課時規(guī)范練37　空間向量及其運(yùn)算

1、 課時規(guī)范練37空間向量及其運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固組1.已知向量a=(1,-2,3),b=(2,-1,-4),則ab=()A.-8B.-7C.-6D.-52.已知a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),若ab,則實數(shù)t的值為()A.-5B.-6C.-4D.-33. (2020遼寧大連模擬)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E為PD的中點(diǎn),若PA=a,PB=b,PC=c,則用基a,b,c表示向量BE為()A.12a-12b+12cB.12a-32b+12cC.12a-12b-12cD.12a-12b+32c4.在下列條件中,使M與A,B,C一定共面的是()A.OM=OA-OB-OC

2、B.OM=15OA+13OB+12OCC.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=05.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),則|a-2b|=()A.72B.52C.310D.636.已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),則下列結(jié)論中正確的是()A.若|a|=2,則m=2B.若ab,則m=-1C.不存在實數(shù),使得a=bD.若ab=-1,則a+b=(-1,-2,-2)7.若向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),則向量a,b的夾角為.8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若點(diǎn)P(x,1,1)在平面ABC內(nèi),則x=.綜合提升組9.已知

3、空間中三點(diǎn)A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),則下列說法正確的是()A.AB與AC是共線向量B.與AB同向的單位向量是255,55,0C.AB和BC夾角的余弦值是5511D.平面ABC的一個法向量是(1,2,5)10. 如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1,且它們彼此的夾角都是60,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB=a,AD=b,AA1=c,則下列正確的是()A.BM=12a-12b+cB.AC1=a+b+cC.AC1的長為5D.cos=-6311.(2021山東臨沂模擬)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b

4、與2a-b的夾角為鈍角,則實數(shù)k的取值范圍為.12.已知空間向量PA,PB,PC的模長分別為1,2,3,且兩兩夾角均為60.點(diǎn)G為ABC的重心,若PG=xPA+yPB+zPC,x,y,zR,則x+y+z=;|PG|=.13. 如圖,在棱長為a的正方體OABC-O1A1B1C1中,E,F分別是棱AB,BC上的動點(diǎn),且AE=BF=m,其中0ma,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. (1)求證:A1FC1E;(2)若A1,E,F,C1四點(diǎn)共面,求證:A1F=12A1C1+A1E.創(chuàng)新應(yīng)用組14.已知向量a,b,c是空間向量的一組基,向量a+b,a-b,c是空間向量的另外一組基,若一向量p在基a,

5、b,c下的坐標(biāo)為(1,2,3),則向量p在基a+b,a-b,c下的坐標(biāo)為()A.12,32,3B.32,-12,3C.3,-12,32D.-12,32,315.已知正四面體A-BCD的外接球半徑為3,MN為其外接球的一條直徑,P為正四面體A-BCD表面上任意一點(diǎn),則PMPN的最小值為.課時規(guī)范練37空間向量及其運(yùn)算1.A解析:由已知可得ab=12-2(-1)+3(-4)=-8.故選A.2.B解析:因為a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),且ab,所以存在實數(shù),使得a=b,即(t,12,-3)=(2,t+2,1),所以t=2,12=(t+2),-3=,解得=-3,t=-6.故選B.3.

6、 B解析:連接BD,如圖,因為E是PD的中點(diǎn),所以BE=12(BP+BD)=12(-b+BA+BC)=-12b+12(PA-PB+PC-PB)=-12b+12(a+c-2b)=12a-32b+12c.故選B.4.C解析:M與A,B,C一定共面的充要條件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1,對于A選項,由于1-1-1=-11,所以不能得出M,A,B,C共面;對于B選項,由于15+13+121,所以不能得出M,A,B,C共面;對于C選項,由于MA=-MB-MC,則MA,MB,MC為共面向量,所以M,A,B,C共面;對于D選項,由OM+OA+OB+OC=0,得OM=-OA-OB-OC,而-

7、1-1-1=-31,所以不能得出M,A,B,C共面.故選C.5.C解析:a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),a-2b=(8,-5,1),|a-2b|=82+(-5)2+12=310.故選C.6.C解析:對于A,由|a|=2,可得12+(-1)2+m2=2,解得m=2,故A錯誤;對于B,由ab,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B錯誤;對于C,若存在實數(shù),使得a=b,則1=-2,-1=(m-1),m=2,顯然無解,即不存在實數(shù),使得a=b,故C正確;對于D,若ab=-1,則-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D錯誤.故選C.7.23解析:根據(jù)題

8、意,設(shè)向量a,b的夾角為,向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),則向量|a|=2,|b|=2,ab=-1.則cos =-122=-12.又由0,則=23.8.-1解析:設(shè)平面ABC的一個法向量是n=(x,y,z),又AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),所以nAB=-x+y=0,nAC=-x+z=0,取x=1,得n=(1,1,1),P(x,1,1)在平面ABC上,AP=(x-1,1,1).則nAP=x-1+1+1=0,x=-1.9.B解析:對于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),可知ABAC,則AB與AC不共線,故A錯誤;對于B,AB=(2,1,0),|AB|=

9、5,AB|AB|=255,55,0,即與AB同向的單位向量是255,55,0,故B正確;對于C,BC=(-3,1,1),cos=ABBC|AB|BC|=-5511=-5511,即AB和BC夾角的余弦值為-5511,故C錯誤;對于D,設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y,z),則nAB=2x+y=0,nBC=-3x+y+z=0,令x=1,則y=-2,z=5,即n=(1,-2,5),故平面ABC的一個法向量為(1,-2,5),故D錯誤.故選B.10.B解析:由空間向量的加法法則得AC1=a+b+c,故B正確;BM=BB1+B1M=BB1+12B1D1=AA1+12(B1A1+B1C1)=c+12(-a

10、+b)=-12a+12b+c,故A錯誤;由已知ab=bc=ac=11cos 60=12,|AC1|=|a+b+c|=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+1+1+1+1+1=6,故C錯誤;cos=ABAC1|AB|AC1|=a2+ab+ac16=1+12+126=63,故D錯誤.故選B.11.(-,-2)-2,75解析:由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),得ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-40,解得k75.若ka+b與2a-b反向,則ka+b=(2a-b),0,則k=2,1=-,所以k

11、=-2.所以ka+b與2a-b的夾角為鈍角,則k75且k-2.綜上,k的取值范圍是(-,-2)-2,75.12.153解析:取AC的中點(diǎn)D,PG=PB+BG=PB+23BD=PB+23(PD-PB)=PB+2312(PA+PC)-PB=13PA+13PB+13PC.又PG=xPA+yPB+zPC,空間向量PA,PB,PC的模長分別為1,2,3,且兩兩夾角均為60,則x=13,y=13,z=13,故x+y+z=1.|PG|=13PA+13PB+13PC=13(PA+PB+PC)2=13PA2+PB2+PC2+2PAPB+2PCPB+2PAPC=1312+22+32+21212+23212+213

12、12=53.13.證明(1)因為A1(a,0,a),C1(0,a,a),E(a,m,0),F(a-m,a,0),所以A1F=(-m,a,-a),C1E=(a,m-a,-a),所以A1FC1E=-am+a(m-a)+a2=0,所以A1FC1E,即A1FC1E.(2)因為A1,E,F,C1四點(diǎn)共面,所以A1E,A1C1,A1F共面.選A1E與A1C1為平面A1C1E上的一組基向量,則存在唯一實數(shù)對(1,2),使A1F=1A1C1+2A1E,即(-m,a,-a)=1(-a,a,0)+2(0,m,-a)=(-a1,a1+m2,-a2),所以-m=-a1,a=a1+m2,-a=-a2,解得1=12,2=1.故A1F=12A1C1+A1E.14.B解析:設(shè)向量p在基a+b,a-b,c下的坐標(biāo)為(x,y,z),則p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,