高中不等式所有知識與典型例題（超全）

1、 10/10 不等式的性質(zhì)：二不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7尋找中間量或放縮法 ；8圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。三重要不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）;若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）

2、4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值X圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用5.a3+b3+c33abc（a,b,c R+）, EQ F(a+b+c,3) （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號）；6. EQ F(1,n) (a1+a2+an)(ai R+,i=1,2,，n)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an取等號；變式：a2+b2+c2ab+bc+ca; ab( EQ F(a+b,2)

3、)2 (a,b R+) ; abc( EQ F(a+b+c,3) )3(a,b,c R+)a EQ F(2ab,a+b) EQ R(ab) EQ F(a+b,2) EQ R( EQ F(a2+b2,2) ) b.(0ab)7.濃度不等式： EQ F(bn,an) EQ F(b,a) bn0,m0;應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 eq f(1,2x 2) （2）yx eq f(1,x) 解題技巧：技巧一：湊項(xiàng) 例1：已知，求函數(shù)的最大值。評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時，求的最大值。技巧三： 分離 例3. 求的值域。技巧

4、四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 .分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 解： 都是正數(shù)，當(dāng)時等號成立，由及得即當(dāng)時，的最小值是6變式：若，求

5、的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知，且，求的最小值。技巧七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2 eq f(y 2,2) 1，求x eq r(1y 2) 的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab eq f(a 2b 2,2) 。同時還應(yīng)化簡 eq r(1y 2) 中y2前面的系數(shù)為 eq f(1,2) ， x eq r(1y 2) x eq r(2 eq f(1y 2,2) ) eq r(2) x eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) 下面將x， eq r( eq f(1,2)

6、 eq f(y 2,2) ) 分別看成兩個因式：x eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) eq f(x 2( eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) )2,2) eq f(x 2 eq f(y 2,2) eq f(1,2) ,2) eq f(3,4) 即x eq r(1y 2) eq r(2) x eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) eq f(3,4) eq r(2) 技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y eq f(1,ab) 的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函

7、數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a eq f(302b,b1) ， ab eq f(302b,b1) b eq f(2 b 230b,b1) 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab eq f(2t 234t31,t) 2（t eq f(16,t) ）34t eq f(16,t) 2 eq r(t eq f(16,t) ) 8 ab18 y eq f(1,18) 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時，等號成立。法二

8、：由已知得：30aba2b a2b2 eq r(2 ab ) 30ab2 eq r(2 ab ) 令u eq r(ab ) 則u22 eq r(2) u300， 5 eq r(2) u3 eq r(2) eq r(ab ) 3 eq r(2) ，ab18，y eq f(1,18) 點(diǎn)評：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的X圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的X圍.變式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2

9、y10，求函數(shù)W eq r(3x) eq r(2y) 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系， eq f(ab,2) eq f(a 2b 2,2) ，本題很簡單 eq r(3x) eq r(2y) eq r(2) eq r(（ eq r(3x) ）2（ eq r(2y) ）2) eq r(2) eq r(3x2y) 2 eq r(5) 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y2 eq r(3x) eq r(2y) 102 eq r(3x) eq r(2y) 10( eq r(3x) )2(

10、eq r(2y) )2 10(3x2y)20 W eq r(20) 2 eq r(5) 應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：1）正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題例：已知且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值X圍。解：令， 。 ， 應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若，則的大小關(guān)系是 .分析

11、： （ RQ四不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如（1）解不等式。（答：或）；（2）不等式的解集是_（答：或）；（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為_（答：）；（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式中的一個，則實(shí)數(shù)的取值X圍是_.（答：）4分式不

12、等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。如（1）解不等式（答：）；（2）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_（答：）.5.指數(shù)和對數(shù)不等式。6絕對值不等式的解法：（1）含絕對值的不等式|x|a與|x|a的解集（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式

13、的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1：解下列不等式： 【解析】：（1）解法一（公式法）原不等式等價于x2-2xx或x2-2x3或x0或0 x1原不等式的解集為xx0或0 x3 解法2（數(shù)形結(jié)合法）作出示意圖，易觀察原不等式的解集為xx0或0 x3第（1）題圖 第（2）題圖【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復(fù)雜，且容易解答錯誤；若能結(jié)合反比例函數(shù)圖象，則解集為,結(jié)果一目了然。例2：解不等式：【解析】作出函數(shù)f(x)=

14、|x|和函數(shù)g(x)=的圖象，易知解集為例3：?！窘夥?】令 令，分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，知原不等式的解集為【解法2】原不等式等價于令分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，易求出g（x）和h（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以不等式的解集為【解法3】 由的幾何意義可設(shè)1（，），（，），（x，y），若，可知的軌跡是以1、2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其中右頂點(diǎn)為（，），由雙曲線的圖象和x+1x-1知x.7含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論

15、，最后應(yīng)求并集. 如（1）若，則的取值X圍是_（答：或）；（2）解不等式（答：時，；時，或；時，或）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義X圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于的不等式 的解集為，則不等式的解集為_（答：（1,2）五絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立。注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)，不共線時，|+|+|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。（2）不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的條件分別是：不等式|a|-

16、|b|a+b|a|+|b|，在側(cè)“=”成立的條件是ab0，左側(cè)“=”成立的條件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右側(cè)“=”成立的條件是ab0，左側(cè)“=”成立的條件是ab0且|a|b|。定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)時，等號成立。例1.已知，求證 .例2.(1)求函數(shù)的最大和最小值； (2)設(shè)，函數(shù). 若，求的最大值例3.兩個施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個地點(diǎn)施工，這兩個地點(diǎn)分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊(duì)的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返

17、一次.要使兩個施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？柯西不等式等號當(dāng)且僅當(dāng)或時成立（k為常數(shù)，）類型一：利用柯西不等式求最值1求函數(shù)的最大值一：且， 函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即時函數(shù)取最大值，最大值為二：且， 函數(shù)的定義域?yàn)橛?，得即，解得時函數(shù)取最大值，最大值為.當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解類型二：利用柯西不等式證明不等式2設(shè)、為正數(shù)且各不相等，求證：又、各不相等，故等號不能成立。類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用6ABC的三邊長為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證： 證明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左邊=。七證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法

18、(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：如（1）已知，求證： ；(2) 已知，求證：；（3）已知，且，求證：；(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：；（5）已知，求證：；(6)若，求證：；(7)已知，求證：；（8）求證：。八不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如（1）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時，的取值X圍是_（答：）；（2）不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，某數(shù)的取值X圍_（答：）；（3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值X圍_（答：（,）；（4）若不等式對于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值X圍是_（答：）；（5）若不等式對的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值X圍. =