數(shù)字信號處理第5章時域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)課件

1、長沙理工大學(xué)電氣學(xué)院電子信息工程系數(shù)字信號處理(Digital Signal Processing)第5章 時域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.1 引言 5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.3 無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.4 有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.1 引 言 一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入輸出服從N階差分方程 其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 給定一個差分方程，不同的算法有很多種，這將直接影響系統(tǒng)運(yùn)算誤差、運(yùn)算速度及系統(tǒng)復(fù)雜程度和成本等，因此要研究信號處理的算法。例如： 5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 觀察(5.1.1)式，數(shù)字信號處理中有三種

2、基本算法，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運(yùn)算用流圖表示如圖5.2.1所示。 圖5.2.1 三種基本運(yùn)算的流圖表示 和每個節(jié)點連接的有輸入支路和輸出支路，節(jié)點變量等于所有輸入支路的輸出之和。在圖5.2.2中， (5.2.1) 圖5.2.2 信號流圖(a)基本信號流圖；(b)非基本信號流圖 不同的信號流圖代表不同的運(yùn)算方法，而對于同一個系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號流圖相對應(yīng)。從基本運(yùn)算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號流圖(Primitive Signal Flow Graghs)。 (1) 信號流圖中所有支路都是基本的，即支路增益是常數(shù)或者是z-1； (2) 流圖環(huán)路中必須存在延時支路； (3) 節(jié)

3、點和支路的數(shù)目是有限的。 例5.2.1 求圖5.2.2(a)信號流圖決定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 將5.2.1式進(jìn)行z變換，得到 經(jīng)過聯(lián)立求解得到： 一般網(wǎng)絡(luò)分為兩類：有限長單位脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（FIR）；另一類是無限長單位脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(IIR)。 FIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述： 其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長的，按照(5.2.2)式，h(n)表示為 其它n 另一類IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在輸出對輸入的反饋支路，也就是說，信號流圖中存在環(huán)路。這類網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無限長的。例如一個簡單的一階IIR網(wǎng)絡(luò)差分方程為 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其單位脈沖響應(yīng)h(

4、n)=anu(n)。這兩類不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)各有不同的特點，下面分類敘述。5.3 無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（IIR）1.直接型 對N階差分方程重寫如下： 有三種：直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。 圖5.3.1 IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu) 前后兩部分延時支路可以合并 例5.3.1 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。 解 由H(z)寫出差分方程如下：圖5.3.2 例5.3.1圖2. 級聯(lián)型 在(5.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子分母均為多項式，且多項式的系數(shù)一般為實數(shù)，現(xiàn)將分子分母多項式分別進(jìn)行因式分解，得到(5.3.1) 形成一個二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)；Hj(z)如下式：(5.

5、3.2) 式中，0j、1j、2j、1j和2j均為實數(shù)。這H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) (5.3.3) 式中Hi(z)表示一個一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5.3.3所示。 圖5.3.3 一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 例5.3.2 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： 試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 解 將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到 圖5.3.4 例5.3.2圖 3.并聯(lián)型 如果將級聯(lián)形式的H(z)，展開部分分式形式，得到II

6、R并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為(5.3.4) 式中，0i、1i、1i和2i都是實數(shù)。如果a2i=0則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。由(5.3.4)式，其輸出Y(z)表示為 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z) 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個實數(shù)極點，每個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對共軛極點，因此調(diào)整極點位置方便，但調(diào)整零點位置不如級聯(lián)型。另外，各個基本網(wǎng)絡(luò)是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運(yùn)算誤差互不影響，不像直接型和級聯(lián)型那樣有誤差積累，因此并聯(lián)形式運(yùn)算誤差最小。 例5.3.3 畫出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解 將例

7、5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5.3.5所示。 圖5.3.5 例5.3.3圖 5.4 有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接畫出結(jié)構(gòu)圖如圖5.4.1所示。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)。 圖5.4.1 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 2. 級聯(lián)型 將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形式，這樣級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的

8、級聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個因式都用直接型實現(xiàn)。 例5.4.1 設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解 將H(z)進(jìn)行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖5.4.2所示。 圖5.4.2 例5.4.1圖5.5 FIR系統(tǒng)的線性相位結(jié)構(gòu)FIR線性相位系統(tǒng)具有以下特點:(1) FIR線性相位系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)滿足下式: h(n)=h(Nn1)式中, h(n)是實序列; N表示序列的長度。 該式說明h(n)對序列的(N1)/2位置偶對

9、稱（公式中取“”號）或奇對稱（公式中取“”號）。 (2) FIR線性相位系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)滿足下面公式:N為偶數(shù)N為奇數(shù)(3) FIR線性相位系統(tǒng)零點分布具有四個一組的特點，即如果z1是零點， 那么z1*、 z11、 (z11)*也是零點。 以上三點的分析和公式推導(dǎo)請參考教材第5章內(nèi)容。 只要滿足上面任意一個特點， 就可以判斷該系統(tǒng)具有線性相位的特點。 按照該系統(tǒng)函數(shù)的特點， 就可以構(gòu)成它的線性相位結(jié)構(gòu)， 因此并不是所有FIR系統(tǒng)都能形成線性相位結(jié)構(gòu)。 線性相位結(jié)構(gòu)的優(yōu)點是比直接型結(jié)構(gòu)能節(jié)約近一半的乘法器。 線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖P135頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時域信號會以采樣點數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓

10、，如果在頻率域采樣點數(shù)N大于等于原序列的長度M，則不會引起信號失真，此時原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關(guān)系式 (P88) 設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示： (5.4.1) 5.6 FIR系統(tǒng)的頻率采樣結(jié)構(gòu)要求頻率域采樣點數(shù)NM。(5.4.1)式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。請分析IIR濾波網(wǎng)絡(luò)，為什么不采用頻率采樣結(jié)構(gòu)。將(5.4.1)式寫成下式： (5.4.2) 式中 Hc(z)是一個梳狀濾波網(wǎng)絡(luò)(參考第八章)，其零點為因此是由梳狀濾波器和N個一階網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行級聯(lián)而成的，網(wǎng)絡(luò)

11、結(jié)構(gòu)如下圖所示。圖5.4.3 FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu) 頻率域采樣結(jié)構(gòu)的突出優(yōu)點： (1)在頻率采樣點k，H(ejk)=H(k)，只要調(diào)整H(k)(即一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k)，就可以有效地調(diào)整頻響特性，使實際調(diào)整方便，可實現(xiàn)任意形狀的頻響曲線。 (2)只要h(n)長度N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N個一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。 然而，上述頻率采樣結(jié)構(gòu)亦有兩個缺點： (1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的。 (2)結(jié)構(gòu)中，H(k)和W-kN一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，這對硬件實現(xiàn)是不方便的。 為了克服上述缺點，對頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。 首先將單位圓上的零極點向單位圓內(nèi)收縮一點，收縮到半徑為r的圓上，取r1且r1。此時H(z)為(5.4.3) 另外，由DFT的共軛對稱性知道，如果h(n)是實數(shù)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點共軛對稱，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我們將Hk(z)和 H N-k(z)合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則 顯然，二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實數(shù)，其結(jié)構(gòu)