題型六第20題幾何測量問題

1、題型六第20題幾何測量問題注：第20題?？寂c銳角三角函數(shù)、相似三角形有關(guān)的幾何測量問題.類型一與銳角三角函數(shù)有關(guān)的幾何測量（2017、2012、2010.20）【類型解讀】 與銳角三角函數(shù)有關(guān)的幾何測量應(yīng)用題近10年在第20題考查3次，分值為7分.命題特點(diǎn)：題干給出兩個(gè)角度，至少含一個(gè)非特殊角，設(shè)問均為測量距離，且都要通過作輔助線構(gòu)造直角三角 形來解決.另外 2019題型示例給出含兩個(gè)特殊角題目，應(yīng)引起重視.【滿分技法】鏈接至P79 “微專題銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用針對訓(xùn)練（2019陜西定心卷）某公園中有條東西走向的小河，河寬固定，小河南岸邊上有一塊石墩A,北岸邊上有一棵大樹 P,小楊想利用它們

2、測量小河的寬度，于是，他去了河邊.如圖，他從河的南岸石墩A處測得大樹P在其北偏東30。方向，然后他沿正東方向步行 60米到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)測得大樹 P在其北偏西60。 方向，請根據(jù)以上所測得的數(shù)據(jù)，計(jì)算小河的寬度.（結(jié)果保留根號）（2019海南改編）如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭 A的北偏西60方向上有一小島 C,小島C在觀測站B的北偏西15方向上，已知碼頭 A到小島C的距離AC為10海里， 求觀測站B到AC的距離BP.（結(jié)果保留根號）第2題圖（2019黃岡）如圖，兩座建筑物的水平距離BC為40 m,從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角a為45,測得C點(diǎn)的俯角3為60求這兩座建筑物

3、AB, CD的高度.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，42= 1.414,，3= 1.732.）第3題圖（2019陜師大附中模擬）某校在“建設(shè)特色校園”的活動(dòng)中，將本校的辦學(xué)理念做成宣傳牌（AB）,放置在教學(xué)卞I1的頂部（如圖所示）.小明在操場上的點(diǎn) D處，用1米高的測角儀CD,從點(diǎn)C處測得宣傳牌的底 部B的仰角為37,然后向教學(xué)樓正方向走了4米到達(dá)點(diǎn)F處，又從點(diǎn)E處測得宣傳牌的頂部 A的仰角為 450已知教學(xué)樓高 BM = 17米，且點(diǎn)A, B, M在同一直線上，求宣傳牌 AB的高度.（結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)： 嫄=1.73, sin37 %0.60, cos37=0.80, tan37 5 0

4、.75)ij 第4題圖（2019遵義）某地為打造宜游環(huán)境，對旅游道路進(jìn)行改造.如圖是風(fēng)景秀美的觀景山，從山腳B到山腰D沿斜坡已建成步行道，為方便游客登頂觀景，欲從 D到A修建電動(dòng)扶梯，經(jīng)測量，山高 AC= 154米, 步行道BD=168米，/ DBC =30,在D處測得山頂A的仰角為45求電動(dòng)扶梯DA的長.（結(jié)果保留根號）第5題圖王順山位于陜西省藍(lán)田縣，古稱玉山，“天下名山此獨(dú)奇，望中風(fēng)景畫中詩”是明朝詩人劉磯筆下的王順山風(fēng)光.王順山森林公園內(nèi)奇峰聳立、怪石嶙峋、清潭點(diǎn)點(diǎn)，是出游的好去處.如圖，小延同學(xué)欲借助無人機(jī)在空中探測王順山森林公園中某座小山的高度，當(dāng)無人機(jī)向前飛行到A點(diǎn)時(shí)，測得飛行高度

5、 AF為370米，此時(shí)山頂上 C點(diǎn)的俯角為45。，無人機(jī)保持相同的高度繼續(xù)向前飛行60米到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測得山頂上C點(diǎn)的俯角是60已知DF表示水平地面，CD表示小山的高度，且圖上各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，求這座小山的高度 CD.（結(jié)果保留根號）H0第6題圖（2019衡陽）如圖，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30。，沿坡面向下走到坡腳 C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)E處，測得樓房頂部 A的仰角為60已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1 : 43（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： J3=

6、1.73,亞1.41）第7題圖某校航模設(shè)計(jì)小組制作了一個(gè)飛機(jī)模型準(zhǔn)備參加航模大賽，該飛機(jī)模型的一個(gè)機(jī)翼形狀近似于如圖的四邊形 ABCD,其中/A= 40, ZC = 52, AB=8.5 cm,已知 AB/CD , AB 與 CD 之間的距離為 12.5 cm, 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出CD的長度.（結(jié)果精確到0.1 cm,參考數(shù)據(jù)：sin40 5 0.64,cos40= 0.77, tan40 % 0.84, sin52 為 0.79, cos52 2 0.62, tan52 之 1.28）第8題圖類型二 與相似三角形有關(guān)的幾何測量(20182019、20132016、2011.20)【類型解讀

7、】 與相似三角形有關(guān)的幾何測量應(yīng)用題近10年在第20題考查7次，分值為7分.命題特點(diǎn)：以利用“標(biāo)桿”測高、 中心投影、平行投影、鏡面反射或固定視角等問題為背景，設(shè)問多為測量高度.其5立針對訓(xùn)練中，2019年結(jié)合銳角三角函數(shù)考查，2016年解題需2次運(yùn)用相似，其余均為 1次.園內(nèi)的紫云樓是全園最主要的仿EFGH可以近似看作紫云.大唐芙蓉園位于陜西省西安市城南的曲江開發(fā)區(qū)大雁塔東南側(cè),唐建筑之一，也是全園的點(diǎn)睛樓.小蓉和爸爸周天去紫云樓游玩，如圖，正方形 樓的底部，A處為北門中點(diǎn)，爸爸從 A處往正北方向走30米到達(dá)B處，C處為西門中點(diǎn)，小蓉從 C處往正西方向走72米到達(dá)D處，此時(shí)正好看到 B處的爸

8、爸，則紫云樓底部的邊長EF為多少米？（結(jié)果保留根號）第1題圖. （2019陜師大附中模擬）隨著人們對生活環(huán)境的要求逐漸提高，環(huán)境保護(hù)問題受到越來越多人的關(guān)注，環(huán)保宣傳也隨處可見.如圖，小云想要測量窗外的環(huán)保宣傳牌AB的高度，她發(fā)現(xiàn)早上陽光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C處射進(jìn)房間的地板F處，中午陽光恰好從窗戶的最低點(diǎn)D處射進(jìn)房間的地板 E處，小云測得窗戶距地面的高度OD = 1m,窗高CD=1.5m,并測得OE=1m, OF = 3m.請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求環(huán)保宣傳牌AB的高度.第2題圖. （2019荊門）如圖，為了測量一棟樓的高度OE,小明同學(xué)先在操場上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的

9、頂部E;再將鏡子放到 C處，然后后退到 D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O, A, B, C, D在同一條直線上）.測得AC=2 m, BD = 2.1 m,如果小明眼睛距地面高度BF, DG為1.6 m,試確定樓的高度 OE.第3題圖. 一座橋繁榮一座城.為了加快城市發(fā)展，保障市民出行暢通，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座彩 虹橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路.小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識計(jì)算彩虹橋AP的長.他們在河的對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C,分別在AB、AC的延長線上取點(diǎn) E、F,使得 EF/BC.經(jīng)測量，/ ABP = 60, BC= 120 米，

10、BE=60 米，EF=200 米.已知 APLBC 于點(diǎn) P,請 你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算彩虹橋AP的長度.第4題圖.在一個(gè)陽光明媚的上午，陳老師組織學(xué)生測量小山坡上一棵大樹CD的高度，山坡 OM與地面ON的夾角為30 2 MON =30 ）站立在水平地面上身高 AB為1.7米的小明在地面的影長 BP為1.2米，此刻大 CD在斜坡白影長 DQ為5米，求大樹的高度.（結(jié)果保留根號）MQ有多長，父親說你.晚飯后，小華陪父親到廣場散步，小華抬頭看到一路燈，小華問父親路燈臂已學(xué)過測量的知識，現(xiàn)在我們測量一下.如圖所示，父親背對路燈站在距路燈底座N點(diǎn)9m的B處，小華站在父親前面1 m的C處，此時(shí)小

11、華通過父親頭頂 A處剛好看到路燈臂的 Q點(diǎn)，小華后退0.2 m到達(dá)F處， 又恰好通過父親頭頂 A處看到燈臂的 M點(diǎn)，已知父親身高 AB= 1.8 m,小華身高CD=EF=1.4 m,MNNF, MQ, MN,請你幫助小華計(jì)算燈臂 MQ的長度.（眼睛到頭頂?shù)木嚯x忽略不計(jì) ）第6題圖.某天，小明和小亮利用一個(gè)直角三角形紙板結(jié)合所學(xué)的幾何測量知識來測量學(xué)校旗桿的高度.測量 方案如下：如圖，小明拿著三角形紙板，使得三角形紙板較長的一條直角邊保持水平，然后調(diào)整自己的位 置，使得眼睛看到的旗桿頂端M恰好在三角形紙板斜邊所在的直線上，此時(shí)小明的眼睛到地面的高度AB為1.5 m；然后用同樣的方法，小亮利用此三

12、角形紙板在旗桿的另一側(cè)測得當(dāng)他距離小明8.0 m時(shí)，眼睛看到的旗桿頂端 M也恰好在三角形紙板斜邊所在的直線上，且小亮的眼睛到地面的高度CD為1.45 m.已知三角形紙板的較長直角邊為0.4 m ,較短直角邊為0.3 m,點(diǎn)B、N、D在同一條直線上，求旗桿MN的高度.（結(jié)果精確到0.1 m）第7題圖9 8. （2019西安交大附中模擬）如圖，在相對的兩座樓中間有一堵院墻，甲、乙兩個(gè)人分別在樓上觀察這 堵墻，視線所及示意圖如圖 .根據(jù)實(shí)際情況畫出平面圖形 （如圖），CDXDF , ABXDF , EFXDF,甲從點(diǎn) C可以看到點(diǎn) G處，乙從點(diǎn)E可以看到點(diǎn)D處，點(diǎn)B是DF的中點(diǎn)，墻AB高5米，DF=

13、100米，BG=10 米，求甲、乙兩人的觀測點(diǎn)到地面的距離之差.10 類型一與銳角三角函數(shù)有關(guān)的幾何測M.解：如解圖，過點(diǎn) P作PQLAB于點(diǎn)Q,根據(jù)題意，在 ABP中，. / RAB = 90-30= 60,/ PBA=90 -60 = 30,.Z APB = 180-60-30 = 90 .在 RtAAPB 中，AP = AB - sin ABP = 60X sin30 = 30（米）.在 RtAAPQ 中，PQ=AP - sin PAQ = 30X sin60 = 15斕（米）, .小河的寬度為15/3米.,4 。修第1題解圖.解：設(shè)BP=x海里，由題意得BPXAC,./ BPC=Z B

14、PA= 90,./ BAC=90-60 =30O,./ ABP = 60,.Z CBP=45,又. / BPC=90,./ C=Z CBP=45,CP= BP = x 海里.在 RtAABP 中，AP= BP - taHABP=BP - tan60= （/x）海里,#x+x= 10,11解得x=5力5.BP=（5淄一5）海里.答：觀測站 B到AC的距離BP為（5寸35）海里.解：如解圖，過點(diǎn) D作DELAB于點(diǎn)E,則四邊形BCDE為矩形.第3題解圖Z a= 45 , / 片 60 , ./ CAB =30, / DAB =45,. AED為等腰直角三角形，四邊形BCDE為矩形，AE= DE =

15、 BC = 40 m,在 RtABC 中，AB =BCtan/ CABt 0401.732=69.3 m.CD=BE = AB-AE= 4073 40= 29.3 m.答：建筑物AB的高度約為69.3 m,建筑物CD的高度約為29.3 m.解：如解圖，過點(diǎn) C作CNLBM于點(diǎn)N,則四邊形CDMN和四邊形CDFE是矩形，且點(diǎn)E在線段CN上，MN=CD=1 米，CE=DF = 4 米，BN= BM-MN = 17-1 = 16 米.在 RtABCN 中，BN= 16 米，/ BCN = 37,CN =BNtan3721.33 米.在 RtAEN 中，EN = CNCE= 17.33 米，Z AEN

16、 = 45,12 .AN=EN= 17.33 米,AB= AN BN= 17.33- 16= 1.3（米）.答：宣傳牌AB的高度約為1.3米.第4題解圖.解：如解圖，過點(diǎn) D作DELBC于點(diǎn)E,作DFLAC于點(diǎn)F,四邊形DECF為矩形，DE= CF,根據(jù)題意可得，在 RtBDE中，1，、八DE=BD - sin30=168X2=84（術(shù)）， DE= FC,AF = AC-FC= ACDE = 154 84= 70（米），在 RtADF 中，AD = 煨AF=704米，答：電動(dòng)扶梯 DA的長為70小 米.第5題解圖6.解：如解圖，過點(diǎn)C作CELAB,交AB的延長線于點(diǎn) E,易得D、C、E三點(diǎn)共線

17、，由題意得/ EAC= 45, Z EBC = 60, AB=60 米，DE = AF= 370 米，設(shè)EC = x米，13 一在 RtABCE 中，tan/ EBC=, BE則BE=tadK=tanx療六華米，在 RtACE 中，. / EAC = 45,AE= EC = x 米， AB+ BE = AE,.60+ 魚=x, 3解得 x=90+30，3,. CD = DE EC = 370 90 30V3 = (280 3073)米.答： 這座山的高度 CD為(280 30陋)米.1 H ED第6題解圖7.解：如解圖，過點(diǎn) D作BC的垂線，交直線 BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB于點(diǎn)G

18、,則四 邊形DGBF為矩形，.DF=GB, DG = FB.,山坡的坡度i=1 后DF : FC= 1 :啊. DF : FC : CD= 1 .小：2.,. CD=10 米，.DF=5米，F(xiàn)C=55 米.,. CE=10 米，BE= DG - FC - CE= (DG - 53- 10)米. / ADG = 30,14-DG=tan30- -V3AG. / AEB = 60, .tan/AEB=tan60ABEb- AB= AG + GB = AG+ DF = (AG + 5)米，.”_ AG+ 5_AG + 5_ AG+5. 7 EB DG-573-10 G-5v3-10解得AG = 5/

19、+10.AB=AG + GB = 5/3+ 10+5 23.7(米).答：1婁房AB的高度約為23.7米.第7題解圖8.解：如解圖，分別過點(diǎn) C、D作CEAB、DFXAB,交AB的延長線于點(diǎn) E、F, AE / CD,四邊形DFEC為矩形，.CD=EF, Z EBC = Z DCB = 52, CEXAE, DF AF,在 RtABCE 中,BE = tan/ EBC9.77 cm,在 RtAADF 中，AF=-DF- 14.88 cm, tanA AE= AB+ BE= 8.5+ 9.77= 18.27 cm,CD=EF=AE-AF 18.27- 14.88= 3.4 cm. CD的長度約為

20、 3.4 cm.15 一口iy c第8題解圖類型二與相似三角形有關(guān)的幾何測M.解：設(shè)紫玄樓底部的邊長 EF為x米，則AE=CE = x米， AE / CD,./ BEA=Z EDC , RtABEARtA EDC,1x,AB AE 30 2x，CECD，即 1 72，2x. x= 24 15.答：紫云樓底部的邊長 EF為24標(biāo) 米.解：如解圖，連接 CD,由題可得 COFAABF, DOEABE,e,CO OF DO OE則-=,-=,AB BO+OF，AB BO+OE OD= 1 m, CO = CD + OD = 2.5 m,OE= 1 m, OF = 3 m,. 25= 31_ = 1A

21、B BO+3 AB BO + 1BO= 9 m, AB = 10 m.答：環(huán)保宣傳牌AB的高度是10 m.16 第2題解圖.解：如解圖，作點(diǎn) E關(guān)于OD的對稱點(diǎn)M,由光的反射定律可知，延長FA、GC相交于點(diǎn)M.第3題解圖連接GF并延長，交OE于點(diǎn)H. GF / AC, . MACA MFG , MAOA MFH , TOC o 1-5 h z ACMAMO/.= = 一FGMFMH .ACOE OEOE即 二77=，=二 二 - =二BDMHMO+OHOE+BFOE+ 1.6 2.1OE= 32.答：樓白高度OE為32 m.17 4.解：.BC/EF,ABC=Z AEF ,Z ACB=Z AF

22、E,ABCAAEF,AB BC 口口 AB 120AE EF， AB + 60 200解得AB = 90. APXBC, /ABP=60,45電在 RtAPB 中，AP = AB - sin60= 90X 當(dāng)二彩虹橋AP的長度為45小 米.5.解：如解圖，過點(diǎn)Q作QELDC于點(diǎn)E, 由題意可得 ABPACEQ,ABBpECEQ1.7ECEQ由作圖可得EQ/NO,則/ 1=/ 2= 30,DQ = 5 米,5 lz5,3“，de = 2米，eq = 2-米,.17_ EC1.2=5 反2LC 85 3,EC= 24 米，_ _ _ 85v3 5 8573 + 60 , CD= EC + DE = -+-= 米.2422485 .3 60 ,答：大樹的局度為 一米.18 HP ()第5題解圖6.解：如解圖，過點(diǎn) A作AGLMN于點(diǎn)G,則有AG=BN=9 m,根據(jù)題意，易得 CF=DE = 0.2 m,BF = PE= 1.2 m,MN NF, ABXNF, EPXAB,.AG/ PE,./ MAG = Z AEP