lbm波爾茲曼算法

1、波爾茲曼方法基本原理格子Boltzmann方法是使用簡單的微觀模型來模擬流體的宏觀行為的一種新的方法。格子Boltzmann方法是建立在微觀粒子運(yùn)動(dòng)論基礎(chǔ)上的數(shù)值計(jì)算方法。其求解過程一般需要通過編程來實(shí)現(xiàn)！一般來說研究流體的行為有兩種方法：一種是從宏觀的角度出發(fā)，假設(shè)流體連續(xù)分布于整個(gè)流場，注入密度、速度、壓力等物理量均是時(shí)間可空間的足夠光滑的函數(shù)。另一種是從微觀的角度，從非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，假設(shè)流體是由大量的微觀的例子組成，這些例子遵守力學(xué)定律，同時(shí)服從統(tǒng)計(jì)定律，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法來討論流體的宏觀性質(zhì)。然而流體是由大量的粒子組成的，當(dāng)我們從宏觀的角度研究流體行為的時(shí)候，并沒有涉及到單個(gè)粒子

2、的行為。通常我們所感興趣的事代表某個(gè)點(diǎn)的宏觀量，例如密度、速度、壓力。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)我們可以推導(dǎo)出N-S方程，并且利用數(shù)學(xué)上的微積分知識(shí)來求解，然而由于N-S方程是高度非線性化的偏微分方程，僅僅一些具有簡單變界或者比較嚴(yán)格物理閑著的現(xiàn)象才能夠得到理論分析界，如果從微觀的角度了研究單個(gè)粒子的真是行為，對于一個(gè)包含大量例子的系統(tǒng)來說粒子的運(yùn)動(dòng)方程往往是得不到解的。統(tǒng)計(jì)學(xué)可以考慮整個(gè)系統(tǒng)所有的狀態(tài)以及處理這個(gè)狀態(tài)的概率來解決這些困難，對于稀薄氣體所得到的就是Boltzmann方程，但是得到的方程還不夠，我們還要借助于統(tǒng)計(jì)方法得到流體的宏觀性質(zhì)，這就要求解Boltzmann方程，然而Boltzmann

3、方程是一非線性微分方程，一般情況下嚴(yán)格求解也是非常困難的。格子氣方法是近年來發(fā)展起來的模擬流體力學(xué)以及其他系統(tǒng)的比較新的方法，格子氣自動(dòng)機(jī)模擬流場，就是將流體及其存在的時(shí)間和空間完全離散，給出離散的流體粒子之間相互作用以及遷移的規(guī)則。流體只存在于空間網(wǎng)格上，用一系列布爾變量n(x,t)(i=1,2,.,b來描述在時(shí)刻t位于x處節(jié)點(diǎn)的每一個(gè)速度方向是否有粒子存在，i其中b表示每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的速度方向的數(shù)目，粒子在每一個(gè)時(shí)間步長的演化包括兩部分：(a)遷移，粒子沿它的速度方向向距離最近的節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；(b)碰撞，當(dāng)不同的粒子同時(shí)到達(dá)某個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，按照一定的碰撞規(guī)則發(fā)生碰撞并改變運(yùn)動(dòng)的方向，格子氣模型具有兩重

4、意義：G)盡可能建立一個(gè)簡單的模型是指能夠用來模擬一個(gè)有大量粒子組成的系統(tǒng)；)反映粒子真實(shí)碰撞的本質(zhì)，這樣經(jīng)過長時(shí)間我們可以獲得流體的宏觀特性。粒子的演化過程能夠用來模擬宏觀的流體過程是基于下列事實(shí)，即流體的宏觀特性是系統(tǒng)內(nèi)大量粒子整體行為的結(jié)果。分子之間的相互作用可以改變流體的傳輸特性，比如粘度，但是并不改變宏觀方程的基本形式。格子氣的HPP模型與FPH模型HPP模型將流體存在的空間劃分為間距為單位長度的正方形網(wǎng)格，將流體想象成許多有質(zhì)量沒有體積的微小粒子組成，在同一時(shí)刻同一網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，每一個(gè)速度方向最多允許存在一個(gè)粒子，每個(gè)粒子可以向四個(gè)方向的其中之一運(yùn)動(dòng)，并且遵守以下碰撞準(zhǔn)則:當(dāng)且僅當(dāng)只

5、有兩個(gè)粒子沿相反方向達(dá)到某節(jié)點(diǎn)時(shí)(對頭碰撞)，它們沿另外的兩個(gè)方向離開該節(jié)點(diǎn)，其他情形則直接穿透，PHP模型則是將流場劃分為間距為單位長度的正三角網(wǎng)格，并且增加了相應(yīng)的碰撞準(zhǔn)則。格子氣的微觀方程為簡單起見，以HPP模型為例，用n.G,x)代表在時(shí)刻t位置x處的節(jié)點(diǎn)上第i個(gè)方向i的粒子數(shù)，則整個(gè)布爾場的更新可以寫成n(t+1,x+e)=6AnA-nA-nDCnAnA-nA-n)iiiii+2i+1i+3i+1i+3ii+2寫成代數(shù)式即:(t+1,QiQ碰撞因子從微觀方程出發(fā)利用多尺度分析以及Chapmen_Enskog展開可以得到iN-S方程。格子波爾茲曼模型由于格子氣方法的節(jié)點(diǎn)用一系列的0或者

6、1來表征每個(gè)速度方向上是否存在粒子所以對于格子氣的運(yùn)算只涉及個(gè)速度方向上是否存在粒子，對于格子氣的運(yùn)算只涉及衡分布為Fermi-Dirac分布，從而導(dǎo)致非伽利略不變性，既N-S方程對流項(xiàng)前面有一個(gè)依賴于密度的系數(shù)(應(yīng)該為1)，壓力依賴于宏觀速度(通常的壓力只依賴于密度和溫度，既p=p(p,T),隨即統(tǒng)計(jì)噪聲比較大(因?yàn)樽兞繛檎?等。為了克服上述缺陷，McNamara與Zanetti提出直接由Boltz-mann方程去替換格子氣自動(dòng)機(jī)，簡單的用單粒子分布函數(shù)f去代替布爾變量n,他們求Qi(f)的方法是根據(jù)碰撞規(guī)則表求出Qi(n)，然后用f代替n,這樣波爾茲曼方程就變?yōu)椋篺(+1,x+e)二fC

7、,x)+Q(f)iii把原來的整數(shù)運(yùn)算變成了實(shí)數(shù)運(yùn)算(f是一個(gè)01之間的實(shí)數(shù))，解決了隨機(jī)噪聲問題。后來,Higuera、Jimenez和Succi引用線性碰撞算子。兩者的平衡分布仍然是Fermi_Di-rac分布，沒有解決其他兩個(gè)問題。后來在19911992年間陳十一以及錢躍宏提出了基于單一松馳時(shí)間模型來簡化碰撞函數(shù)，提出了各向同性，滿足伽利略不變性和使壓力與速度，其中feq局部平衡分布函數(shù)，T稱為馳豫時(shí)間，反映非平衡態(tài)趨向平衡無關(guān)的平衡分布，使問題得到解決，通常將這個(gè)模型稱為LB-BGK模型。即將Q(f加ifeqTiii態(tài)的快慢。于是LB-BGK模型為:f(t+1,x+e)=f(t,x)+

8、iiiT對于兩維的情況一般的采取九點(diǎn)格子模型，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)上允許一個(gè)靜止粒子存在,加上與其相鄰得有8個(gè)節(jié)點(diǎn)記為D2Q9型。平衡分布函數(shù)采取錢躍宏提出的：f25=9P1+sCe*u)+(e*u一feq=1p6-936i9i1+sCe*u)+Ce*u-i9i宏觀參數(shù)為:p=工fipm=工feii3pRT二乞f（e-uiii邊界條件的處理邊界問題是流體力學(xué)數(shù)值計(jì)算當(dāng)中相當(dāng)復(fù)雜的問題，傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法對于邊界的處理非常的困難。格子波爾茲曼方法的邊界條件處理則相對簡單的多。下面給出幾種比較典型的邊界問題的處理方法：剛體固壁邊界條件在粘性流體力學(xué)中，邊界速度為零，即切向速度和法向速度都零,因此我們可以采

9、取下面得處理方式：在t=n-時(shí)刻以速度u入射進(jìn)來的粒子度u入射進(jìn)來的粒子度u入射進(jìn)來的粒子自由滑移邊界條件流體力學(xué)中常見的一種邊界條件是開口邊界，如矩形空腔流等等。在這類邊界情況下，切向速度為常數(shù)，而法向速度為零。對于這樣的邊界條件一般采取下面的處理方式:即把邊界看成一個(gè)鏡面，將入射進(jìn)來的粒子沿和入射方向相對稱的方向折回這樣的話，假設(shè)速度為u=（u,u）的粒子入射進(jìn)來，以u=（u，-u）反射出去，則平均起svsv來看,恰好有u*n二u以及u*n二0其中uunn分別為粒子切向速度。粒子法向速度，邊ssvsvsv界的單位切向速度，邊界的單位法向速度邊界處理方法1反彈格式反彈格式主要用于無滑移壁面。

10、所謂反彈格式，是指如果一個(gè)流體節(jié)點(diǎn)上的粒子沿粒子運(yùn)動(dòng)方向流動(dòng)一步達(dá)到邊界節(jié)點(diǎn)，則該粒子沿原方向反彈回原流體節(jié)點(diǎn)。LBM方程可以演化為碰撞和流動(dòng)兩個(gè)過程。2插值外推格式插值外推格式是根據(jù)Taylor展開，利用內(nèi)部流體點(diǎn)的分布函數(shù)，根據(jù)階數(shù)似方法得到邊界上的分布函數(shù)。非平衡態(tài)外推方法非平衡態(tài)外推方法是根據(jù)宏觀物理量與分布函數(shù)確定未知量的方法。包括壓力邊界和速度邊界。格子波爾茲曼方法在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用1用于障礙繞流尾流模擬2Benard熱對流現(xiàn)象的模擬3空腔流的模擬4在兩相流方面的應(yīng)用5激波模擬綜上所述，我們可以知道格子波爾茲曼算法是一種數(shù)值計(jì)算方法，它可以利用matlab編程來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)方程的求

11、解問題。AnsysFlotranCFD分析簡介AnsyslO.O程序中的FLOTRANCFD分析模塊的功能，是一個(gè)分析二維記三維流體流體場的工具，使用ansysl.0中用于FLOTRANCFD分析的FLUID141及142單元可以解決如下問題：作用于氣動(dòng)翼型上的升力和阻力。超聲速噴管中的流場。彎管中流體的復(fù)雜的流體三維流動(dòng)。FLOTRANCFD分析的種類層流活湍流。傳熱或者絕熱。可壓縮或不可壓縮。牛頓流體或非牛頓流體。多組分析傳輸。FLOTRANCFD分析的主要步驟：確定問題的區(qū)域必須確定所分析問題的明確范圍，將問題的邊界設(shè)置摘田間已知的地方，如果不能知道精確的邊界條件而必須假設(shè)是，不要將分析

12、的邊界條件設(shè)在靠近感興趣的地方，也不要將邊界條件設(shè)在求解變量變化梯度較大的地方。確定流體的狀態(tài)用戶需要估計(jì)流體的特征，流體的特征是流體性質(zhì)、幾何邊界以及流場速度幅值的函數(shù)。FLOTRAN能求解的流體包括氣體和流體，其性質(zhì)可隨溫度而發(fā)生顯著的變化。FLOTRAN中的氣體只能是理想氣體。再大多數(shù)的情況下，近似認(rèn)為流體性質(zhì)是常數(shù)，既不隨溫度而變化，都可以得到精確的解。通常用雷諾數(shù)來判斷流體是層流還是湍流。通常用馬赫數(shù)來判斷流體是否可壓縮。流場中任意一點(diǎn)的馬赫數(shù)是該點(diǎn)的速度與該點(diǎn)的聲速的比值。當(dāng)馬赫數(shù)大于0.3是考慮用可壓縮算法求解。生成有限元網(wǎng)格用戶必須事確定流場中哪個(gè)地方流體的梯度變化較大，在這些地方網(wǎng)格必須做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。施加邊界條件可在網(wǎng)格劃分之前或之后對模型施加邊界條件，此時(shí)要將模型所有的邊界條件都考慮進(jìn)去，如果有某個(gè)相關(guān)變量的條件沒有加上去，則改變量沿邊界法相值得梯度將被假設(shè)為0。設(shè)置FLOTRANCFD分析參數(shù)流體性質(zhì)等項(xiàng)目的設(shè)置，是與所求解的流體問題的類型是相關(guān)的。6