雅可比迭代試驗(yàn)報(bào)告

1、雅可比迭代法求解線性方程組的實(shí)驗(yàn)報(bào)告一、實(shí)驗(yàn)題目分別利用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解以下線性方程組：10 x1 x2 2x37.2x1 10 x2 2x3 8.3 x1 x2 5x34.2使得誤差不超過0.00001。二、實(shí)驗(yàn)引言.實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆沼玫ㄇ蠼饩€性方程組的基本思想和步驟，熟悉計(jì)算機(jī)fortran語言；了解雅可比迭代法在求解方程組過程中的優(yōu)缺點(diǎn)。.實(shí)驗(yàn)意義雅克比迭代法就是眾多迭代法中比較早且較簡單的一種，求解方便實(shí)用。三、算法設(shè)計(jì)1.雅可比迭代法原理：設(shè)有線性方程組Ax=b滿足a. 0,將方程組變形為：x=Bx+f,則雅可比 (Jacobi)迭代法是指X(k1) Bxk f

2、,即由初始解逐步迭代即可得到方程組的 解。算法步驟如下:-可編輯修改-步驟1.給定初始值x?x20), ,x；0),精度e,最大容許迭代次數(shù)M,令k=1步驟2.對(duì)i=1,2,n依次計(jì)算nXi，n)(bjaijxj)/aH (aH0,i 1,2,ei| xxi(1)Xix(0) i1(0) i|步驟3.求出e maxe,若e1in則輸出結(jié)果Xi(0)(i1,2, ,n),停止計(jì)算否則執(zhí)行步驟4.步驟4.若k M ,k 1 k,轉(zhuǎn)步驟繼續(xù)迭代。若k M，表明迭代失敗，停止計(jì)2.算法流程圖-可編輯修改-開始讀入數(shù)據(jù)max |樂一ICh鉆束四、程序設(shè)計(jì)program jacobiimplicit no

3、neinteger:i,jinteger:ksave kreal,parameter:e=0.001integer,parameter二n=3real:x(n),y(n),b(n)-可編輯修改-data b/7.2,8.3,4.2/ real:D real:a(n,n) open (unit=10,file=1.txt)data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/write(10,*)*矩陣A的形式為*、write(10,(1x,3f6.2,/)a forall(i=1:n)x(i)=0end forallk=0100D=0do i=1,ny(i)=b(i)do j=1,

4、nif(i/=j) y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j)end doy(i)=y(i)/a(i,i)end do-可編輯修改-do j=1,nD=abs(x(j)-y(j) end do forall(i=1:n) x(i)=y(i) end forall if(D=e) then k=k+1 write(10,*)”迭代次數(shù)為：,k goto 100 else goto 200 end if200write(10*)*write(10,*)用jacobi方法解得的結(jié)果Xt為：-可編輯修改-stop end program五、結(jié)果及討論1.實(shí)驗(yàn)結(jié)果*矩陣A的形式為*10.00 -1.00

5、 -1.00-1.00 10.00 -1.00 TOC o 1-5 h z -2.00 -2.005.00迭代次數(shù)為：1迭代次數(shù)為：2迭代次數(shù)為：3迭代次數(shù)為：4迭代次數(shù)為：5迭代次數(shù)為：6迭代次數(shù)為：7*用jacobi方法解得的結(jié)果 Xt為:1.101.201.30-可編輯修改-2.討論分析(1)誤差從上述輸出結(jié)果中可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù) k增大時(shí)，迭代值x1,y1,z1會(huì)越來越逼近方程組的精確解 x=1.0,y=1.2,z=1.3 o(2)收斂性在本題目中，用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法分別求解該線性方程組，得 到的近似根是收斂的六、算法評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：迭代法算法簡單，編制程序比較容易。缺點(diǎn)：

6、迭代法要求方程組的系數(shù)矩陣有某種特殊性質(zhì)(譬如是所謂對(duì)角占優(yōu)陣) 以保證過程的收斂性。高斯 一塞德爾迭代法比雅可比迭代法收斂快(達(dá)到同樣的 精度所需迭代次數(shù)少)，但這個(gè)結(jié)論，在一定條件下才是對(duì)的，甚至有這樣的方程組 雅可比方法收斂，而高斯一塞德爾迭代法卻是發(fā)散的。在雅可比迭代法求解線性 方程組時(shí)，只要誤差截?cái)嘣O(shè)計(jì)的合理，原則上可以得到很正確的解。 而通常我們 選取設(shè)計(jì)誤差限或設(shè)計(jì)最大迭代次數(shù)的方法來控制。由于它的準(zhǔn)確性，故在實(shí)際應(yīng)用中比較常見，對(duì)于解一般線性方程組非常有效準(zhǔn)確。 通過該算法以及編程對(duì) 求解的過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，雅克比迭代法的優(yōu)點(diǎn)明顯，計(jì)算公式簡單，每迭代 一次只需計(jì)算一次矩陣和

7、向量的乘法，且計(jì)算過程中原始矩陣A始終不變，比較容易并行計(jì)算。然而這種迭代方式收斂速度較慢，而且占據(jù)的存儲(chǔ)空間較大， 所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改進(jìn)方法。附：高斯一賽德爾程序-可編輯修改-program G-S implicit noneinteger:i,jinteger:ksave kreal,parameter:e=0.001integer,parameter二n=3real:x(n),y(n),b(n)data b/7.2,8.3,4.2/real:Dreal:a(n,n)open (unit=10,file=1.txt)data a/10,-1,-1,-1,10,-1

8、,-2,-2,5/write(10,*)*矩陣A的形式為*、write(10,(1x,3f6.2,/)a forall(i=1:n)x(i)=0end forallk=0100D=0do i=1,n-可編輯修改-y(i)=b(i)do j=1,nif(ij) y(i)=y(i)-a(i,j)*y(j)end doy(i)=y(i)/a(i,i)end dodo j=1,nD=abs(x(j)-y(j)end doforall(i=1:n)x(i)=y(i)end forallif(D=e) thenk=k+1write(10,*)”迭代次數(shù)為：,kgoto 100else-可編輯修改-goto 200end if200write(10,*)*”write(10,*)用 Gauss-seidel方法解得的結(jié)果 Xt為:write(10,(1x,3f6.2,/)x(:)stopend program* 矩陣 A 的形式為 *10.00 -1.00 -1.00-1.00 10.00 -1.00-2.00 -2.005.00迭代次數(shù)為: 迭代次數(shù)