8-高階緊致格式

1、 10.高階緊致差分格式先考慮導(dǎo)數(shù)的差分近似。若某一差分近似的精度是p階的，則近似的誤差就是OChp)。要想進(jìn)一步提高精度，通常有兩種途徑：減小h(h-version)或是提高p(p-version)。但由于計(jì)算機(jī)資源的限制，h不可能無(wú)限地減小，因此在需要高精度流場(chǎng)計(jì)算的情形(如，粘性邊界層、湍流等)，就要考慮采用高階格式。通常情形，構(gòu)造高階格式需要更多的點(diǎn)。例如：兩點(diǎn)差分近似只有一階精度。而使用三個(gè)點(diǎn)，就可以構(gòu)造出二階近似-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)-2h精度越高，需要的點(diǎn)就更多。對(duì)于中心差分近似也有類(lèi)似的結(jié)果。但是這種高階近似用在差分格式中，除了計(jì)算公式更加復(fù)雜，計(jì)算量增加

2、之外，還會(huì)造成其他困難。例1：以一個(gè)簡(jiǎn)單的常微分方程初值問(wèn)題為例。設(shè)a0。du+au=0(00，導(dǎo)數(shù)采用向后差分近似，就有u-ujj-_L+au=0(j=1,2,3,L,M)hj實(shí)際的計(jì)算方案為1u=uj1+haj-1j=1,2,3,L,M)上述格式用到兩個(gè)點(diǎn)，但只有一階精度。如果采用二階差分近似則成為3u-4u+ujj-i+au=0(j=2,3,L,M)hj這個(gè)格式具有二階精度?？墒怯捎谏婕叭齻€(gè)點(diǎn)，所以只能從j=2開(kāi)始計(jì)算。而初始條件只提供了u=a。因此u的計(jì)算就需要補(bǔ)01充另外的等式。對(duì)于更為復(fù)雜的流動(dòng)控制方程以及更復(fù)雜、精度更高的數(shù)值格式，這種問(wèn)題就更加嚴(yán)重。現(xiàn)在我們從另外一個(gè)角度來(lái)考察

3、上述問(wèn)題。將導(dǎo)數(shù)的近似值記作/duu0一jdx，則差分格式就可寫(xiě)成ju0+au=0jj我們剛才所做的不過(guò)是用不同的差分來(lái)代替u0。因此，我們遇到的j困難就是：用高階差分代替u0，就會(huì)涉及更多的點(diǎn)。而我們的問(wèn)題j也就是：有沒(méi)有不涉及更多點(diǎn)的高階差分？ 234 我們借助算符演算來(lái)討論這一問(wèn)題。例2：由?I-E-1可推出E-1=I-，于是有TOC o 1-5 h zD=ZinE=-1lnE-1=-Lln(I-)hhh1驏111亠=-1?i?2i?3丄？4LZh桫234Z?2?323!?44LZZ上式右端取第一項(xiàng)，就得到一階差分近似=1G-E-1)，即f厶)/C)-fC-h)hh如果取前兩項(xiàng)，就得到二

4、階近似2Z1犏-E-J+(-E-J2h臌臌=(2I-2E-1+I-2E-1+E-2)=(3I-4E-1+E-2即-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)2h這些就是前面用到的向后差分近似。但如果繼續(xù)演算，有D=?2!?3?4LZZ11hn22蟲(chóng)4?4L11hn21?221?331?,4?2!?34?46UL再八U1?12上式中N2的系數(shù)為零,因此取第一項(xiàng)相當(dāng)于取了前兩項(xiàng)，也能得到二階精度的近似。即D1Nhn2注意到此式中只出現(xiàn)了N的一次方,因此只涉及兩個(gè)點(diǎn)。上面導(dǎo)出了一個(gè)新的差分近似,是用差分算子的有理分式表示的，因此稱(chēng)為微分算子的有理函數(shù)近似（Pade逼近）。而通常的差分近似都是用多項(xiàng)式

5、表示的。例3：由(p5=p53-p2+E-2)33臌41(E+2I+E-1)33臌4=03-犏1(E-2/+E-1)03=卩03+4卩05(0)5=05-4)05=05-1(E2+E-；)05臌162=05-2+4E+6I+4E-1+E-2)05犏16=LIO5-1_22I+E-1)2-4E+6I-4E-1+E-205uu111604倉(cāng)5=卩05+尹07+于是有D=MG0)=16鮒訥0-L1驏瓏6暑丄卩09-L1611亠口03+口05-L士630_上式右端取第一項(xiàng)，就得到二階精度的中心差分近似(E-E-1)，即f(x+h)-f(x-h)2h而取前兩項(xiàng)，就能得到四階精度的中心差分近似 6 D?1

6、8驏h桫5112h(E2-8E+8E-1-E-2)f(x+2h)-8f(x+h)+8f(x-h)-f(x-2h)12h但又有11lx53+lx55-6卩30卩11hT1oI+_52仏6瓏+652鼢11lx53+lx55-L630_li53+6130|lx55-LWTOC o 1-5 h z驏1龍+8_卩53-卩55+L卻磅5-0 x53+1636嚴(yán)議毎卩55-Li=11=hrrI+526和前一個(gè)例子一樣，上式中只取第一項(xiàng)，就能得到四階精度的中心差分近似D而且該差分近似只涉及三個(gè)點(diǎn)。以上的討論表明，有理函數(shù)近似可以達(dá)到我們?cè)瓉?lái)的目的，即有理函數(shù)近似具有更高的精度，又不涉及更多的點(diǎn)。面考慮微分算子

7、有理函數(shù)近似在數(shù)值格式中的應(yīng)用。這種有理函數(shù)的表達(dá)式只是一種算符操作，在實(shí)際應(yīng)用中就需要將有理分式化為整式，過(guò)程如下。例4：由D1Nhn2作用在函數(shù)f(x)上-牙鴉Df(x)Lf(x)桫2一h即桫一2葩)hf(x)將算子展開(kāi)，就是f佢)+fC-h)fC)-fC-h)2h對(duì)中心差分近似也有類(lèi)似地的結(jié)果。例5：由門(mén)1MDh11只I+_026有驏+1o2ioLm桫6一h作用在函數(shù)f(x)上，夢(mèng)+-02iof(X)1y0fC)桫6ih即驏+102ifXx)丄|10f(x)桫6ih將算子展開(kāi)，就是f紅+h)+4f(x)+f(x-h)f(x+h)-f(x-h)62h以上兩個(gè)例子表明，有理函數(shù)給出的差分近似

8、，會(huì)同時(shí)有多個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值出現(xiàn)，需聯(lián)立求解。而通常的差分近似，只出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，可逐點(diǎn)計(jì)算。這兩者之間的區(qū)別，類(lèi)似于隱式格式與顯式格式的區(qū)別。正因?yàn)槿绱?，微分算子的有理函?shù)近似也稱(chēng)為隱式差分近似。同時(shí)，由于涉及較少的點(diǎn)，通常又稱(chēng)為緊致差分近似。例6：將例4中的緊致差分近似應(yīng)用于例1中給出的初值問(wèn)題，(u0+au=0jj1iu1+uu-ujj-1=jj-12hj=1,2,3,L,M)整理后，得到未知解的近似u及其導(dǎo)數(shù)值近似u0的聯(lián)立方程組jju0+au=0jj-hu1+2u=hu+2ujjj-1j-1解得u=j1u0=j2u+hu0j-12+ha2au+hau0j-12+haj=1,2,3

9、,L,M)對(duì)于j=0，利用原方程可給出初值u=a,u0=-au=-aa000由此可見(jiàn)，在緊致差分格式的求解過(guò)程中，未知解的近似及其導(dǎo)數(shù)值的近似都是未知量，是需要聯(lián)立在一起求解的。上面的例子是一個(gè)兩點(diǎn)緊致格式，最終得到了一個(gè)遞推關(guān)系式，逐點(diǎn)計(jì)算。對(duì)于涉及三個(gè)甚至更多點(diǎn)的高階緊致格式，就需要將未知解的近似u、u、L、u及其導(dǎo)數(shù)值的近似u0、u0、L、12M12u0（如果原方程還包括二階導(dǎo)數(shù)，則還有二階導(dǎo)數(shù)值的近似u1、M1u1、L、u1）全部放在一起聯(lián)立求解。因此，高階緊致格式中需2M要求解的未知量比較多，這是它的一個(gè)弱點(diǎn)。1.2.3.4.5.面列出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)高階緊致差分近似的一些結(jié)果。P

10、ade逼近（三點(diǎn)四階）uii+4u+uj+1ji-16uj+1j-12hu1+10u1+u1U1jji12uj+12u+uh2對(duì)稱(chēng)緊致格式（五點(diǎn)六階）14u3j+ij3j-192h11u11+u+u對(duì)稱(chēng)緊致格式（五點(diǎn)八階）j+1144u1+u+u1+u36j+29j+ij9j-11u1+2j-294h1u36j-240u272hj+1j+25u54j-2.4h迎風(fēng)緊致格式（三點(diǎn)三階）21_u1+uu+j+14u-5u/-13j3j-16h迎風(fēng)緊致格式五點(diǎn)五階）32u1+_u5j5j-1u+12u+36u-44uj+2j+1jj-1j+160h3uj-26.廣義緊致格式（對(duì)稱(chēng)三點(diǎn)六階）上面給出的

11、緊致差分近似，計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)的緊致差分里不會(huì)出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)的近似值，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)的緊致差分里也不會(huì)出現(xiàn)一階導(dǎo)數(shù)的近似值。如果突破這個(gè)限制，就成為廣義緊致差分近似。例如h2(u1-4u1)-仝(8u1+8u-u)24j+1j24j+1jj-1+_1(39u-48u+9u)=048j+1jj-1冬（u1-u1)-h(7u1+16u+7u)+(39u-u)=015j+1j-115j+1jj-1j+1j-17.廣義緊致格式（迎風(fēng)兩點(diǎn)三階）u11-u11u11+uu-uj+1j-j+1j+j+1j=0122hh2u1-u1u1+uu-u-J.-_Ji-L+i-=0122hh2最后給出一個(gè)實(shí)例。例7：考慮Bu

12、rgers方程（對(duì)流擴(kuò)散方程）兩點(diǎn)邊值問(wèn)題0 x1u2ua=vx勺x2Pu4：=ax=0將空間區(qū)域臌輊犏0,1均勻劃分成M個(gè)網(wǎng)格，則空間網(wǎng)格的尺寸為1h=M網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)為xj=jh（丄八M）在tn=nDt時(shí)刻（n=1,2,3,Dt是時(shí)間步長(zhǎng)），將未知函數(shù)及其空間導(dǎo)數(shù)在網(wǎng)格點(diǎn)上的近似值分別記作uu(x,tn)jjFjt=tnt=tnx=xj的近似解已經(jīng)求出，記成=(n-1)Dt現(xiàn)假設(shè)上一時(shí)刻tn-1bu（x,tn-1），在計(jì)算過(guò)程中視為已知。jj于是，在空間區(qū)域輊1內(nèi)的第j個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)（j=1,2,L,M-1）處，有原方程的差分近似u-b/L+aF-vS=0Dtjj和空間導(dǎo)數(shù)的Pade逼近u-uF+4F+Fj+1j-1-j+1jj-1=02h6u-2u+uj+1jj-1-h2S+10S+Sj+1ij-1=012在左邊界j=0處，有邊界條件Pu+F=a00原方程的差分近似u-b_oo+aF-vS=0Dt00以及空間導(dǎo)數(shù)的廣義緊致格式u-uF+FS-S1o-1o+10=0h22h12在右邊界j=M處，有邊界條件u=UM在此處，原方程成為aF-vS=0MM還有空間導(dǎo)數(shù)的廣義緊致格式u-uF+FS-SMM-1-MM-1+MM-1=0h22h12將所有這些集成在一起，就得到線性方程