點、直線、平面之間的位置關(guān)系-復(fù)習(xí)課件

1、第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 復(fù)習(xí)課件網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)知識辨析判斷下列說法是否正確（請在括號中填“”或“”）1.如果一條直線過平面內(nèi)一點與平面外一點，那么這條直線與這個平面有且只有一個交點。（ ）2.如果兩個平面有一個交點，則這兩個平面有一條過這個點的公共直線。（ ）3.如果兩個平面平行，則這兩個平面沒有交點。（ ）4.若一條直線上有兩個點在某一平面內(nèi)，則這條直線上有無數(shù)個點在這個平面內(nèi)。（ ）5.平行于同一條直線的兩個平面平行。（ ）6.一條直線垂直于一個平面內(nèi)的三條直線，則這條直線垂直于這個平面。（ ）7.兩個相交平面組成的圖形叫做二面角。（ ）8.垂直于同一條直線的兩個平面平行。（ ）主

2、題串講 方法提煉總結(jié)升華 一、平面基本性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CC1和AA1的中點，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線，并說明理由。解：在平面AA1D1D內(nèi)，延長D1F，因為D1F與DA不平行，所以D1F與DA必相交于一點，設(shè)為P，則PFD1，PDA。又因為D1F平面BED1F，DA平面ABCD，所以P平面BED1F，P平面ABCD，所以P為平面BED1F與平面ABCD的公共點。又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點，所以連接PB（如圖），PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線。規(guī)律方法 證明三線共點常用的方法是先證明兩條直線共面且相

3、交于一點；然后證明這個點在兩個平面內(nèi)，于是該點在這兩個平面的交線上，從而得到三線共點。也可以證明直線a、b相交于一點A，直線b與c相交于一點B，再證明A、B是同一點，從而得到a、b、c三線共點。即時訓(xùn)練1-1：如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BGGC=DHHC=12。求證：（1）E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）EG與HF的交點在直線AC上。證明：（1）因為BGGC=DHHC，所以GHBD。因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EFBD，所以EFGH，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面。（2）因為G，H不是BC，CD的中點，所以EFGH，且EFGH

4、，所以EG與FH必相交，設(shè)交點為M，而EG平面ABC，HF平面ACD，所以M平面ABC，且M平面ACD，所以MAC，即EG與HF的交點在直線AC上。二、空間線面位置關(guān)系的證明【典例2】 在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，BAC=90，AB=AA1，點M，N分別為A1B和B1C1的中點。（1）證明：A1M平面MAC；證明：（1）因為A1A平面ABC，AC平面ABC，所以ACA1A，又因為BAC=90，所以ACAB，因為AA1平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，AA1AB=A，所以AC平面AA1B1B，又A1M平面AA1B1B，所以A1MAC。又因為四邊形AA1B1B為正方形，M

5、為A1B的中點，所以A1MMA，因為ACMA=A，AC平面MAC，MA平面MAC，所以A1M平面MAC。（2）證明：MN平面A1ACC1。證明：（2）連接AB1，AC1，由題意知，點M，N分別為AB1和B1C1的中點，所以MNAC1。又MN平面A1ACC1，AC1平面A1ACC1，所以MN平面A1ACC1。規(guī)律方法 空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化主要有：（1）平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化。（2）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。線線垂直 線面垂直 面面垂直（3）平行與垂直的轉(zhuǎn)化。即時訓(xùn)練2-1：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作

6、EFPB交PB于點F。（1）證明：平面PAC平面PBD；證明：（1）由底面ABCD是正方形，知ACBD，由側(cè)棱PD底面ABCD，及AC平面ABCD知ACPD。又PDBD=D，故AC平面PBD。又AC平面PAC，從而，由平面與平面垂直的判定定理知，平面PAC平面PBD。（2）證明：PB平面EFD。證明：（2）在PDC中，由PD=DC，E是PC的中點，知DEPC。由底面ABCD是正方形，知BCDC，由側(cè)棱PD底面ABCD，BC底面ABCD，知BCPD。又DCPD=D，故BC平面PCD。而DE平面PCD，所以DEBC。由DEPC，DEBC及PCBC=C，知DE平面PBC。又PB平面PBC，故DEPB

7、。又已知EFPB，且EFDE=E，因此PB平面EFD。三、空間位置關(guān)系的證明與空間角的計算【典例3】 如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，點E是CD邊的中點，點F，G分別在線段AB，BC上。（1）證明：PEFG；（1）證明：因為PD=PC，點E為DC中點，所以PEDC。又因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCD=DC，所以PE平面ABCD。又FG平面ABCD，所以PEFG。（2）求二面角P-AD-C的正切值。規(guī)律方法 求角度問題時，無論哪種情況最終都?xì)w結(jié)到兩條相交直線所成的角的問題上，求角度的解題步驟是：（1）找出這個角；（2）證該角

8、符合題意；（3）構(gòu)造出含這個角的三角形，解這個三角形，求出角?？臻g角包括以下三類：兩條異面直線所成的角，找兩條異面直線所成的角，關(guān)鍵是選取合適的點引兩條異面直線的平行線，這兩條相交直線所成的銳角或直角即為兩條異面直線所成的角。求直線與平面所成的角關(guān)鍵是確定斜線在平面內(nèi)的射影。求二面角關(guān)鍵是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角時，首先要確定二面角的棱，然后結(jié)合題設(shè)構(gòu)造二面角的平面角。即時訓(xùn)練3-1：如圖，已知二面角-MN-的大小為60，菱形ABCD在平面內(nèi)，A，B兩點在棱MN上，BAD=60，E是AB的中點，DO平面，垂足為O。（1）證明：AB平面ODE；（1）證明：如圖，因為DO，AB，所以

9、DOAB。連接BD，由題設(shè)知，ABD是正三角形，又E是AB的中點，所以DEAB，DODE=D，故AB平面ODE。（2）求異面直線BC與OD所成角的余弦值。四、空間幾何體中位置關(guān)系的證明與體積計算【典例4】 如圖甲，O的直徑AB=2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側(cè)，使CAB=45，DAB=60。沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點，E為AO的中點。P為AC上的動點，根據(jù)圖乙解答下列各題：（1）求三棱錐D-ABC的體積；（2）求證：不論點P在何位置，都有DEBP；（2）證明：因為PAC，所以P平面ABC，所以PB平面ABC。又由（1）知，DE平面ABC，所以不論點

10、P在何位置，都有DEBP。（3）在 上是否存在一點G，使得FG平面ACD？若存在，試確定點G的位置；若不存在，請說明理由。規(guī)律方法（1）求空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的高，若幾何體的高容易求出，可直接代入體積公式計算，否則可用下列方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化：等體積轉(zhuǎn)化法：對于三棱錐因為任何一個面都可作為底面，所以在求三棱錐的體積時，可將其轉(zhuǎn)化為底面積和高都易求的形式求解。補體法：將幾何體補成易求體積的幾何體，再根據(jù)它們的體積關(guān)系求解。分割法：將幾何體分割為易求體積的幾部分，分別求解再求和。（2）有關(guān)平面圖形翻折成空間圖形的問題，應(yīng)注意翻折前后各元素（直線、線段、角）的相對位置（平行、垂直）和數(shù)量的變化

11、，搞清楚哪些發(fā)生了變化、哪些不變。即時訓(xùn)練4-1：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點。（1）求證：DE平面ABC；（1）證明：取BC中點G，連接AG，EG，因為E是B1C的中點，所以EGBB1，且EG= BB1。由直棱柱知AA1BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中點，所以EGAD，EG=AD，所以四邊形EGAD是平行四邊形，所以EDAG，又ED平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC。（2）求三棱錐E-BCD的體積。五、易錯題辨析【典例5】 如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1

12、上的點，且AE=C1F。求證：四邊形EBFD1是平行四邊形。錯解：因為平面A1ADD1平面B1BCC1，D1E=平面A1ADD1平面BFD1E，BF=平面B1BCC1平面BFD1E，所以D1EFB。同理可得D1FEB。所以四邊形EBFD1是平行四邊形。糾錯：錯解中盲目地認(rèn)為E，B，F(xiàn)，D1四點共面，由已知條件并不能說明這四點共面，同時條件AE=C1F也沒有用到。真題體驗 真題引領(lǐng)感悟提升 1.（2016全國卷，理11）平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（ ）A2.（2017全國卷，文6）如圖，在下列四

13、個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（ ）A解析：如圖O為正方形CDBE的兩條對角線的交點，從而O為BC的中點，在ACB中，OQ為中位線，所以O(shè)QAB，OQ平面MNQ=Q，所以，AB與平面MNQ相交，而不是平行，故選A。3.（2016全國卷，理14），是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么。如果m，n，那么mn。如果，m，那么m。如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等。其中正確的命題有。（填寫所有正確命題的編號）解析：可能有m，即，得錯，正確。答案：4.（2017全國卷，文18）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD，且BAP=CDP =90。（1）證明：平面PAB平面PAD；（1）證明：由已知BAP=CDP=90，得ABAP，CDPD。由于AB