，權(quán)值就大一些。3思索周期變化趨勢(shì)建模 平均數(shù)季節(jié)指數(shù)法我們知道周期T

37、，這里無(wú)妨以一年四季為例。我們有多年的歷史數(shù)據(jù)，那么可以根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算 有了上述數(shù)值，和對(duì)某一年的預(yù)測(cè)值，或知某一年其中前幾個(gè)月的值，就可以用季節(jié)指數(shù)估計(jì)其它月份或季節(jié)的值。這樣做有一個(gè)前提，就是歷史數(shù)據(jù)中沒(méi)有總的趨勢(shì)變動(dòng)，否那么要把數(shù)據(jù)中總變動(dòng)趨勢(shì)扣除。我們常用挪動(dòng)平均趨勢(shì)剔除法。該方法先用挪動(dòng)平均法求出時(shí)間序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)，而后在原數(shù)列中將長(zhǎng)期趨勢(shì)剔除，再計(jì)算季節(jié)指數(shù)。 六、相關(guān)性檢驗(yàn)從建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，我們可以看到，無(wú)論我們?nèi)绾未_定模型的構(gòu)造，都可以運(yùn)用最小二乘法進(jìn)展參數(shù)估值來(lái)獲得數(shù)學(xué)模型。例如對(duì)于任何兩個(gè)變量 x和 y的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不論 y與 x之間能否確實(shí)存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，我們

38、都可以求出一個(gè)線(xiàn)性回歸方程。在建立了兩個(gè)變量 y與 x之間的線(xiàn)性回歸方程后，還必需判別 y與 x之間能否真有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系。這種判別 y與 x 能否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的方法，通常稱(chēng)為相關(guān)性檢驗(yàn)。 這里引見(jiàn)一種較為簡(jiǎn)便的相關(guān)性檢驗(yàn)法 按照以上相關(guān)系數(shù)計(jì)算式求得的相關(guān)系數(shù)R 是處在 -1和 1之間的數(shù)。其絕對(duì)值的數(shù)值越大，表示 y與 x兩者的相關(guān)關(guān)系越好。特別地，假設(shè)|R|=1， y與 x兩者稱(chēng)為完全相關(guān)關(guān)系；當(dāng)相關(guān)系數(shù) R=0 時(shí)，稱(chēng)y與 x兩者不相關(guān)。由于 y與 x可以是任何數(shù)據(jù)集合，假設(shè)它們分別代表的是數(shù)學(xué)模型的計(jì)算值和用來(lái)檢驗(yàn)的一組觀測(cè)值，相關(guān)系數(shù) R 愈大，數(shù)學(xué)模型愈準(zhǔn)確；反之，相關(guān)系數(shù)愈小

39、，數(shù)學(xué)模型就愈不準(zhǔn)確。 假設(shè)用來(lái)檢驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)有 n 個(gè)，先由觀測(cè)值計(jì)算出相關(guān)系數(shù)R，于是就有如下結(jié)論：(1)假設(shè) |R|R0.05(n-2)，那么以為y與 x兩者的相關(guān)關(guān)系不顯著，或者說(shuō) y與 x之間不存 在相關(guān)關(guān)系。(2)假設(shè) R0.05(n- 2)R0.01(n-2)， 那么以為y與 x兩者的相關(guān)關(guān)系高度顯著。相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表 a0.050n-20.010 10.997 1.000 20.950 0.990 30.878 0.959 40.811 0.917 50.754 0.874 60.707 0.834 70.666 0.798 80.632 0.765 9100.602 0.576

40、0.735 0.708 為了堅(jiān)持自然資料的合理開(kāi)發(fā)與利用，人類(lèi)必需堅(jiān)持并控制生態(tài)平衡，甚至必需控制人類(lèi)本身的增長(zhǎng)。 本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)單分析一下這方面的問(wèn)題。普通生態(tài)系統(tǒng)的分析可以經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)單模型的復(fù)合來(lái)研討，大家假設(shè)有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。 種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量普通較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作延續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是非常微小的。 離散化為延續(xù)，方便研討Malthus模型與Logistic模型模型1 馬爾薩斯Malthus模型 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長(zhǎng)率r根本

41、上是一常數(shù)，r=b-d,b為出生率，d為死亡率， 即： 解為：其中N0=N(t0)為初始時(shí)辰t0時(shí)的種群數(shù)。 馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T(mén)，那么有： 故模型檢驗(yàn) 比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)踐情況與馬爾薩斯模型的預(yù)告結(jié)果根本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6 即3.06109，人口增長(zhǎng)率約為2%，人口數(shù)大約每35年添加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)踐數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年添加一倍，兩者也幾乎一樣。 模型預(yù)測(cè) 假設(shè)人口數(shù)真能堅(jiān)持每34.6年添加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到2510年，人口達(dá)21014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只需9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)361015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。 故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)Malthus模型實(shí)踐上只需在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等緣由，就能夠發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等景象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長(zhǎng)率不能夠一直堅(jiān)持常數(shù)，它該當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。模型2 Logistic模型 人口凈增長(zhǎng)率該當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有：