「第12章薄板的小撓度彎曲問題」

1、第十二章薄板的小撓度彎曲問題知識點薄板的基本概念薄板的位移與應(yīng)變分量薄板廣義力薄板小撓度彎曲問題基本方程薄板自由邊界條件的簡化薄板的萊維解矩形簡支薄板的撓度基爾霍夫假設(shè)薄板應(yīng)力廣義位移與薄板的平衡薄板的典型邊界條件薄板自由邊界角點邊界條件撓度函數(shù)的分解一、內(nèi)容介紹薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件,它是由兩個平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠小于底面尺寸，簡稱板。薄板的彎曲變形屬于彈性力學(xué)空間問題,由于數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性,因此,需要首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度,可以忽略一些次要因素,引入一些基本變形假設(shè),

2、抽象建立薄板彎曲的力學(xué)模型。薄板的小撓度彎曲理論是由基爾霍夫基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的。根據(jù)基爾霍夫假設(shè),采用位移解法，就是以撓度函數(shù)作為基本未知量求解。因此，首先將薄板的應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力用撓度函數(shù)表達。然后根據(jù)薄板單元體的平衡,建立撓度函數(shù)表達到平衡方程。對于薄板問題,邊界條件的處理與彈性力學(xué)平面等問題有所不同,典型形式有幾何邊界、混合邊界和面力邊界條件。二、重點1、基爾霍夫假設(shè)；2、薄板的應(yīng)力、廣義力和廣義位移;3、薄板小撓度彎曲問題的基本方程；4、薄板的典型邊界條件及其簡化。12.1薄板的基本概念和基本假設(shè)學(xué)習(xí)要點:本節(jié)討論薄板的基本概念和基本假設(shè)。薄板主要幾何特征是板的中面和厚度。首先，根據(jù)幾

3、何尺寸，定義薄板為0.5或bn1/80,并且撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度問題。對于小撓度薄板，在橫向載荷作用下，將主要產(chǎn)生彎曲變形。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學(xué)模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因為這些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的,因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。根據(jù)上述假設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，長期應(yīng)用于工程問題的分析。實踐證明是完全正確的。學(xué)習(xí)思路：1、薄板基本概念；2、基爾霍夫假設(shè)1、薄板基本概念薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件，它是由兩個

4、平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠小于底面尺寸，簡稱板薄板的彎曲變形屬于彈性力學(xué)空間問題，由于數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性，因此，需要首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。薄板的上下兩個平行面稱為板面，垂直于平行面的柱面稱為板邊，如圖所示。兩個平行面之間的距離稱為板厚，用表示。平分板厚的平面稱為板的中面。設(shè)薄板寬度為a、b，假如板的最小特征尺寸為b，如果5/b1/5,稱為厚板;如果b=&如果在角點有支座,而且撓度被阻止發(fā)生，有此時，支座反力可以根據(jù)公式如二（耳卽計算。12.4矩形薄板的經(jīng)典解法學(xué)習(xí)要點：本節(jié)以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。問題求解的方法比較多,本節(jié)介紹

5、分離變量法。這種方法采用無窮級數(shù)形式求解，在一般條件下，級數(shù)的收斂很快。求解的方法是根據(jù)薄板變形，首先將撓度函數(shù)寫作坐標(biāo)x和y的函數(shù)乘積形式。然后將撓度函數(shù)分解為基本方程的特解和齊次方程解兩部份，分別應(yīng)用邊界JW=1總條件確定。學(xué)習(xí)思路：1、邊界條件與撓度函數(shù)形式;2、撓度函數(shù)的分解；3、基本方程的齊次解和特解；4、薄板的撓度和最大撓度。1、邊界條件與撓度函數(shù)形式下面以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。設(shè)矩形薄板邊長分別為a和b，受均勻分布橫向載荷q(x,y)作用，如圖所示薄板的邊界條件為因此，問題的求解歸結(jié)為在滿足上述邊界條件求解基本方程師寸w二q匕y)薄板彎曲問題求解的方法

6、比較多，以下介紹應(yīng)用最廣泛的分離變量法。這種方法采用無窮級數(shù)形式求解，在一般條件下，級數(shù)的收斂很快。對于直角坐標(biāo)，最為方便的是萊維(L6vyM丿解。設(shè)其中Ym（y）是坐標(biāo)y的函數(shù)。由于x=0和x=a為簡支邊界，因此上述撓度函數(shù)是滿足簡支邊界條件的。問題是如何使得撓度函數(shù)的每一項都滿足二田2的邊界條件。2、撓度函數(shù)的分解由于問題的基本方程是非齊次的偏微分方程，為簡化分析，設(shè)W=W+W2其中wi和W2分別為基本方程的齊次解和特解。因此叭二0二g（s）f(e-2m=l由于W1為基本方程的齊次解，與載荷無關(guān)，而w1+w2必須滿足全部邊界條件，因此將W取為級數(shù)形式。并且考慮其對稱性，應(yīng)該取奇數(shù)，即壯十打

7、）沖=oaaa由于上式對于所有的x均成立，所以方程的通解形式為4打=竺（&跡h也+氏竺訕宦+q詼叫氏竺込h竺）Daaaaaa由于薄板彎曲關(guān)于x坐標(biāo)軸是對稱的，所以Ym（y）只能是y的偶函數(shù)。所以Cm=Dm=因此4&二竺（A叭h皿+乞竺述竺與Daaa由于對稱性條件的應(yīng)用，在卩二士可2的兩個邊界上，原為4個邊界條件，現(xiàn)在只需滿足2個。3、基本方程的齊次解和特解對于特解w2,只要任意選擇一個滿足方程的解就可以。如果橫向載荷q為常數(shù),可以取根據(jù)上述分析，薄板的撓度函數(shù)為4：町+巴二纟甘-2扮+島)+匯工遇h憎+mwsinhw)sijiW24Daaa因此，現(xiàn)在地問題是求出兩組待定系數(shù)Am,Bm。為了計算

8、待定系數(shù)，將上式等號后第一項展開成三角級數(shù)。有丄護-2用十代)二豎24D二1,熾TDCrSHI朮Dn懣J因此，撓度函數(shù)可以表示為伸二(喘珂sinh)1aa.mux111a將上述撓度函數(shù)代入邊界條件1=0可以得到4-r-+4Bcosha；fflhm卄2及)海h%+也+民sinha=0ZiiSill：sinha=0mil其中。求解上述方程，可以得到2(a粗tanha+2)coshofm4、薄板的撓度和最大撓度所以，薄板的撓度為4孵41.tanhlKh,+22坷j眄2y.仁2陽j.比皿闿二丄uYQ-cosh一+訥ih)smTOC o 1-5 h z冊2coshamb2coshtfmbba在薄板的中心,x=a/2,y=0處，薄板有最大撓度_4q瀘尋w=帕m乙U此択=1,聾啊一1斗-m2coshtrmtanh。相+2j4co4齊v51曲=_：,，”M_1(T)丁_5qa34