1.2回歸分析 (2)

1、1.1 回歸分析的基本思想 及其初步應(yīng)用溫故知新我們通過(guò)一個(gè)微視頻來(lái)回憶一下必修三中回歸分析的相關(guān)內(nèi)容.所以回歸方程是所以，對(duì)于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 問(wèn)題1身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，這是由什么原因引起的呢？解：回歸直線 從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a簡(jiǎn)單描述它們關(guān)系。 我們可以用下面的線性回歸模型來(lái)表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差.產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？問(wèn)題2:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來(lái)源(可以

2、推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響體重 y 的因素不只是身高 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高 x的觀測(cè)誤差. 線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化. 在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y為預(yù)報(bào)變量.問(wèn)題3：在線性回歸模型中， 是用 預(yù)報(bào)真實(shí)值 的誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么應(yīng)該怎樣研究隨機(jī)誤差呢？隨機(jī)誤差的估計(jì)值 ，我們稱為殘差.殘差數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 稱為相應(yīng)于點(diǎn)（xi，yi ） 的殘差.例：編號(hào)

3、為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）殘差平方和 把每一個(gè)殘差所得的值平方后加起來(lái)，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：稱為殘差平方和.在例1中，殘差平方和約為128.361.表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù).殘差分析與殘差圖 我們可以通過(guò)殘差 來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析.編號(hào)12345678身高165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來(lái)分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差

4、，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。殘差圖的制作及作用：(1)坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；(2)若選擇的模型比較合適，殘差點(diǎn)應(yīng)該比較均勻的分布在以橫軸為中心的帶狀區(qū)域；(3)對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問(wèn)題 幾點(diǎn)說(shuō)明： 從殘差圖中可以看出，第1個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤. 如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因. 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適.

5、 這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問(wèn)題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值. 事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值.一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.（2）畫(huà)出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）.（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）.（4

6、）按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)回歸方程中的參數(shù).（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等）. 若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.例2、一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表，試建立y與x之間的回歸方程.325115662421117產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)35322927252321溫度x/0C問(wèn)題1：利用圖形計(jì)算器統(tǒng)計(jì)模式，輸入數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖。問(wèn)題2：通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，思考能用線性回歸模型來(lái)近似的模擬該模型？如果不行可以用什么模型來(lái)模擬？學(xué)生分組討論、實(shí)踐。問(wèn)題3：在圖形計(jì)算器統(tǒng)計(jì)模式利用自帶模型求出回歸方程。利用

7、一次模型: 利用二次模型：利用指數(shù)模型: 問(wèn)題4：探索如何衡量指數(shù)模型還是二次函數(shù)模型擬合效果更好？函數(shù)模型殘差平方和線性回歸模型3963.78955二次函數(shù)模型796.738869指數(shù)函數(shù)模型0.03273949問(wèn)題5：探究相關(guān)指數(shù) 的含義我們進(jìn)一步觀察上面三個(gè)圖的信息，你們有什么發(fā)現(xiàn)？ 我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型擬合效果越好.R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的相關(guān)性越強(qiáng)）. 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過(guò)比較R2的值來(lái)做出選擇，即選取R2較大

8、的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩?lái)說(shuō)：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo). 在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率. 函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.9592指數(shù)函數(shù)模型0.9852用相關(guān)指數(shù) 衡量一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型以及指數(shù)模型的擬合效果.回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用探索無(wú)止境探索無(wú)止境探索無(wú)止境探索無(wú)止境課堂知識(shí)延伸 我們知道，刑警如果能在案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)提取到罪犯的腳印，即將獲得一條重要的破案線索，其原因之一是人類(lèi)的腳掌長(zhǎng)度和身高存在著相關(guān)關(guān)系，可以根據(jù)一個(gè)人的腳掌長(zhǎng)度來(lái)預(yù)測(cè)他的身高 我們還知道，在統(tǒng)計(jì)史上，很早就有人收集過(guò)人們的身高、

9、前臂長(zhǎng)度等數(shù)據(jù)，試圖尋找這些數(shù)據(jù)之間的規(guī)律 還有研究發(fā)現(xiàn)人眼睛眉毛的濃密稀疏與是否雙眼皮有關(guān)，你能尋找這兩者之間的關(guān)系嗎？ 大家還可以查閱資料探索年份與我國(guó)GDP產(chǎn)值之間的相關(guān)關(guān)系，并且預(yù)測(cè)2014和2015我國(guó)的GDP產(chǎn)值。 在上述三個(gè)小故事的啟發(fā)下，全班同學(xué)請(qǐng)分成一些小組，每組4-6名同學(xué)，在老師的指導(dǎo)下，開(kāi)展一次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，來(lái)親自體驗(yàn)回歸分析的思想方法，提高自己的實(shí)踐能力。 數(shù)學(xué)建模的題目是：收集一些周?chē)藗兊哪_掌長(zhǎng)度、前臂長(zhǎng)度中的一個(gè)數(shù)據(jù)及其身高，來(lái)作為兩個(gè)變量畫(huà)散點(diǎn)圖，如果這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，就求出回歸直線方程，另選一個(gè)人的這兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)，作一次預(yù)測(cè)，并分析預(yù)測(cè)結(jié)果。最后以小組寫(xiě)出數(shù)學(xué)建模報(bào)告，報(bào)告要求過(guò)程清晰，結(jié)論明確，有關(guān)數(shù)學(xué)論述準(zhǔn)確，以下兩個(gè)問(wèn)題需要注意： （1）如果腳掌長(zhǎng)度不方便，可改量腳印的長(zhǎng)度。 （2）數(shù)據(jù)盡量取得分散一些。處理數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù) 相關(guān)指數(shù)殘差分析統(tǒng)計(jì)源于生活統(tǒng)計(jì)用于生活小結(jié)1.根據(jù)數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖2.選擇合適的回歸模型3.根據(jù)殘差圖和相關(guān)指數(shù)分析擬合效果回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用問(wèn)題2：通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，思考能用線性回歸模型來(lái)近似的模擬該模型