強(qiáng)度理論-彈塑性斷裂力學(xué)

1、強(qiáng)度(qingd)理論與方法（8）彈塑性斷裂力學(xué)(dun li l xu)1共五十一頁(yè) 1. 裂紋(li wn)尖端的小范圍屈服 2. 裂紋尖端張開(kāi)(zhn ki)位移 3. COD測(cè)試與彈塑性斷裂控制設(shè)計(jì)2共五十一頁(yè)用線(xiàn)彈性材料物理模型，按照彈性力學(xué)方法，研究含裂紋彈性體內(nèi)的應(yīng)力分布，給出描述裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)弱的應(yīng)力強(qiáng)度因子K，并由此建立(jinl)裂紋擴(kuò)展的臨界條件, 處理工程問(wèn)題。 線(xiàn)彈性(tnxng)斷裂力學(xué) (LEFM ) 線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)給出的裂紋尖端附近的應(yīng)力趨于 無(wú)窮大。然而，事實(shí)上任何實(shí)際工程材料，都不可能承受無(wú)窮大的應(yīng)力作用。因此，裂尖附近的材料必然要進(jìn)入塑性，發(fā)生屈服。3共

2、五十一頁(yè) 線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)預(yù)測(cè)裂紋尖端應(yīng)力無(wú)窮大。然而(rn r) 在實(shí)際材料中，由于裂尖半徑必定為有限值，故 裂尖應(yīng)力也是有限的。非彈性的材料變形，如金 屬的塑性，將使裂尖應(yīng)力進(jìn)一步松弛。rpax yysABDoHK4共五十一頁(yè) 1. 裂紋尖端(jindun)的小范圍屈服 a. 裂尖屈服(qf)區(qū)當(dāng)r0時(shí)，s ，必然要發(fā)生屈服。因此，有必要了解裂尖的屈服及其對(duì)K的影響。無(wú)限大板中裂紋尖端附近任一點(diǎn)(r,)處的正應(yīng)力x、y和剪應(yīng)力xy的線(xiàn)彈性解為：ssxy2adxdyrqsysxtxyssqyar=+221cosqq232sinsintsqqqxyar=22232sincoscosssqxar=

3、-221cosqq232sinsin(1)5共五十一頁(yè) 這里僅簡(jiǎn)單討論沿裂紋(li wn)線(xiàn)上屈服區(qū)域的大小。線(xiàn)彈性(tnxng)斷裂力學(xué)裂尖附近任一點(diǎn)處的x、y xy，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算主應(yīng)力屈服準(zhǔn)則裂紋尖端屈服區(qū)域的形狀與尺寸ssqyar=+221cosqq232sinsintsqqqxyar=22232sincoscosssqxar=-221cosqq232sinsin(5-1) 在裂紋線(xiàn)上(=0)，注意到 ，有；aKps=rKrayxpsss221=0=xyt；ssxy2adxdyrqsysxtxy6共五十一頁(yè) 對(duì)于(duy)平面問(wèn)題，還有： yz=zx=0； z=0 平面應(yīng)力 z=(

4、x+y) 平面應(yīng)變r(jià)Krayxpsss221=0=xyt； 則裂紋線(xiàn)上任一點(diǎn)的主應(yīng)力為：=rKpns2/2013平面應(yīng)力平面應(yīng)變ssrKp2121=； 塑性力學(xué)中，von Mises屈服條件為：213232221)()()(sssss22yss=-+-+-s7共五十一頁(yè) 將各主應(yīng)力代入Mises屈服條件，得到： (平面應(yīng)力) (平面應(yīng)變)ysprKsp=2/1ysprsp=2Kn-/)21(1式中，ys為材料的屈服應(yīng)力，為泊松比。對(duì)于金屬材料，0.3，這表明(biomng)平面應(yīng)變情況下裂尖塑性區(qū)比平面應(yīng)力時(shí)小得多。 故塑性屈服區(qū)尺寸rp為： (平面應(yīng)力) 21)(21yspKrsp=221)

5、21()(21nsp-=yspKr(平面應(yīng)變)(2)8共五十一頁(yè)虛線(xiàn)為彈性解，r0，y。由于yys，裂尖處材料屈服(qf)，塑性區(qū)尺寸為rp。當(dāng)=0時(shí)(在x軸上)，裂紋附近區(qū)域的應(yīng)力(yngl)分布及裂紋線(xiàn)上的塑性區(qū)尺寸如圖。rpax yysABDoHK與原線(xiàn)彈性解(虛線(xiàn)HK) 相比較，少了HB部分大于ys的應(yīng)力。 假定材料為彈性-理想塑性，屈服區(qū)內(nèi)應(yīng)力恒為ys，應(yīng)力分布應(yīng)由實(shí)線(xiàn)AB與虛線(xiàn)BK表示。9共五十一頁(yè)rpax yysABDoHK 上述簡(jiǎn)單(jindn)分析是以裂紋尖端彈性解為基礎(chǔ)的，故 并非嚴(yán)格正確的。屈服發(fā)生后，應(yīng)力必需重分布， 以滿(mǎn)足平衡條件。 ABH區(qū)域表示彈性(tnxng)材

6、料中存在 的力，但因?yàn)閼?yīng)力不能超過(guò)屈 服，在彈塑性材料中卻不能承 受。為了承受這些力，塑性區(qū) 尺寸必需增大。10共五十一頁(yè) 為滿(mǎn)足靜力平衡條件，由于A(yíng)B部分材料屈服而少承擔(dān)的應(yīng)力需轉(zhuǎn)移到附近的彈性材料部分，其結(jié)果(ji gu)將使更多材料進(jìn)入屈服。因此，塑性區(qū)尺寸需要修正。 設(shè)修正后的屈服區(qū)尺寸為R；假定線(xiàn)彈性解答在屈服區(qū)外仍然適用，BK平移(pn y)至CD，為滿(mǎn)足靜力平衡條件，修正后ABCD曲線(xiàn)下的面積應(yīng)與線(xiàn)彈性解HBK曲線(xiàn)下的面積相等。由于曲線(xiàn)CD與BK下的面積是相等的，故只須AC下的面積等于曲線(xiàn)HB下的面積即可。rpax yysABoHK RCD11共五十一頁(yè) 于是(ysh)得到： 積

7、分后得到，平面應(yīng)力情況下裂尖的塑性區(qū)尺寸 R為： ysKRpr2)(121=sp 注意到式中：y= , 平面應(yīng)力時(shí)：Krp2/121)(21yspKrsp=pryysdxxR0)(ssrp Rax yysABCDoHK12共五十一頁(yè) 依據(jù)上述分析(fnx)，并考慮到平面應(yīng)變時(shí)三軸應(yīng)力作用的影響，Irwin給出的塑性區(qū)尺寸R為：上式指出：裂紋尖端(jindun)的塑性區(qū)尺寸R 與(K1/ys)成正比；平面應(yīng)變時(shí)的裂尖塑性區(qū)尺寸約為平面應(yīng)力情況的1/3。21)(12 yspKrRsap=221a(平面應(yīng)力)(平面應(yīng)變)(4)13共五十一頁(yè) 斷裂力學(xué)中的大部分經(jīng)典解都將問(wèn)題減化為 二維的。即主應(yīng)力或

8、主應(yīng)變中至少(zhsho)有一個(gè)被假設(shè) 為零，分別為平面應(yīng)力或平面應(yīng)變 。 一般地說(shuō)，裂紋前的條件既不是平面 應(yīng)力，也不是平面應(yīng)變，而是三維的。然 而，在極限情況下，二維假設(shè)(jish)是正確的， 或者至少提供了一個(gè)很好的近似。14共五十一頁(yè) b. 考慮(kol)裂尖屈服后的應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線(xiàn)CD與線(xiàn)彈性解BK相同。假想裂紋尺寸由a增大(zn d)到a+ rp, 則裂紋尖端的線(xiàn)彈性解恰好就是曲線(xiàn)CD。rprpaxyysABCDoHKrro對(duì)于理想塑性材料，考慮裂紋尖端的屈服后，裂尖附近的應(yīng)力分布應(yīng)為圖中ACD曲線(xiàn)。 a+rp稱(chēng)為有效裂紋長(zhǎng)度，用a+ rp代替a，由原來(lái)的 線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)結(jié)果可直接

9、給出考慮Irwin塑性修 正的解答。即有：)(1praK+=ps(5)15共五十一頁(yè)rprpaxyysABCDoHKrro 考慮Irwin塑性修正后，裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子K為：)(1praK+=ps(5) 裂紋線(xiàn)上(=0)的應(yīng)力y為：ysyss=21yrK=ps r2rp； r2rp；)(21prrK-=p16共五十一頁(yè)例1 無(wú)限寬中心裂紋板，受遠(yuǎn)場(chǎng)拉應(yīng)力作用， 試討論塑性(sxng)修正對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。 解：由線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)給出無(wú)限寬中心裂紋板的 應(yīng)力強(qiáng)度因子為：Kaps=1考慮塑性修正時(shí)，由(5)式有：)(1praK+=ps 將(4)式給出的rp代入上式，得到：2/12)(21ysaas

10、psapps+=1K2/12)(211ysassaps+= 或?qū)憺椋?/12)(211ysssal+=1Kl=1K；17共五十一頁(yè)對(duì)于平面應(yīng)力情況，=1；若(/ys)=0.2，=1%；若(/ys)=0.5，=6%；當(dāng)(/ys)=0.8時(shí)，達(dá)15%。 對(duì)于平面應(yīng)變情況，3，二者相差(xin ch)要小一些。 考慮塑性修正后有：2/12)(211ysssal+=1Kl=1K； 1，故考慮塑性修正后應(yīng)力強(qiáng)度因子增大。 二者的相對(duì)誤差為： =1-l111-KKK 可見(jiàn)， (/ys)越大，裂尖塑性區(qū)尺寸越大， 線(xiàn)彈性分析給出的應(yīng)力強(qiáng)度(qingd)因子誤差越大。18共五十一頁(yè) c. 小范圍屈服(qf)時(shí)

11、表面裂紋的K修正 前表面修正系數(shù)通常(tngchng)取為Mf=1.1； E(k)是第二類(lèi)完全橢圓積分。 考慮裂尖屈服，按Irwin塑性修正， 用a+ rp代替原裂紋尺寸a，故有：)()(1.11kEraKp+=ps 無(wú)限大體中半橢圓表面裂紋最深處處于平面應(yīng)變狀 態(tài)，故由(7-4)式知：21)(241yspKrsp= 無(wú)限大體中半橢圓表面裂紋最深處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為：)(1kEaMKfps=19共五十一頁(yè) 可見(jiàn)，小范圍(fnwi)屈服時(shí)，表面裂紋的 K計(jì)算只須用 形狀參數(shù)Q代替第二類(lèi)完全橢圓積分E(k)即可。QaKps1.11=2/122)(212.0)(yskEQss-= (8)代入整理后即得

12、：形狀參數(shù) 利用E(k)的近似表達(dá)，Q可寫(xiě)為：2/1264.1)/(212.0)/(47.11yscaQss-+= 越大， Q越小，K越大，裂尖屈服區(qū)越大。/ysss利用E(k)式的近似(jn s)表達(dá)，可將形狀參數(shù)Q寫(xiě)為：20共五十一頁(yè) 例2 某大尺寸厚板含一表面裂紋，受遠(yuǎn)場(chǎng)拉應(yīng)力(yngl) 作用。材料的屈服應(yīng)力為ys=600MPa, 斷裂韌 性K1c=50MPam1/2，試估計(jì)： 1) =500MPa時(shí)的臨界裂紋深ac。 (設(shè)a/c=0.5) 2) a/c=0.1，a=5mm時(shí)的臨界斷裂應(yīng)力c； 解： 1)無(wú)限大體中半橢圓表面裂紋最深處的K最大， 考慮小范圍屈服，在發(fā)生(fshng)斷裂

13、的臨界狀態(tài)有：ccKQaK111.1=psps221221.1ccKQa=32.1)600/500(212.0)5.0(47.11264.12=-+=Q；21共五十一頁(yè) 故得到(d do)： mmmKQacc47.300347.014.350021.15032.121.1222212=ps 2) 斷裂臨界狀態(tài)有：ccKQaK111.1=ps Q是c 的函數(shù)：)600/(212.0)1.0(47.11264.12-+=Qsc=)600/(212.02-sc1.034 將斷裂判據(jù)式二邊平方， 再將Q2代入，得：ccKa121.1=ps22s)/(212.02-sc1.034ys22共五十一頁(yè)126

14、22.8)/(212.021.1034.121212=+=spsyscccKaK=s112.4 MPac 即有：)(1kEaMKfps=討論：若不考慮屈服，有：c1360021.1034.1212=pscaK=s116.6 MPac則：c=21.1034.1250p0.005 不考慮(kol)屈服，將給出偏危險(xiǎn)的預(yù)測(cè)。23共五十一頁(yè) 一般地說(shuō)，只要裂尖塑性區(qū)尺寸rp與裂紋尺寸a相比 是很小的(a/rp=20-50)，即可認(rèn)為滿(mǎn)足小范圍屈服條 件，線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)就可以(ky)得到有效的應(yīng)用。 對(duì)于一些高強(qiáng)度材料(cilio)； 對(duì)于處于平面應(yīng)變狀態(tài)(厚度大)的構(gòu)件； 對(duì)于斷裂時(shí)的應(yīng)力遠(yuǎn)小于屈服應(yīng)

15、力的情況； 小范圍屈服條件通常是滿(mǎn)足的。24共五十一頁(yè) 塑性修正可將LEFM延用至超過(guò)其原正確性限制。 但必需記住Irwin修正只是彈塑性行為的粗略近似。 當(dāng)非線(xiàn)性材料行為為主時(shí)，應(yīng)拋棄應(yīng)力(yngl)強(qiáng)度因子 而采用如CTOD的裂尖參數(shù)考慮材料的行為。 Wells注意到某些鋼斷裂前裂紋面已分開(kāi)，塑性變形使原尖銳的裂紋鈍化。鈍化的程度隨材料的韌性而增 加。這一觀(guān)察使Wells提出用裂尖的張開(kāi)作為(zuwi)斷裂韌性的度 量。此參數(shù)即現(xiàn)在的裂紋尖端張開(kāi)位移。25共五十一頁(yè) 2. 裂紋尖端張開(kāi)(zhn ki)位移 (CTOD -Crack Tip Opening Displacement)2aWs

16、s屈服區(qū) 則塑性區(qū)將擴(kuò)展(kuzhn)至整個(gè)截面，造成全面屈服， 小范圍屈服將不再適用。 如果作用應(yīng)力大到使裂紋所在截面上的凈截面應(yīng)力 凈=W/(W-2a) ys中低強(qiáng)度材料ys低K1c高斷裂 c 大裂尖 rp 大26共五十一頁(yè)2aCODxyo 顯然，COD是坐標(biāo)(zubio)x的函 數(shù)，且裂紋尺寸a越大， COD越大。 裂尖張開(kāi)位移(CTOD)是 在x=a處的裂紋張開(kāi)位移。裂尖端屈服(qf)范圍大CTODLEFMIrwen修正不再適用斷裂與裂紋張開(kāi)尺寸相關(guān)裂紋張開(kāi)位移(COD) c 大， rp 大，裂紋越來(lái) 越張開(kāi)。可用于建立適于大范圍屈服的彈塑性斷裂判據(jù)。27共五十一頁(yè) Dugdale設(shè)想

17、有一虛擬(xn)裂 紋長(zhǎng)aeff=a+rp, 在虛擬裂紋 上、下裂紋面上加上=ys 的應(yīng)力作用而使裂紋閉合， 然后進(jìn)行準(zhǔn)彈性分析。 平面應(yīng)力條件下，在全面屈服之前凈/ys1 ， Dugdale給出裂尖張開(kāi)位移與間的關(guān)系為： (10)2lnsec(8ysysEaspspsd=2aCODxyo2aeff=2a+2rpCTODys28共五十一頁(yè) 如果/ys1，則可將上式中 sec 項(xiàng)展開(kāi)后略去高次項(xiàng)，得到：122281lnysssp)2lnsec(yssps-=- Dugdale解： (10)2lnsec(8ysysEaspspsd=2222228)8(1lnysyssspssp=+=)2lnsec

18、(yssps得到： 注意到當(dāng)xt，可忽略筒體曲率(ql)的影響。 視為無(wú)限大中心裂紋板，且為平面應(yīng)力.)2lnsec(8ysysEaspspsd=)12008002lnsec(1020014.3120083=pa=0.0106a由(10)式有：ss 在臨界狀態(tài)下有： =0.0106acc 得到： ac0.05/0.0106=4.71mm 故可以容許(rngx)的缺陷總長(zhǎng)度為 2a=9.42mm。46共五十一頁(yè) 討論：假設(shè)按小范圍屈服計(jì)算，由(11)式有： 或?qū)憺?EKyssd21=Eaysspsd2= 可容許的缺陷總長(zhǎng)度為 2a=11.94mm。 故當(dāng)/ys較大(jio d)時(shí)，小范圍屈服假設(shè)

19、將引入較大(jio d)的 誤差，且結(jié)果偏危險(xiǎn)。 對(duì)于本題則斷裂判據(jù)寫(xiě)為：cyscEadspsd=2 即:14.380080010200120005.032=pssdEayscc=5.97mm47共五十一頁(yè) 1) 線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)給出裂尖應(yīng)力趨于無(wú)窮大， 故裂尖附近(fjn)的材料必然要發(fā)生屈服。 小 結(jié)： 2) Irwin給出的塑性區(qū)尺寸R為：21)(12 yspKrRsap=221a(平面應(yīng)力)(平面應(yīng)變)(4)平面應(yīng)變情況下塑性區(qū)尺寸約為平面應(yīng)力的1/3。 3) 小范圍屈服時(shí)，Irwin給出修正后的K為：1K)(pra+=ps用 代替a)(pra+48共五十一頁(yè) 無(wú)限大體中半橢圓表面裂紋最深處，有： QaKps1.11=用形狀參數(shù)Q代替橢圓積分E(k) 4)