等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān) 系，并能用相關(guān)知識(shí)解決相對(duì)應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 自主體驗(yàn) 已知數(shù)列an滿足2an1anan2(nN*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a310，S672.若bn an30，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和的最小值.1.等差數(shù)列的單調(diào)性： 等差數(shù)列公差為d，若d0，則數(shù)列遞增. 若d0，n21時(shí)，an0，n21時(shí)，an0，n20時(shí)，Sn最大.【答案】 B1.等差數(shù)列的單調(diào)性： 等差數(shù)列公差為d，若d0，則數(shù)列遞增. 若d0，則數(shù)列遞減. 若d0，則數(shù)列為常數(shù)列.2.

2、等差數(shù)列的簡單性質(zhì)： 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.(1)若mnpq，則amanapaq. 特別：若mn2p，則aman2ap.1.等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差 等于 ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這 個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定 義的表達(dá)式為 .同一個(gè)常數(shù)an1and(nN*)2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，那么通項(xiàng)公 式為an .a1(n1)d思考探究1 已知等差數(shù)列an的第m項(xiàng)為am，公差為d，則其第n項(xiàng)an能否用am與d表示？提示：可以.anam(nm)d.3.等差中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)a，A，b

3、成等差數(shù)列，則三數(shù)的關(guān)系是 A .思考探究2 三數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，一般設(shè)為ad，a，ad；四數(shù)成等差數(shù)列呢？提示：可設(shè)為a3d，ad，ad，a3d.4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.已知an是等差數(shù)列，a1010，其前10項(xiàng)和S1070， 則其公差d ( ) A. B. C. D.解析：a10a19d10，S1010a145d70，d .答案：D等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和2.已知an為等差數(shù)列，a2a812，則a5等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7解析：an為等差數(shù)列，a2a82a512，則a56.答案：C3.設(shè)an是等差數(shù)列，若a23，a713，則數(shù)列 an前8 項(xiàng)的和為 ( ) A.128

4、B.80 C.64 D.56解析：由 解得a11，d2，S88a1 d64.答案：Ca1+d=3,a1+6d=13,等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和4.已知等差數(shù)列共10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之 和為30，則其公差為 .解析：由題意知a1a3a5a7a915， a2a4a6a8a1030， ：5d15，d3.答案：35.數(shù)列an中，a115,3an13an2(nN*)，則該數(shù)列 中乘積是負(fù)值的相鄰兩項(xiàng)為 .解析：由已知得an1an ，a115，ana1(n1)d15 (n1) ，顯然a230，a240.該數(shù)列中乘積是負(fù)值的相鄰兩項(xiàng)為a23與a24.答案：第23項(xiàng)與第24項(xiàng)1.證明一個(gè)數(shù)列an為等

5、差數(shù)列的基本方法有兩種： (1)利用等差數(shù)列的定義證明，即證明an1and(nN*) (2)利用等差中項(xiàng)證明，即證明an2an2an1(nN*).2.解選擇題、填空題時(shí)，可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷：(1)通項(xiàng)法：若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即an AnB，則an是等差數(shù)列；(2)前n項(xiàng)和法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是SnAn2Bn的形 式(A，B是常數(shù))，則an為等差數(shù)列.特別警示 若說明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找到其中連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可. 已知數(shù)列an中，a1 ，an2 (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn (nN*).(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大

6、項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由.思路點(diǎn)撥課堂筆記 (1)證明：an2 (n2，nN*)，bn .n2時(shí)，bnbn1 1.又b1 ，數(shù)列bn是以 為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知，bnn ，則an1 1 ，設(shè)函數(shù)f(x)1 ，易知f(x)在區(qū)間(， )和( ，)內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)n3時(shí)，an取得最小值1；當(dāng)n4時(shí)，an取得最大值3.1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d及前n項(xiàng)和公式Sn na1 d，共涉及五個(gè)量a1，an， d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程 的思想解決問題.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換 作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它

7、們表示 已知和未知是常用方法.特別警示 因?yàn)?na1 ，故數(shù)列 是等差數(shù)列. (2009江蘇高考)設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足 ，S77.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；(2)試求所有的正整數(shù)m，使得 為數(shù)列an中的項(xiàng).思路點(diǎn)撥課堂筆記 (1)設(shè)an通項(xiàng)公式ana1(n1)d，d0，則 .由性質(zhì)得，3d(a4a3)d(a4a3)，因?yàn)閐0，所以a4a30，即2a15d0. 又由S77得7a1 d7. 聯(lián)立解得a15，d2.所以an的通項(xiàng)公式為an2n7，前n項(xiàng)和Snn26n.(2) .令2m3t， 6，因?yàn)閠是奇數(shù)， N，所以t可取的值為1.當(dāng)t1，m2時(shí)，t

8、 63，2573是數(shù)列an中的項(xiàng)；t1，m1時(shí)，t 615，數(shù)列an中的最小項(xiàng)是5不符合.所以滿足條件的正整數(shù)m2.若將“ ，S77”改為“S1030，S2050”，求通項(xiàng)an和S30的值.解：由題意得解之得ana1(n1)d n ，S3030a1 d60.1.等差數(shù)列的單調(diào)性： 等差數(shù)列公差為d，若d0，則數(shù)列遞增. 若d0，n21時(shí)，an0，n20時(shí)，Sn最大.【答案】B 自主體驗(yàn) 已知數(shù)列an滿足2an1anan2(nN*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a310，S672.若bn an30，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和的最小值.解：2an1anan2，an為等差數(shù)列，設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公差為d，bn

9、前n項(xiàng)和為Tn.由a310，S672，得 an4n2，則bn an302n31.由 得 n .nN*，n15.bn前15項(xiàng)為負(fù)值，T15最小，可知b129，d2，T15225.1.(2009遼寧高考)an為等差數(shù)列，且a72a41，a3 0，則公差d ( ) A.2 B. C. D.2解析：因?yàn)閍72a4a16d2(a13d)a11，則a11，又因?yàn)閍3a12d12d0，解得d .答案：B2.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知a23，a611， 則S7等于 ( ) A.13 B.35 C.49 D.63 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)得S7 49.答案：C3.已知等差數(shù)列an中，|a3|a9|，公差

10、d0，則使 前n項(xiàng)和Sn取得最大值的正整數(shù)n的值是 ( ) A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.8或9解析：法一：d0，|a3|a9|，a3a90，a15d0，a15d.Snna1 d n2 n (n )2 d.d0，當(dāng)n5或6時(shí)，Sn最大.法二：d0，|a3|a9|，a30，a90，且a3a90，即2a60，a60，故數(shù)列an的前5項(xiàng)都大于0，從第7項(xiàng)開始各項(xiàng)都小于0.從而前5項(xiàng)或前6項(xiàng)的和最大.答案：B4.(2009山東高考)在等差數(shù)列an中，a37，a5a26， 則a6 .解析：an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，3da5a26，則a6a33d7613.答案：135.已知Sn為等差數(shù)列an的

11、前n項(xiàng)和，若a2a476， 則S7S3等于 .解析： 2.答案：216.(文)(2010惠州模擬)等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì) 任意nN*，點(diǎn)(n，Sn)在二次函數(shù)f(x)x2c的圖象上. (1)求c，an； (2)若kn ，求數(shù)列kn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)點(diǎn)(n，Sn)在二次函數(shù)f(x)x2c的圖象上，Snn2ca1S11c，a2S2S1(4c)(1c)3，a3S3S25，又an為等差數(shù)列，6c6，c0，d312，an12(n1)2n1.(2)kn ，Tn 得 Tn(理)已知數(shù)列an滿足an2an12n1(n2)，且a15.(1)若存有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù) 列為等差數(shù)列，請(qǐng)求出的值；(2)在(1)的條件下，求出數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)假設(shè)存有實(shí)數(shù)符合題意，則 必為與n無關(guān)的常數(shù)， 要使 是與n無關(guān)的常數(shù)，則 0，得1.故存有實(shí)