數(shù)學(xué)物理方程5格林函數(shù)法課件

1、 第5章 Green 函數(shù)法 數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門(mén)和鑰匙，忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識(shí)，因?yàn)楹鲆晹?shù)學(xué)的人是無(wú)法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。 （英）R .培根 利用格林函數(shù)法求解一些平面或空間區(qū)域上位勢(shì)方程狄利克雷問(wèn)題。 介紹利用格林函數(shù)法求解一維熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程半無(wú)界問(wèn)題本章中心內(nèi)容 格林（Green）函數(shù)，又稱(chēng)為點(diǎn)源影響函數(shù)， 是數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要概念格林函數(shù)代表一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件下和初始條件下所產(chǎn)生的場(chǎng)知道了點(diǎn)源的場(chǎng)，就可以用疊加的方法計(jì)算出任意源所產(chǎn)生的場(chǎng) 格林函數(shù)法是解數(shù)學(xué)物理方程的常用方法之一 5.1 Green公式 在研究Laplace方程和Poisson方程邊

2、界問(wèn)題的時(shí)候，要經(jīng)常利用格林公式，它是高等數(shù)學(xué)中Gauss公式的直接推廣。設(shè)為中的區(qū)域，充分光滑。設(shè)k為非負(fù)整數(shù)，以下用表示在上具有k階連續(xù)偏導(dǎo)的實(shí)函數(shù)全體，表示在上具有k階連續(xù)偏導(dǎo)的實(shí)函數(shù)全體。如表示在具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上連續(xù)。如將簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為或，等等。設(shè)和，則如下的高斯公式或者如果引入哈密爾頓（Hamilton)算子：并記F=(P,Q,R),則Gauss公式具有如下簡(jiǎn)潔性式其中為的單位外法向量。注1哈密爾頓算子是一個(gè)向量性算子，它作用于向量函數(shù)F=(P,Q,R)時(shí)，其運(yùn)算定義為形式上相當(dāng)于兩個(gè)向量作點(diǎn)乘運(yùn)算，此即向量F的散度divF。而作用于數(shù)量函數(shù)f(x,y,z)時(shí)，其運(yùn)算定義為形式上

3、相當(dāng)于向量的數(shù)乘運(yùn)算，此即向量函數(shù)的梯度grad、設(shè)在(3)式中取得直接計(jì)算可得將(5)式帶入到(4)式中，并整理得其中(6)式稱(chēng)為格林第一公式將（6）中函數(shù)u、v的位置互換，得（6）-（7），得（8）稱(chēng)為格林第二公式。 設(shè)，點(diǎn)，。引入函數(shù)，注意是關(guān)于六個(gè)變?cè)偷暮瘮?shù)，且又兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得即所以對(duì)（*）再對(duì)x求偏導(dǎo)，得整理，得由對(duì)稱(chēng)性，得所以即在中除點(diǎn)外處處滿(mǎn)足拉普拉斯方程。 設(shè)充分小使得記，則，在格林第二公式中，令，注意到，則有或在球面上，有或因此其中-積分中值定理 同理可得其中-積分中值定理 將（10）和（11）帶入到（9），得到令此時(shí)有并且區(qū)域G趨向于區(qū)域，所以可得即（12）稱(chēng)為格林第

4、三公式。 注2 在二維情況中，格林第一公式和格林第二公式也成立。而對(duì)于格林第三公式，需要取格林第三公式，需要取此時(shí)，格林第三公式也成立。5.2 Laplace 方程基本解和Green函數(shù) 基本解做研究偏微分方程時(shí)起著重要的作用。這里首先介紹拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊區(qū)域上由基本解生產(chǎn)格林函數(shù)，由此給出相應(yīng)區(qū)域上的拉普拉斯方程或泊松方程邊值問(wèn)題的解的表達(dá)式。5.2.1 基本解 設(shè)，若做點(diǎn)放置一單位正電荷，則該電荷在空間產(chǎn)生的點(diǎn)位分布為（舍去介電常數(shù) ） 電場(chǎng)中某點(diǎn)的電位是指在電場(chǎng)中將單位正電荷從該點(diǎn)移至電位參考點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。上節(jié)已證在廣義函數(shù)意義下，其中三維拉普拉斯方程的通解為：如

5、果取就得到一個(gè)重要的特解，前面記作，與點(diǎn)選擇有關(guān)。稱(chēng)為三維拉普拉斯方程的基本解。 當(dāng)n=2時(shí)，二維拉普拉斯方程的基本解為其中。有在廣義函數(shù)意義下，5.2.2 格林函數(shù) 考慮如下定解問(wèn)題設(shè)為上述問(wèn)題的解，則由格林第三公式，得由定解問(wèn)題（5）（6）的自由項(xiàng)和邊值條件，可得和而在中，在邊界上的值未知，因此須進(jìn)一步處理。注 如果邊界條件改為諾依曼條件，即定解問(wèn)題變?yōu)橛筛窳值谌剑庙氉鲞M(jìn)一步處理。 如何由格林第三公式得到定解問(wèn)題（5）（6）的解？主要是如何消去。-構(gòu)造格林函數(shù)。 設(shè)h為如下定解問(wèn)題的解在格林第二公式中，取v=h，得或則（7）+（10）得其中由及可知，是如下定解問(wèn)題的解稱(chēng)為拉普拉斯方程在區(qū)域上的格林函數(shù)。 由于G在上恒為0，又可得因此，若求出了區(qū)域上的格林函數(shù)，則便是定解問(wèn)題的解。5.3 半空間及圓域上的Dirichlet問(wèn)題 由前面的分析，我們可以看出，只要求出了給定區(qū)域上的格林函數(shù)，就可以得到該區(qū)域泊松方程狄利克雷問(wèn)題的解。對(duì)一般區(qū)域，求格林函數(shù)并非易事。但對(duì)于某些特殊區(qū)域，可有一些方法。5.3.1 半空間上的狄利克雷問(wèn)題 設(shè)考慮定解問(wèn)題 設(shè)，則為關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。若在兩點(diǎn)各放置一個(gè)單位正電荷，則由三維拉普拉斯方程的基本解得知，它們做空間產(chǎn)生 點(diǎn)位分別為其中。由于關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，則有即為上半空間的格林函數(shù)，且有直接計(jì)算可得又例1 求解下列定解問(wèn)題解：例2 求解下列定解問(wèn)題解