場(chǎng)論習(xí)題答案(共9頁)

1、習(xí)題(xt)3 3-1求數(shù)量(shling)場(chǎng)在點(diǎn)處沿的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)。解：因，其方向余弦為在點(diǎn)處有所以3-2求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿曲線朝增大一方的方向?qū)?shù)。解：所求方向?qū)?shù)，等于函數(shù)在該點(diǎn)處沿曲線上同一方向的切線方向?qū)?shù)。曲線上點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,從而在點(diǎn)M處沿所取方向，曲線的切向方向?qū)?shù)為，其方向余弦為又。于是所求方向?qū)?shù)為3-3求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？解： 因， 當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)最大。即函數(shù)(hnsh)沿梯度(t d)方向(fngxing)的方向?qū)?shù)最大最大值為。3-4.畫出平面場(chǎng)中的等值線，并畫出場(chǎng)在與點(diǎn)處的梯度矢量，看其是否符合下面事實(shí)：（1）梯度在等值線較密處的

2、模較大，在較稀處的模較??；（2）在每一點(diǎn)處，梯度垂直于該點(diǎn)的等值線，并指向增大的方向。解：所述等值線的方程為：其中第一個(gè)又可以寫為為二直線，其余的都是以軸為實(shí)軸的等軸雙曲線（如下圖,圖中）由于故由圖可見，其圖形都符合所論之事實(shí)。3-5用以下二法求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿其矢徑方向的方向?qū)?shù)。 直接應(yīng)用方向?qū)?shù)公式； 作為梯度在該方向上的投影。解：點(diǎn)P的矢徑其模其方向(fngxing)余弦為又所以(suy) 故 3-6，求數(shù)量(shling)場(chǎng)在點(diǎn)與點(diǎn)處梯度的大小和方向余弦。又問在哪些點(diǎn)上梯度為0？解：其模依次為：于是的方向余弦為的方向余弦為求使之點(diǎn)，即求坐標(biāo)(zubio)滿足之點(diǎn)，由此解得故所求之點(diǎn)為3

3、-7通過梯度(t d)求曲面上一點(diǎn)(y din)處的法線方程。解：所給曲面可視為數(shù)量場(chǎng)的一張等值面，因此，場(chǎng)在點(diǎn)處的梯度，就是曲面在該點(diǎn)的法矢量，即 故所求的法線方程為3-8求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處等值面朝軸正向一方的法線方向?qū)?shù)。 解：因梯度與夾角為鈍角，所以沿等值面朝軸正向一方的法線方向?qū)?shù)為 習(xí)題 44-1.設(shè)S為上半球面求矢量場(chǎng)向上穿過S的通量?！咎崾荆鹤⒁釹的法矢量n與r同指向】解：4-2.設(shè)S為曲面(qmin)求流速(li s)場(chǎng)在單位時(shí)間(shjin)內(nèi)下側(cè)穿S的流量Q。解： 其中D為S在xOy面上的投影區(qū)域：用極坐標(biāo)計(jì)算，有4-3.設(shè)S是錐面在平面的下方部分，求矢量場(chǎng)向下穿出S的通量。解

4、：略4-4.求下面矢量場(chǎng)A的散度。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）4-5.求在給定點(diǎn)處的值：（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）， 故。4-6.已知求。解：故 4-7求矢量(shling)場(chǎng)A從內(nèi)穿出所給閉曲面S的通量：（1）（2）解：（1）其中(qzhng)為S所圍之球域今用極坐標(biāo)計(jì)算(j sun)，有（2）。 習(xí)題(xt)五5-1.求一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)的作用下沿閉曲線從運(yùn)動(dòng)一周時(shí)所做的功。解：功 5-2.求矢量場(chǎng)沿下列曲線的環(huán)量：（1）圓周；（2）圓周。解：（1）令，則圓周的方程成為，于是環(huán)量（2）令，則圓周的方程成為，于是環(huán)量5-3.用以下兩種方法(fngf)求矢量場(chǎng)在點(diǎn)M（1,2,3）處沿方向(fngxing)的環(huán)量面密度。（1）直接(zhji)應(yīng)用環(huán)量面密度的計(jì)算公式；（2）作為旋度在該方向上的投影。解：（1）故的方向余弦為又根據(jù)公式，環(huán)量面密度(2)于是 5-4用雅可比矩陣求下列矢量場(chǎng)的散度和旋度。（1）（2）（3）解：（1）故有（2）故有（3）故有。5-5.已知求解：,有5-6.已知求解：故有內(nèi)容總結(jié)（1）習(xí)題3 3-1求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)（2）習(xí)題3 3-1求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)（3）解：