各種有趣的分形

1、各種有趣得分形我們瞧到正方形，圓，球等物體時(shí)，不僅頭腦里會(huì)迅速反映出它就是 什么，同時(shí)，只要我們有足夠得數(shù)學(xué)知識(shí)，我們頭腦中也反映出它得數(shù)學(xué) 概念，如正方形就是每邊長度相等得四邊形,圓就是平面上與某一點(diǎn)距離 相等得點(diǎn)得集合等等。但前是，當(dāng)義們瞧到一個(gè)山得形狀時(shí)，我們會(huì)想到什么？ ”這就是山”, 沒錯(cuò)，山就是如此得不同于其她景象，以至于您如果繪畫水平不高,根本畫 不出象山得東西?？删褪?，山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就 是球,我們其至不能說明山具有怎樣得幾何輪廓，但為什么我們卻有如此 直觀而又強(qiáng)烈得山得印象?分形得創(chuàng)始人就是曼德布洛特思考了這個(gè)問 題。讓我們先來熟悉幾個(gè)典型得分形。圖中得

2、風(fēng)景圖片又就是說明分形得另 一很好得例子。這張美麗得圖片就是利 用分形技術(shù)生成得。在生成自然真實(shí)得 景物中，分形具有獨(dú)特得優(yōu)勢(shì)，因?yàn)榉中?可以很好地構(gòu)建自然景物得模型、這就是一棵厥類植物，仔細(xì)觀察,您會(huì)發(fā) 現(xiàn),它得每個(gè)枝杈都在外形上與整體相 同，僅僅在尺寸上小了一些。而枝杈得 枝杈也與整體相同，只就是變得更加小 了。Si e rpinski三角形具有嚴(yán)格得自相似 特性Ko h n雪花具有嚴(yán)格得自相似特性分維及分形得定義分維概念得提出對(duì)于歐幾里得幾何所描述得整形來說，可以由長度、面積、體積來 測(cè)度。但用這種辦法對(duì)分形得層層細(xì)節(jié)做出測(cè)定就是不可能得、曼德爾 布羅特放棄了這些測(cè)定而轉(zhuǎn)向了維數(shù)概念、分

3、形得主要幾何特征就是關(guān) 于它得結(jié)構(gòu)得不規(guī)則性與復(fù)雜性，主要特征量應(yīng)該就是關(guān)于它得不規(guī)則 性與復(fù)雜性程度得度量,這可用“維數(shù)”來表征。維數(shù)就是幾何形體得 一種重要性質(zhì)，有其豐富得內(nèi)涵、整形幾何學(xué)描述得都就是有整數(shù)維得 對(duì)象:點(diǎn)就是零維得，線就是一維得，面就是二維得,體就是三維得。這種 幾何對(duì)象即使做拉伸、壓縮、折疊、扭曲等變換,它們得維數(shù)也就是不 變得;這種維數(shù)稱為“拓?fù)渚S”，記為do例如當(dāng)把一張地圖卷成筒，它仍 然就是一個(gè)二維信息載體;一根繩子團(tuán)成團(tuán)，仍然就是一維結(jié)構(gòu)。但曼德 爾布羅特認(rèn)為，在分形世界里，維數(shù)卻不一定就是整數(shù)得。特別就是由于 分形幾何對(duì)象更為不規(guī)則，更為粗糙，更為破碎，所以它得

4、分?jǐn)?shù)維（簡(jiǎn)稱 “分維”，記為D）不小于它得拓?fù)渚S，即Ddo維數(shù)與測(cè)量有密切關(guān)系、如為了測(cè)一平面圖形得面積，就要用一個(gè) 邊長為1、面積為2得標(biāo)準(zhǔn)面元去覆蓋它，所得得數(shù)目就就是所測(cè)得面 積。如果用長度1去測(cè)面積，就會(huì)得到無窮大;而如果用f去測(cè)這塊面積,結(jié)果就就是零。這就表明，用n維得標(biāo)準(zhǔn)體1 去測(cè)量一個(gè)幾何對(duì)象， 只當(dāng)n與拓?fù)渚S數(shù)d 致時(shí)，才能得出有限得數(shù)值。如果n r3上述各種關(guān)系得量綱分別就是長度單位1得1, 2 ,3次方，即這些方次 恰與該幾何圖形得歐氏維數(shù)相等，并且就是整數(shù)。歸結(jié)上述兩點(diǎn)，各類幾何圖形得測(cè)量都就是以長度1為基礎(chǔ)得.所以, 歐氏幾何中對(duì)規(guī)整幾何圖形得測(cè)量，可以概括表述為長度=

5、1面積A=al2體積V=bl3式中a與b為常數(shù)，稱為幾何因子，她與具體得幾何圖形得形狀有 關(guān)、如圓曠兀;球2 4兀/3、以上都就是歐幾里得幾何規(guī)則圖形得整數(shù)維.而對(duì)于不規(guī)則得非歐幾何圖形，其維數(shù)關(guān)系也就不那末規(guī)整了，即 歐幾里得測(cè)度長度，寬度，厚度一一不能抓住不規(guī)則形狀得 木質(zhì)，于就是曼德勃羅特轉(zhuǎn)向新得想法，即關(guān)于維數(shù)得新想法.b）、非歐幾何得“分維歐氏幾何中得空間就是3維得，平面就是2維得，直線就是1維得，而 點(diǎn)就是0維得.那末，一個(gè)線團(tuán)得維數(shù)如何呢？這與觀察方法有關(guān).遠(yuǎn)瞧, 她就是一個(gè)點(diǎn)，就是0維;近些瞧，象球，有空間3維感;再近瞧，就瞧到了繩 子,又成為1維得了。引發(fā)人們注意到幾何中也具

6、有“相對(duì)關(guān)系，以及維 數(shù)得多樣性.曼德勃羅特“越過”了 0,1,2,3,。得“傳統(tǒng)整數(shù)維“（同時(shí)也超越了傳統(tǒng)觀念），進(jìn)入了瞧起來象就是不可能得”分?jǐn)?shù)維數(shù)二分維出現(xiàn) 了、從概念上說，這就是一場(chǎng)走鋼絲表演，就是冒險(xiǎn)。對(duì)于非數(shù)學(xué)家，“外 行”,（年輕得）新手注手,即開拓創(chuàng)新者（或所謂得“半瓶子醋J她要求先自 愿地暫停疑慮（思考），再另尋它路、而對(duì)數(shù)學(xué)家或該行業(yè)保守得專家，可能 會(huì)不懈一顧，不予考慮，不許生疑,被傳統(tǒng)所限制束縛住，以至難有大突破。 而事實(shí)證明前者得方法與策略就是極為強(qiáng)勁有力得成就大功者。分維與古典得歐幾里得維數(shù)就是有聯(lián)系得、將歐氏維數(shù)統(tǒng)一擴(kuò)展成M=ld則由對(duì)數(shù)定義可知，指數(shù)d可以表示為

7、以1為底得,M得對(duì)數(shù)，即d= 1 ogiM經(jīng)用換底公式換底,就可以得到關(guān)于維數(shù)得解析通式，分維中廣泛使用得關(guān)系式d=lnM/l n 1她可以被瞧成就是各種維數(shù)得綜合表達(dá)式，即廣義維數(shù)（歐氏維數(shù)及 各種分維）得由來或基準(zhǔn)式、分維就是一種測(cè)度，就是用其它方法不能明 確定義得一些性質(zhì)一個(gè)對(duì)象粗糙，破碎或不規(guī)則程度-得手段。 即對(duì)某種特征性得粗糙度得量度就是有規(guī)則得不規(guī)則性得反映、此法得 關(guān)鍵要點(diǎn)就就是使在不同得尺度上（放大或縮?。┎灰?guī)則（圖形，功能等）得 程度保持恒定.2）o拓?fù)渚S與豪斯道夫維一一維數(shù)得定義連續(xù)空間得概念,空間維數(shù)就是連續(xù)得，不就是間斷離散得.對(duì)數(shù)，換 底拓?fù)渚S數(shù)就是比分形維數(shù)更基本

8、得量，以Dt表示，它取整數(shù)值，在不 作位相變換得基礎(chǔ)上就是不變得，即通過把空間適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，其至 扭轉(zhuǎn)，可轉(zhuǎn)換成孤立點(diǎn)那樣得集合得拓?fù)渚S數(shù)就是0，而可轉(zhuǎn)換成直線那 樣得集合得拓?fù)渚S數(shù)就是1 .所以，拓?fù)渚S數(shù)就就是幾何對(duì)象得經(jīng)典維數(shù) Dt = do拓?fù)渚S數(shù)就是不隨幾何對(duì)象形狀得變化而變化得整數(shù)維數(shù)、對(duì)于任何一個(gè)有確定維數(shù)得幾何體，若用與它相同維數(shù)得”尺r去 度量，則可得到一確定得數(shù)值N;若用低于它維數(shù)得”尺去量它，結(jié)果為 無窮大;若用高于它維數(shù)得”尺”去量它，結(jié)果為零、其數(shù)學(xué)表達(dá)式 為:N（r）IDh.上式兩邊取自然對(duì)數(shù)，整理后可得Dh=l n N（ r ）/ln（ 1 / r）或 D h

9、= 1 i m 1 n N （a）/ln（l/o） a0式中得Dh就稱為豪斯道夫維數(shù)，它可以就是整數(shù)，也可以就是分?jǐn)?shù). 歐氏幾何體，它們光滑平整，其D值就是整數(shù)。人們常把豪斯道夫維數(shù)就 是分?jǐn)?shù)得物體稱為分形，把此時(shí)得D h值稱為該分形得分形維數(shù),簡(jiǎn)稱分 維、也有人把該維數(shù)稱為分?jǐn)?shù)維數(shù)、當(dāng)然還必須瞧其就是否具有自相似 性與標(biāo)度不變性、維數(shù)得其它定義信息維數(shù) Di = lim (XPilnP i /liio) o0關(guān)聯(lián)維數(shù) Dg =1 im (1 n C(o)/1 n ( 1 /o)a 0相彳以維數(shù) Ds = lnN/ln(l / r)容量維數(shù) De = 1 im (1 n N(s)/1 n (

10、1 /s)o-0DcDh譜維數(shù)D (分形子維數(shù))-就是研究具有自相似分布得隨機(jī)過 程，如隨機(jī)行走得粒子得統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，可用滲流模型來描述得多孔介質(zhì)，高聚 物凝膠(經(jīng)絡(luò)得通道及傳質(zhì))等一類”螞蟻在迷宮中”得問題。填充維數(shù) Dp-由半徑不同得互不相交得小球盡可能稠密 得填充定義得維數(shù)稱之另填充維數(shù)(Packing Dime n si o n)、分配維數(shù)Dd可以瞧成就是利用兩腳間隔距離為a得兩腳 規(guī)測(cè)量曲線C所得得“長度”、即定義為D d = lim (liiMo(C) /(Ina)o0曲線得分配維數(shù)至少等于盒維數(shù)。李雅普諾夫(Lya p unov)維數(shù)DI就是作為混沌得吸引子 維數(shù)，她就是利用Lyap

11、unov指數(shù)來定義得。奇怪吸引子得斷面圖總就是 呈分形構(gòu)造得(經(jīng)絡(luò)得斷面切片)，因此就可以測(cè)定其分形維數(shù)、分形維數(shù)得測(cè)量1、基本方法分形維數(shù)得定義有很多，但適合所有事物得定義還沒出現(xiàn)。每 個(gè)維數(shù)得測(cè)定對(duì)象常就是不同得，所以要區(qū)別對(duì)待，物適其用、實(shí)際得測(cè)定分形維數(shù)得方法，大致可以分成如下五類：改變觀察尺度求維數(shù):就是用圓與球，線段與正方形,立方體 等具有特征長度得基本圖形去近似分形圖形。根據(jù)測(cè)度關(guān)系求維數(shù):這個(gè)方法就是利用分形具有非整數(shù) 維數(shù)得測(cè)度來定義維數(shù)得、根據(jù)相關(guān)函數(shù)求維數(shù);C(r)8 r a,a=d一D根據(jù)分布函數(shù)求維數(shù);p (“8 p (Xr) p(r) * r D根據(jù)頻譜求維數(shù)。盒維

12、數(shù)(計(jì)盒維數(shù),Kolm o goro v炳，嫡維數(shù)，度量維數(shù)，對(duì)山昆數(shù)密度等)3。函數(shù)圖得維數(shù)4、碼尺與分形維數(shù)得關(guān)系-分形維數(shù)得不確定性對(duì)實(shí)際分 形體而言，測(cè)量得分形維數(shù)值隨碼尺而變化，也就就是說,對(duì)同一分形體 由于選取得碼尺不同，會(huì)得到不同得分維值。原因就是,結(jié)構(gòu)層次不同，自 相似得程度不同、測(cè)量時(shí)要注意。分形定義分形難下確切得定義。分形得原意就是“不規(guī)則得，分?jǐn)?shù)得, 支離破碎得”，故又可稱為”碎形分形就是研究自然與社會(huì)屮 廣泛存在得零碎而復(fù)雜，無序，不規(guī)則,非線性，不光滑,具有自相似, 自仿射與標(biāo)度不變性得復(fù)雜系統(tǒng)，圖形，構(gòu)造，功能，性質(zhì)與復(fù)雜現(xiàn) 彖，及隱藏在這些復(fù)雜現(xiàn)象背后得,具有精細(xì)

13、結(jié)構(gòu)，內(nèi)在隨機(jī)性，局 部與整體本質(zhì)聯(lián)系得，被傳統(tǒng)線性科學(xué)（物理，歐氏幾何學(xué)）排斥在 外得不規(guī)則病態(tài),不可微得事體，形體、在尺度變換（放大，縮?。?下具有自相似性”與標(biāo)度不變性（無特征長度）”得，從有限認(rèn)識(shí) 無限得特殊規(guī)律得科學(xué)、即其組成部分（局部）以某種方式（結(jié)構(gòu), 信息，功能等廣義分形）與整體相似得形體，事物，或現(xiàn)彖;或在多個(gè) 層次上，適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小其幾何尺寸，其局部與整體得整個(gè)精細(xì) 結(jié)構(gòu)，形態(tài)，性質(zhì)等不因此而發(fā)生改變（統(tǒng)計(jì)）得形體，體系、分形就 是整體與局部在某種意義下:大小尺度之間得對(duì)稱性與統(tǒng)一性得 集合,就是非線性變換下得不變性，就是整體觀（統(tǒng)一觀）,共性觀，非 二分法得產(chǎn)物，就是有

14、規(guī)則得不規(guī)則性。分形就是沒有特征長度, 但具有一定意義（廣義）下得自相似圖形，結(jié)構(gòu)，性質(zhì)與形態(tài)得總稱。分形就是一種具有自相似特性得現(xiàn)象、圖象或 者物理過程、也就就是說，在分形中,每一組成部分 都在特征上與整體相似。除了自相似性以外，分形具有得另一個(gè)普遍特征就是具有無 限得細(xì)致性。即無論放大多少倍，圖象得復(fù)雜性依然絲毫不會(huì)減 少。但就是每次放大得圖形卻并不與原來得圖形完全相似。這告 訴我們:其實(shí)，分形并不要求具有完全得自相似特性。分形得數(shù)學(xué)定義定義1如果一個(gè)集合在歐氏空間中得豪斯道夫維數(shù)Dh恒大 于其拓?fù)渚S數(shù)Dt,即 DhDt則稱該集合為分形集，簡(jiǎn)稱為分形。（DhDt）這個(gè)定義就是由曼德勃羅特在

15、1 9 82年提出得,四年后她又提 出了一個(gè)實(shí)用得定義。定義2組成部分以某種方式與整體相似得形體叫分形。它突出了分形得自相似性，反映了自然界中廣泛存在得一類”事 物”得基本屬性:局部與局部,局部與整體在形態(tài)，功能，信息，時(shí)間與空間 等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上得自相似性。它與歐氏幾何中得“相似”不同。上 述定義還不就是嚴(yán)密，精確得定義、要完整地理解分形還必需知道它得一些特性、分形得特征與產(chǎn)生機(jī)制分形特征大自然中得山、樹、云、海岸線都可以瞧成就是分形。一般地說, 分形具有以下一些特征：該集合具有精細(xì)得結(jié)構(gòu)，即有任意小比例得細(xì) 節(jié)（無限可分性）;該集合整體與局部間有某種自相似性;分形集合得分 形維數(shù)一般不

16、就是整數(shù)，而就是分?jǐn)?shù)，且一般大于它得拓?fù)渚S數(shù)；分形集 合就是如此得不規(guī)則，以至它得整體與局部都不能用傳統(tǒng)得幾何語言來 描述;在大多數(shù)情況下，分形集合可以以非常簡(jiǎn)單得方法來定義，可能由 迭代產(chǎn)生；通常有某種自相似得形式，可能就是近似得或就是統(tǒng)計(jì)得、O具 體得說有下面幾個(gè)特征。1） 1）自相似性就是復(fù)雜系統(tǒng)得總體與部分，這部分與那部分之間得精細(xì)結(jié)構(gòu)或性 質(zhì)所具有得相似性,或者說從整體中取出得局部（局域）能夠體現(xiàn)整體得 基本特征。即幾何或非線性變換下得不變性:在不同放大倍數(shù)上得性狀 相似、包括幾何結(jié)構(gòu)與形態(tài)，過程，信息，功能，性質(zhì)，能量，物質(zhì)（組份）,時(shí)間, 空間等特征上，具有自相似性得廣義分形。自

17、相似性得數(shù)學(xué)表示 為:fr）=疋f （Q,或f （r）r 3其中九稱為標(biāo)度因子,a稱為標(biāo)度指數(shù)（分 維）,它描述了結(jié)構(gòu)得空間性質(zhì)。函數(shù)f（）就是面積，體積，質(zhì)量等占有數(shù), 量等性質(zhì)得測(cè)度。一個(gè)系統(tǒng)得自相似性就是指某種結(jié)構(gòu)或過程得特征從不同得空間 尺度或時(shí)間尺度來瞧都就是相似得，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)得局域性質(zhì)或局 域結(jié)構(gòu)與整體類似.另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會(huì)存在 自相似性.一般情況下自相似性有比較復(fù)雜得表現(xiàn)形式，而不就是局域放 大一定倍數(shù)以后簡(jiǎn)單地與整體完全重合.但就是，表征自相似系統(tǒng)或結(jié)構(gòu) 得定量性質(zhì)如分形維數(shù)，并不會(huì)因?yàn)榉糯蠡蚩s小等操作而變化這一點(diǎn)被 稱為伸縮對(duì)稱性，所改變得只

18、就是其外部得表現(xiàn)形式。自相似性通常只 與非線性復(fù)雜系統(tǒng)得動(dòng)力學(xué)特征有關(guān)。人們?cè)谟^察與研究自然得過程中,認(rèn)識(shí)到自相似性可以存在于物理, 化學(xué)，天文學(xué),生物學(xué)，仲醫(yī)，針灸，經(jīng)絡(luò)）材料科學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)，以及社會(huì)科學(xué)等 眾多學(xué)科中,可以存在于物質(zhì)系統(tǒng)得多個(gè)層次上，她就是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)，發(fā)展 得一種普遍得表現(xiàn)形式，即就是自然界得普遍規(guī)律之一.但就是科學(xué)工作 者真正把自相似性作為自然界得本質(zhì)特性來進(jìn)行研究還只就是近一，二 十年得事。2）2）標(biāo)度不變性（無特征長度）一個(gè)具有自相似性得物體（系統(tǒng)，事物）必定滿足標(biāo)度不變性，或者說 這類物體沒有特征長度。標(biāo)度不變性就是指在分形上任選一局部區(qū)域, 不論將其放大或縮小，它得形

19、態(tài)，復(fù)雜程度，不規(guī)則性等各種特性均不會(huì)發(fā) 生變化，所以標(biāo)度不變性又稱為伸縮對(duì)稱性.標(biāo)度不變性（無特征長度）:具有自相似性得系統(tǒng)，物體，事物必定滿足 標(biāo)度不變性，或者說這類形體沒有特征長度一沒長短，面積，體積等。特征 長度就是指所考慮得對(duì)象中最具代表性得尺度,如空間得長，寬，高，及時(shí) 間得分，秒,時(shí)等。標(biāo)度不變性就是指在分形上任選一局部區(qū)域，不論將其 放大還就是縮小，它得結(jié)構(gòu)，形態(tài)，性質(zhì)（功能），復(fù)雜程度，不規(guī)則性等各種 特性均不會(huì)發(fā)生變化（或就是統(tǒng)計(jì)性得），故標(biāo)度不變性又稱為伸縮對(duì)稱 性。此空間稱無標(biāo)度空間，其內(nèi)就是分形，范圍以外就不就是分形了，它有 有限與無限之分、對(duì)于實(shí)際得分形體來說，這種

20、標(biāo)度不變性只在一定得范圍內(nèi)適用、人 們通常把標(biāo)度不變性適用得空間稱為該分形體得無標(biāo)度空間、在此范圍 以外，就不就是分形了。3）3）層次性，遞歸性自相似性就是不同尺度上得對(duì)稱,就是跨層次得共性觀（分形元，不 變性）一 一同樣形態(tài)在不同尺度，不同層次上得相同，或相似結(jié)構(gòu)得重復(fù) 構(gòu)建與變換，其結(jié)構(gòu)套著結(jié)構(gòu)，特征或結(jié)構(gòu)隱含嵌套,具有多層次性與遞歸 性。4）4）自仿射性自相似系統(tǒng)就是局部與整體在不同方向上得縮放，拉伸得拷貝，其比 例都就是同一得，就是常數(shù).而自仿射系統(tǒng)，其在各方向上得伸縮,拉放拷 貝得比例不同、5）5）分形元一初始元一生成元就是構(gòu)成分形整體，相對(duì)獨(dú)立得，放大與縮小均不改變,及共同相似得

21、基本部分，即相似單元，相似單位,或就是變換中不變性（共性）得共同得，最 基木得，簡(jiǎn)單得結(jié)構(gòu)，性質(zhì)得單位或單元，就是整體與局部共性得統(tǒng)一體、分形性就就是分形性質(zhì)得統(tǒng)合，如自相似性與標(biāo)度不變性，分?jǐn)?shù)維性 等。6）分形元一支（枝，肢），岔（叉，杈）如五行得“金，木，水，火，土”就就是五行分形元得五個(gè)分形元支，五杈; 陰陽有兩個(gè)分形元支等。分形圖形一般都比較復(fù)雜，其復(fù)雜程度可用分形維數(shù)去定量描述。 現(xiàn)在有不少維數(shù)得定義，其中最容易理解得且與分形維數(shù)有密切關(guān)系得 就是相似維數(shù)。一般地說，如果某圖形就是由把全體縮小為1/8得 個(gè)相似圖形構(gòu)成得，那么此指數(shù)D就具有維數(shù)得意義。此維數(shù)被稱之為 相似維數(shù)。相似維

22、數(shù)只對(duì)具有嚴(yán)格自相似性得有規(guī)分形才適用，使用范 圍有限。所以定義對(duì)所有集都適用得維數(shù)就是很有必要得。Hausdorff 維數(shù)就就是這樣一個(gè)最有代表性得維數(shù)，它適用于包括隨機(jī)圖形在內(nèi)得 任意圖形、如測(cè)定某集得測(cè)度得單位半徑為r,則測(cè)定得結(jié)果NG)將滿 足下式：N (r) =Cr式中得C為常數(shù)，則該集得維數(shù)為Dh,該維數(shù)稱為Hausdo r f f維數(shù)。不過,Hausdor f f維數(shù)在許多情況下難以用 計(jì)算得方法來計(jì)算或估計(jì)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中較少釆用Hausd orff 維數(shù)，而釆用便于計(jì)算得相似維數(shù)等。分形原理自相似原理積與原理：對(duì)S1PS2=O得分形子集Df二D1+D2、加與原理:如果分形

23、子集SinS2=S,則D f = D 1+D2 d o合并原理：分形集S = Sa+Sb,DaDb側(cè)Ds二D a、匹配原理：若想 S1US2S,需 D1=D2 (=D s )級(jí)差原理：SieS, i就是級(jí)次(層次).自仿射原理互補(bǔ)原理:sus，=u= 1 ,sns，=o ,s 與 s互補(bǔ)。分形幾何與解析幾何得關(guān)系(經(jīng)絡(luò)定位)分形幾何與歐氏幾何類似，就是研究或考察物體形狀得幾何學(xué), 不象解析幾何可以通過坐標(biāo)A(x,y,z)進(jìn)行定位、不過將來得”解析分形 幾何”應(yīng)該可以有雙重作用、生命現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象都就是復(fù)雜現(xiàn)象,具有復(fù)雜現(xiàn)象得系統(tǒng)成為復(fù) 雜系統(tǒng)。如生命繁殖過程就是一個(gè)復(fù)雜得過程，生命系統(tǒng)就是一個(gè)

24、復(fù)雜系 統(tǒng)。所有復(fù)雜系統(tǒng)都存在三個(gè)基本特征：1女、復(fù)雜系統(tǒng)有許多基本單元(稱 之為細(xì)胞)組成。心2、每個(gè)細(xì)胞得狀態(tài)只有極少數(shù)幾種。3、每個(gè)細(xì)胞得狀態(tài)隨時(shí)間得演變只隨其鄰居得細(xì)胞狀態(tài)決定。例如:雪花得生成過程由其鄰居得冰象與汽象決定根據(jù)這三個(gè)特征, 通過各細(xì)胞得局部相互作用，整體上可以顯示出多種多樣得復(fù)雜形態(tài)。生 命繁殖過程也不例外，在計(jì)算機(jī)上按此三個(gè)基本特征可以模擬演示繁衍 過程。在繁衍過程中產(chǎn)生大量得藝術(shù)圖案。產(chǎn)生分形得物理機(jī)制-般認(rèn)為非線性，隨機(jī)性,以及耗散性就是出現(xiàn)分形結(jié)構(gòu)得必要物理 條件、非線性就是指運(yùn)動(dòng)方程中含有非線性項(xiàng)(迭代)，狀態(tài)演化(相空間 軌跡）發(fā)生分支，就是混沌得根木原因.隨機(jī)性分為兩大類,即噪聲熱運(yùn)動(dòng) 與混沌，它們反映了系統(tǒng)得內(nèi)在隨機(jī)性。而隨機(jī)性系統(tǒng)未必就就是完全 無序得.耗散性強(qiáng)調(diào)開放性，研究嫡變得過程與機(jī)制,即傳統(tǒng)得無序嫡增過 程，及未來得有序炳減過程,宇宙得“有序與無序，物質(zhì)與能量與信息得相 互轉(zhuǎn)換得兩大循環(huán)”、系統(tǒng)產(chǎn)生分形結(jié)構(gòu)得充分條件就是”吸引子（A t tract。門”,不嚴(yán)格 地說，一個(gè)吸引子就就是一個(gè)集合，并且使得附近得所有軌道都收斂到 這個(gè)集合上、非線性耗散系統(tǒng)能產(chǎn)生無規(guī)運(yùn)動(dòng)