隨機(jī)過(guò)程習(xí)題及答案

1、、i.i設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:24(1 - jy0yxl|0其它試求:在。時(shí),求E(X|F=y)。解：方5)一工友.浜=次1-加fr 0”1 幽60jrl0其它一其它當(dāng) 0”1 時(shí)，20-aQr)yxl其它則上夫供=口需血=? f 241-4*；=Qr和一同1.2 設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從幾何分布：KX=GQ)Hp t=u.試求X的特征函數(shù)，并以此求其期望 則與方差Do畋9*產(chǎn)卜之內(nèi)口=上) 解：j=。- p)*、=六-；/q-力士u0-F) u=-?癡-漪/=- -Q_.”Q-P)七 Q) l-Q-p)JN 空屋l-Q-p)J 1房. = 1P=誦2* 2 =iQ-)。

2、-泊0-g) ppe*Q十登與Q-#)m 一加甸所以：肛二刎7MT =-回)?=心=2 P P P袋中有一個(gè)白球，兩個(gè) 紅球，每隔單位時(shí)間從 袋中 任取一球后放回，對(duì)每 一個(gè)確定的t對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量如果對(duì)t時(shí)取得紅球X（t）= 3口如果對(duì)t時(shí)取得白球試求這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一 維分布函數(shù)族.設(shè)隨機(jī)過(guò)程5陽(yáng)二為05（眼+口_/0 x0試證明X0為寬平穩(wěn)過(guò)程。解：（1）%（。=說(shuō)幺啊蒯/+。=3網(wǎng)網(wǎng)般正+。）請(qǐng)蟲+加=與t無(wú)關(guān)(2)聯(lián))僅V明蜥介e婚+y獷刈力饞晟*，產(chǎn)現(xiàn)行m看成二，廣金苫山 h CT勿產(chǎn)丸T ,f_ tF二-依尸+京山=-2?/ * |二所以此E(I)，m(3) RiM 世ur%fi+DL

3、4a)s(S也+1用二耳/師喊M+7)國(guó)貼+孫,為1 1二到產(chǎn)+%+加色-g力二，CDS/色一勺 只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以X0為寬平穩(wěn)過(guò)程。設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t) =U cos2t,其中U是隨機(jī)變量，且 E(U) = 5, D(U)=5.求:(1)均值函數(shù)；(2)協(xié)方差函數(shù)；(3)方差函數(shù)設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Ut2, Y6=Ut3,其中U是隨機(jī)變量，且D(U) = 5.試求它們的互協(xié)方差函數(shù)設(shè)A, B是兩個(gè)隨機(jī)變量，試求隨機(jī)過(guò)程X(t)=At+3B,tT = (-，)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) 若A, B相互獨(dú) 立,且AN(1,4), BU(Q2)，則mX(t)及RX(i,t2)為多少?一隊(duì)學(xué)生順

4、次等候體檢。設(shè)每人體檢所需的時(shí)間服從均值為2分鐘的指數(shù)分布并且與其他人所需時(shí)間相互獨(dú)立， 則1小時(shí)內(nèi)平均有多少學(xué)生接受過(guò)體檢？在這 1小時(shí)內(nèi)最多有40名學(xué)生接受過(guò)體檢的概率是多少（設(shè)學(xué)生非常多，醫(yī)生不會(huì)空閑）解：令N表示（0,t）時(shí)間內(nèi)的體檢人數(shù)，則N（t）為參數(shù)為30的poisson過(guò)程。以小時(shí)為單位。(30)kk!J30則 E(N(1) = 30。40P(N(1) 40)八k=0在某公共汽車起點(diǎn)站有兩路公共汽車。乘客乘坐1,2路公共汽車的強(qiáng)度分別為A, %,當(dāng)1路公共y車有N1人乘坐后出發(fā)；2路公共 汽車在有N2人乘坐后出發(fā)。設(shè)在 0時(shí)刻兩路公共汽車同時(shí)開始等候 乘客到來(lái)，求（1） 1路公

5、共汽車比2路公共汽車早出發(fā)的概率表達(dá)式；（2）當(dāng)N1 = N2，% = %時(shí)，計(jì)算上述概率解：法一：(1)乘坐1、2路汽車所到來(lái)的人數(shù)分別為參數(shù)為 %、%的 poisson過(guò)程，令它們?yōu)镹(t)、N2(t)。TN1表示N-t) =N1的發(fā)生時(shí) 刻，Tn2表示N2(t) =N2的發(fā)生時(shí)刻。,ni TOC o 1-5 h z fTN1 (t1) =7NJ_7T1t1N1xP(-1t1) (N11)!,N2fT (t2) = 2t2N21 exp(；2t2)Tn2(N2 -1)! 222,Ni. N2fTN1,TN2 (t1,t2) - fTN1TN2 (53 - (3 -小| 二/即1t1)NT!

6、t2N2exp(- 2t2)(N1 1)!(N2 1)!.Ni2.1N1P(Tni ：Tn2)= dt2。(N!tiNl%Xp(.，iti)12N2t2N2 exp(- 2t2)dt11(2)當(dāng) Ni = N2、斯=%2 時(shí)，P(Tn1 丁電)=2法二：（1）乘車到來(lái)的人數(shù)可以看作參數(shù)為 % 十九2的泊松過(guò)程。令乙、Z2分別表示乘坐公共汽車1、2的相鄰兩乘客間到來(lái)的時(shí) 間間隔。則Zi、Z2分別服從參數(shù)為儲(chǔ)、九2的指數(shù)分布，現(xiàn)在來(lái)求 當(dāng)一個(gè)乘客乘坐1路汽車后，下一位乘客還是乘坐1路汽車的概 率。Z2p = P（Zi ：二 Z2） = 0 dz2 0 11 exp（- 1Z1） 1 2 exp（二

7、,遼2 ）dz11i=o1 2故當(dāng)一個(gè)乘客乘坐1路汽車后，下一位乘客乘坐 2路汽車的概率為1- p1 ,2上面的概率可以理解為：在乘客到來(lái)的人數(shù)為強(qiáng)度 3+%的泊松過(guò)程時(shí)，乘客分別以，一概率乘坐公共汽車1,以二一的概1 2 1 2率乘坐公共汽車2。將乘客乘坐公共汽車1代表試驗(yàn)成功，那么有：N1 N2 4P（1路汽車比2路汽車先出發(fā)）=Z CN（一）Ni（2一）1k 叫1 21 2（2）當(dāng)N產(chǎn)N 2、%=%日寸2N 4P（1路汽車比2路汽車先出發(fā)）二 C： k小2N 1I k I v _ NI(-)1% Ck4 (-)22 k小 2kPoisson過(guò)程，參數(shù)分別為3.3 設(shè)Ni（t）,t 之0

8、, （i =1,2，n）是n個(gè)相互獨(dú)立的%（i =1,2，n）。記T為全部n個(gè)過(guò)程中，第一個(gè)事件發(fā)生的時(shí)亥黑(1)求T的分布；nn(2)證明 N (t) =Z i jNj(t), t之0是Poisson過(guò)程，參數(shù)為 九= 一九；(3)求當(dāng)n個(gè)過(guò)程中，只有一個(gè)事件發(fā)生時(shí)，它是屬于N1(t),t至0的概率。解：(1)記第i個(gè)過(guò)程中第一次事件發(fā)生的時(shí)刻為I, i=1,2,.,n。則丁 =mintii,i =1,2,., n。由如服從指數(shù)分布，有PTMt=1-PT t =1-Pminti1,i =1,2,.,n t n=1 33 t,i =1,2,.,n =1 7 Pti1 t i 1 nn=1 -【

9、1 -(1-6畤 =1 -exp，it i 1y(2)方法一：由Ni(t),i =1,2,., n為相互獨(dú)立的poisson過(guò)程，對(duì)于 Vs,t 0。 nPN(t s) -N(t) =n =PNi(t s) -Ni(t) = n i 1= P Ni(t s) -Ni (t)=n,三 ni =n,i =1,2., nF上 nn , %=(snexp(-，i)s)十)%i 空i 1i W ni !n TOC o 1-5 h z (s，i)nn一exp(-(y i)s) n!yn , n這里利用了公式(.；);1：，n!%i 玉 i T ni ! nn所以N(t)= Ni(t),t 2 0是參數(shù)為九

10、=九的poisson過(guò)程。 i=1i=1方法二：1）當(dāng)hT 0時(shí),nPN(t h)-N=1 =PrNi(t s)-Ni(t) =1 i 4 TOC o 1-5 h z nn八( ih o(h)|j (1- jh o(h)i 1j 1jnn=ih o(h)= .h o(h) i 4i 4當(dāng)h T 0時(shí)， nPN(t h) -N(t) _2 =PNj(t s)-Nj(t) _2 i =4n TOC o 1-5 h z =1 -PNi(t s) -Ni(t)：二2 i 4 nn=1 I (1 - - jh o(h)- 由 o(h)j 4Tnn二1 一(1 - ih o(h) -、h o(h)1i 1

11、= o(h)得證。(3) PN(t) =1| N(t) =1 =PN(t) =1,Ni(t) =0,i =2,n/ PN(t) =1 nn一/t n.=，檢一口1eTt/e 仁 M 二1i =2i 1 1 n證明poisson過(guò)程分解定理：對(duì)于參數(shù)為九的poisson過(guò)程r1小心。, 0Pi1, J , i=1,2,，r ,可分解為個(gè)相 互獨(dú)立的poisson過(guò)程，參數(shù)分別為九pi i，。解：對(duì)過(guò)程N(yùn)(t)，t至0,設(shè)每次事件發(fā)生時(shí)，有r個(gè)人對(duì)此以概率rp1，p2，.，pr進(jìn)行記錄，且Z R=1,同時(shí)事件的發(fā)生與被記錄之 i=1間相互獨(dú)立，r個(gè)人的行為也相互獨(dú)立，以Ni(t)表示為到t時(shí)刻第i

12、個(gè)人所記錄的數(shù)目?，F(xiàn)在來(lái)證明Ni(t)，t0是參數(shù)為kr 的 poisson 過(guò)程。PNi(t); m 二、： PNi(t)二 m|N(t); m nPN(t)= m n n=0二(mn二戶 口1”)始e”-2 m!獨(dú)立性證明：考慮兩種情況的情形，即只存在兩個(gè)人記錄,個(gè)以概率1-p記錄，則N1(t),t之0是參數(shù)為Kp 的 poisson 過(guò)程，N2(t),t 20是參數(shù)為 Mlp)的 poisson過(guò)程。PN1(t)=N2(t) =k2 =PN1(t) =k/N(t)k2)= PN(t) =k k2PN(t) =k1| N(t) =k k2 二產(chǎn)p)(k1 k2)!: LjMe-tIpk 一

13、 ”(k1 k2)!發(fā)收！t)i2ki!k2!ep (1 - p)k23eOlt= PNi(t) =kiPN2(t) =k2得證。設(shè)N10是參數(shù)為3的poisson過(guò)程，試求(1)PN(1)3).PN(1) = 1,N(3)=2;PN(1)-2|N(1)-13 0 3k，解：(1) PN(1)名3= e3-=13e“ k =0k!= PN=1PN(3) N=1 =3e-6e- =18e”(3)PN(1),2|N(1)_1=PN(1)2 1 4ePN(1)_11 -e對(duì)于poisson過(guò)程N(yùn),t,證明set時(shí),PN(s)=k| N(t)=n二IS(1-：尸守解:PN(s) =k,N(t) =nP

14、N(s) =k|N(t) =n：PN(t) = nPN(s) =k,N(t) -N(s) -n_-k一PN(t)=n_ PN(t) - N(s) =n -kPN(s)也-PN(t)=ne_.(j)(.(t-s)n*(，s)k=(n-k)!k!二e-3en!n -k k _ (t -s) s n!一 (n -k)!k!tnA /x、n_k kn (t -s) s IJAk t tn s n -k s k=.(1 二)(Jk t t t設(shè)Ni,t之0和N2(t),t10分別是參數(shù)為 % , %的Poisson過(guò)程，另X(t) = M(t)Nz(t),問(wèn)X(t)是否為 Poisson 過(guò)程,為什么?

15、解：不是X(t) =N1(t)-N2(t) , X(t)的一維特征函數(shù)為:fX(t)(u) =E(eiuX(t) =E(eiu(NiM(t) =E(e嘰e .2)二川。嘰3：川(力 t e e e ek 0 k! k 0 k! iu kiu k_e-1t；.-(e1t) e-t.- (e 2t)k k!k且 k!-1%-%: exp eiu，1teiu 1 2t _ (1 1 ：:上2 )t參數(shù)為人的Poisson過(guò)程的特征函數(shù)的形式為expeiut_1,所以X(t)不是poisson過(guò)程。計(jì)算Ti, 丁2, T3的聯(lián)合分布解：fX1 ,x2,x3(X| , X2, X3) = fX1 (Xi

16、) fX2 (X2 ) fX3 (X3) = e(再)(1-10、的2上)=0 1 1 =19 0LfT1,T2,T3 (t1 , t2,t3) - fX1,X2,X3 (t1, t2 t1 , t3 t2 ) J (t1 ,t2,t3)I 九3e，3 0 cti t2t3一；0其他Xts0,計(jì)算 EN(t)割(t+s)。解：2EN(t)N(t s) =EN(t)(N(t s) -N(t) EN2(t)= EN(t)E(N(t s)-N(t) EN2(t)=t s t (t)2 = 2t22st t設(shè)某醫(yī)院專家門診，從早上 8:00開始就已經(jīng)有無(wú)數(shù)患者等候,而每個(gè)專家只能為一名患者服務(wù)，服務(wù)的

17、平均時(shí)間為20分鐘,且每名患者的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的指數(shù)分布。則 8:00到12:00門診結(jié)束時(shí)接受過(guò)治療的患者平均在醫(yī)院停留了多長(zhǎng)時(shí)解：從門診部出來(lái)的患者可以看作服從參數(shù)為 3的泊松過(guò)程(以小時(shí)為單位)。則在0, t小時(shí)內(nèi)接受治療的患者平均停留時(shí)間為:N(t)N(t)=E舊i 1N(t)| N(t) =nEi 1N(t)x2當(dāng)t = 4時(shí)，平均等待停留時(shí)間為2 h3 .11 N,t皿是強(qiáng)度函數(shù)為Mt)的非齊次Poisson過(guò)程，XX2，是 事件發(fā)生之間的間隔時(shí)間，問(wèn)：(1)諸Xi是否獨(dú)立？(2)諸Xi是否同分布?解：(1) P Xi At = P N(t) = 0 = ejm(t) = e

18、s,ds。PX2 t |X1 =s二 PN(t s)_N(s) =0|X1 =s二 P N(t s) - N(s) = 0 = e4m(t s)皿砌二 e-s ()d 從上面看出X1、X2不獨(dú)立。以此類推，Xi不獨(dú)立(2)F”(t)=1-e 力dsFX2(t) =1-P(X2 t)=1-.PX2 t|X1=sdFX1(s)=1 _ ； e 4m(皿s% 引.(s)ds =1 _ ； e s) s)ds分布不同。3.12設(shè)每天過(guò)某路口的車輛數(shù)為：早上 7:00 g 8:00,11:00 g 12:00 為平均每分鐘2輛，其他時(shí)間平均每分鐘1輛。則早上7:30 g 11:20 平均有多少輛車經(jīng)過(guò)此

19、路口，這段時(shí)間經(jīng)過(guò)路口的車輛數(shù)超過(guò) 500輛的概率是多少？解：(1)記時(shí)刻7:00為時(shí)刻0,以小時(shí)為單位。經(jīng)過(guò)路口的車輛數(shù)為一個(gè)非齊次poisson過(guò)程，其強(qiáng)度函數(shù)如下：120 0 Ms M 1,4 s 51 (s)=601 ： s x)dxN(t)P(T t) =P丫 二 Ai衛(wèi)二 N(t)6 PrY :： A|N(t) =nPN(t) =nn衛(wèi) i衛(wèi)7 n二e八 PY :二 APN(t) =n n 4 i 4二 A=e- .0n 4(J一X/I +n(n-1)!0 P(TDdtRe二 A一 J 0 n =4J/ nx e(;)n(n-1)!xnxne?dx- 箸dtn 4(T(n-1)!(

20、n -1)!Xn。/x e dx(-(t)n X0n!e-4dt(U 1ten0 tVtdt)11 ,二十 丁乙 ， n 1AgLxne4x 0 (n -1)!(n-1)!Xxnedx111A 二=一+ i 乙 , n：系統(tǒng)的平均壽命為1 九九N某商場(chǎng)為調(diào)查顧客到來(lái)的客源情況，考察了男女顧客來(lái)商場(chǎng)的人數(shù)。假設(shè)14男女顧客來(lái)商場(chǎng)的人數(shù)分別獨(dú)立地服從每分鐘 2人與每分鐘3人的泊松過(guò)程。(1)試求到某時(shí)刻t時(shí)到達(dá)商場(chǎng)的總?cè)藬?shù)的分布；(2)在已知t時(shí)刻以有50人到達(dá)的條件下，試求其中恰有 30位婦女的概率， 平均有多少個(gè)女性顧客？解設(shè)呦刖訓(xùn)分別為()時(shí)段內(nèi)到達(dá)商場(chǎng)的男顧客數(shù)、女顧客數(shù)及總?cè)藬?shù)。(D由已

21、知，及為強(qiáng)度4=2的泊松過(guò)程，期為強(qiáng)度當(dāng)二3的泊松過(guò)程;故，N為強(qiáng)度2 = 4 +為=5的泊松過(guò)程；于是,hQLZ (5分)(2)PC=3O|WO) = 5O) =加0:50)(5分)故平均有女性顧客蜃M01M0 = 50二 50 X g = 30 人(4分)町M =3明弧0 =GOWdaubcQOB/lOIBTO=50)(it)30 b / 30 k(24 / / 20!(5:如75。!般地,式M 叫 N = 50=圓曠二(UZ 5。(1)對(duì) 錯(cuò) 當(dāng)N(t) = n時(shí)，Tn有可能小于t (3)錯(cuò)，Tn Mt時(shí)，N(t)可能等于n。更新過(guò)程的來(lái)到間隔服從參數(shù)為(nJ)的F分布。(1)試求N(t

22、)的分布； N TOC o 1-5 h z (2)試證段丁二 L1 1 O解：(1) PN(t)=k=PN(t)之 kPN(t)至 k+1= PTkt-PTk1 -t)kk 1=PXi t _pXi Mt) i丑i 1一 skn -4, 一 s (k 1)n -4tfv九e (九s), J e(九s)( 4,ds -ds(kn-1)!0 (k 1)n -1)!(2)由強(qiáng)大數(shù)定律:TkkEXiTN(t) _t_ 二 TN(t)書N(t)而二 N(t)，tn (t)n TN(t) iTN(t) i N(t) 1 nlim=,=,t -s 0 ot N(t) N(t) N(t) 1 N(t)則：li

23、mL=n,故|而弛=。tN(t)5 t n對(duì)于Poisson過(guò)程證明定理4.1.解:二t 二 Fn(t) = .J exn =1n 1M(t) =E(N(t) “t ;nA n:nJ nJ TOC o 1-5 h z x .1_xX .dx i _ e dx = t (n-1)!0 nm (n-1)!4.41 一 2. 一設(shè) PXi =1 = , PXi =2=,計(jì)算 PN(1) = k , P N(2) =k, 33P N (3) = k o解：（1），、，、，/，-，、1 2PN(1尸 0 =PN(1)_0-PN(1)_1 - PT0 1 - PT1 M1=1-=3 3，、，、，、， A

24、，A 1PN(1) = 1: PN(1)-1 -PN(1)-2: PT1 1 -PX1 X2 1=-Xi X2P(2)，、，、，、，、，、1P N (2) -2 - PN (2) -2 -PN(2) -3-PXi X2 三2- PXi X2 X3 2=-9、1 8P N (2) =1 = P N (2) -1 - P N (2) 2 = PT1 1 - PX1 X2 2-PN(3) 3 = PXi +X2 E3 PR 3=- 二9 275 41 - P N (3) 2 = PT1 ydyx=0P(X x)Pmin( X,x)y|X x +P(X y |X Ex dy+ x iP(X x)Pmin( X ,x) y | X x +P(X y | X Ex dyx=0P(X x)Pxy | X x +P(X y |X x)Pxy |X x +P(X y |X x) +P(y X x)dy + P(y X x y) +P(y X x)dyxj0P(X y)dyxx則：0 Pmin( X,x)