自考高數(shù)經(jīng)管類第八章假設(shè)檢驗(yàn)課堂筆記

1、第八章 假設(shè)檢驗(yàn)本章主要介紹統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想和概念以及參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)方法。8.1假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想和概念一統(tǒng)計(jì)假設(shè)的概念為了引入統(tǒng)計(jì)假設(shè)的概念，先請(qǐng)看例8-1。例8-1味精廠用一臺(tái)包裝機(jī)自動(dòng)包裝味精，袋裝味精的重量，機(jī)器正常時(shí)，其均值=0.50.5，0.015的單位都是公斤。某日開工后隨機(jī)抽取9袋袋裝味精，其凈重公斤為：0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512問這臺(tái)包裝機(jī)是否正常？【答疑編號(hào)：10080101針對(duì)該題提問】此例隨機(jī)抽樣取得的9袋味精的重量都不正好是0.5公斤，這種實(shí)際重量和標(biāo)準(zhǔn)重量不完全一致的現(xiàn)象，在實(shí)際中

2、是經(jīng)常出現(xiàn)的。造成這種差異不外乎有兩種原因：一是偶然因素的影響，二是條件因素的影響。由于偶然因素而發(fā)生的例如電網(wǎng)電壓的波動(dòng)、金屬部件的不時(shí)伸縮、衡量儀器的誤差而引起的差異稱為隨機(jī)誤差；由于條件因素生產(chǎn)設(shè)備的缺陷、機(jī)械部件的過度損耗而產(chǎn)生的差異稱為條件誤差。 假設(shè)只存在隨機(jī)誤差，我們就沒有理由疑心標(biāo)準(zhǔn)重量不是0.5公斤；如果我們有十足的理由斷定標(biāo)準(zhǔn)重量已不是0.5公斤，那么造成這種現(xiàn)象的主要原因是條件誤差，即包裝機(jī)工作不正常，那么，怎樣判斷包裝機(jī)工作是否正常呢？我們通過解例8-1 來找出解假設(shè)檢驗(yàn)問題的思想方法。解 袋裝味精重，假設(shè)現(xiàn)在包裝機(jī)工作正常，即提出如下假設(shè)：，這是兩個(gè)對(duì)立的假設(shè)，我們的

3、任務(wù)就是要依據(jù)樣本對(duì)這樣的假設(shè)之一作出是否拒絕的判斷。由于樣本均值是的一個(gè)很好的估計(jì)，故當(dāng)為真時(shí)，應(yīng)很小。當(dāng)過分大時(shí)，我們就應(yīng)當(dāng)疑心不正確而拒絕。怎樣給出的具體界限值呢？ 當(dāng)為真時(shí)，由于，對(duì)于給定的很小的數(shù)01，例如取=0.05，考慮，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù)，而事件 是一個(gè)小概率事件，小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。我們查附表1得,又n=9,=0.015，由樣本算得，又由得：小概率事件居然發(fā)生了，這與實(shí)際推斷原理相矛盾，于是拒絕，而認(rèn)為這臺(tái)包裝機(jī)工作不正常。從上面的例8-1中，我們看出為了 對(duì)總體的某一參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，通常提出兩個(gè)對(duì)立假設(shè)。然后引入一個(gè)與被檢參數(shù)有關(guān)的服從某種分布的統(tǒng)

4、計(jì)量，根據(jù)事先給出的一概率標(biāo)準(zhǔn)叫顯著水平用反證法進(jìn)行判斷，由于小概率事件一般是不會(huì)發(fā)生的，如果引進(jìn)的樣本是一個(gè)小概率事件，因?yàn)樗_實(shí)出現(xiàn)了，那么可認(rèn)為假設(shè)不能接受，否那么便接受。二假設(shè)檢驗(yàn)的程序根據(jù)以上的討論與分析，可將假設(shè)檢驗(yàn)的根本步驟概括如下：1根據(jù)實(shí)際問題提出原假設(shè)及備擇假設(shè)。這里要求與有且僅有一個(gè)為真。2選取適宜的統(tǒng)計(jì)量，即要求所選的統(tǒng)計(jì)量與假設(shè)無關(guān)且服從某種分布，常見的有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布tn-1分布，n-1分布及Fm,n公布。3規(guī)定小概率標(biāo)準(zhǔn)的大小，也叫顯著水平，通常可取=0.01，=0.05或=0.1。4在顯著水平下，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布將樣本空間劃分為兩局部，其一是接受的叫接受域，另一個(gè)

5、是拒絕的叫拒絕域，記為W。5根據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的大小。6作出判斷：假設(shè)統(tǒng)計(jì)量的觀測值落在拒絕域W內(nèi)。那么知小概率事件發(fā)生了，拒絕，接受。假設(shè)統(tǒng)計(jì)量的觀測值落在接受域那么認(rèn)為小概率事件沒有發(fā)生，可以接受拒絕。 8.2 總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)本節(jié)討論的總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)，多數(shù)是在正態(tài)總體下進(jìn)行的。8.2.1 u檢驗(yàn)1.方差時(shí)，單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)設(shè)x1,xn是從正態(tài)總體中抽取的一個(gè)樣本,是常數(shù),欲檢驗(yàn)假設(shè)：，其中為數(shù)，它的程序：1提出假設(shè)2引入統(tǒng)計(jì)量3規(guī)定顯著水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求的上側(cè)分位數(shù)為臨界值，寫出相應(yīng)的拒絕域其中常用的有=0.1時(shí)，=0.05時(shí)，=0.01時(shí)，4根據(jù)樣本值x1，x2，xn

6、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量u。5判斷：假設(shè)u落入拒絕域W內(nèi)時(shí)，那么拒絕接受， 假設(shè)u落入接受域內(nèi)時(shí)，那么接受，拒絕。例8-2 某產(chǎn)品的重量XN12，1單位：克，更新設(shè)備后，從新生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽樣100件，測試樣本均值克，如果產(chǎn)品的方差沒有改變，請(qǐng)問更新設(shè)備后，產(chǎn)品的平均重量是否有明顯變化？=0.01【答疑編號(hào)：10080102針對(duì)該題提問】解 1設(shè)2引入3根據(jù)=0.01，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，得的上側(cè)分位數(shù)拒絕域?yàn)?，-2.58,2.58，+4計(jì)算5u落入拒絕域W中，故拒絕，即有明顯差異。 2.方差時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體值差的檢驗(yàn)設(shè)，其中為常數(shù)。x1，xm和y1，yn分別是取自X和Y的樣本且相互獨(dú)立。欲檢驗(yàn)假設(shè)：檢驗(yàn)

7、假設(shè)，等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)。而是的一個(gè)好估計(jì)量，且當(dāng)為真時(shí)，有于是對(duì)給定的水平，查附表1，可得臨界值，使， 從而得拒絕域，假設(shè)uW，那么拒絕；否那么接受。由上述討論可知，由服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量作檢驗(yàn)的方法稱為u檢驗(yàn)法。例8-3 設(shè)從中各抽樣25件測得=90，=89。設(shè)X，Y獨(dú)立，請(qǐng)問是否可以認(rèn)與根本相同？=0.05【答疑編號(hào)：10080103針對(duì)該題提問】解12引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量3根據(jù)=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表將拒絕域W為-，-1.96，1.96,+ 4計(jì)算5u在接受域內(nèi)，接受，即與差異不大。8.2.2t檢驗(yàn)1.方差未知時(shí)，單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)設(shè)x1，xm是從正態(tài)總體中抽取的一個(gè)樣本，其中未知

8、，欲檢驗(yàn)1，其中為數(shù)。2構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量3給定顯著水平，查tn-1表求分位數(shù)那么拒絕域4根據(jù)樣本x1，x2，xn計(jì)算5假設(shè)t落在拒絕域W內(nèi)，那么拒絕，接受。 假設(shè)t未落在拒絕域內(nèi)，那么接受，拒絕。例8-4 車輛廠生產(chǎn)的螺桿直徑X服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中抽取5枝，測得直徑單位：毫米為22.3，21.5，22.0，21.8，21.4。如果未知，試問直徑均值=21是否成立？=0.05【答疑編號(hào)：10080104針對(duì)該題提問】解 檢驗(yàn)假設(shè)1，由樣本觀測值算得2，3計(jì)算4根據(jù)=0.05，查tn-1分布表臨界值。拒絕域?yàn)?t=4.87在拒絕域內(nèi)否認(rèn)，接受。即認(rèn)為直徑均值不是21。 2.方差未知時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值檢

9、驗(yàn)設(shè)和分別是取自X和Y的樣本且相互獨(dú)立。1未知。欲檢驗(yàn)假設(shè)2構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。t即為我們構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。這時(shí)，對(duì)給定的水平，查附表3可得臨界值，使，即得拒絕域。例8-5在漂白工藝中考察溫度對(duì)針織品斷裂強(qiáng)度的影響，現(xiàn)在70與80下分別作8次和6次試驗(yàn)，測得各自的斷裂度X和Y的觀測值。經(jīng)計(jì)算得，。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，可認(rèn)為X和Y均服從正態(tài)分布，且方差相等，在給定=0.10時(shí)，問70與80對(duì)斷裂強(qiáng)度的無顯著差異？【答疑編號(hào)：10080105針對(duì)該題提問】解由題設(shè)，可假定，于是假設(shè)作統(tǒng)計(jì)假設(shè)為兩個(gè)溫度下的斷裂強(qiáng)度無顯著性差異，即相當(dāng)于作假設(shè)1。2構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量3=0.10，查得tm+n-2=t12表，得臨界值。拒

10、絕域W為-，-1.7821.782，+4計(jì)算5因?yàn)閠落在拒絕域W內(nèi)，所以拒絕，接受。即認(rèn)為斷裂強(qiáng)度有明顯差異。8.3正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)在實(shí)際問題中，有關(guān)方差的檢驗(yàn)問題也是常遇到的，如上節(jié)介紹的u檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)中均與方差有密切的聯(lián)系。因此，討論方差的檢驗(yàn)問題尤為重要。檢驗(yàn) 設(shè)總體未知，x1，nx為取自X的樣本，欲檢驗(yàn)假設(shè)其中為數(shù)。自然想到，看的無偏估計(jì)s2有多大，當(dāng)H0為真時(shí)，s2應(yīng)在周圍波動(dòng)，如果很大或很小，那么應(yīng)否認(rèn)H0，因此構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。對(duì)于給定的顯著水平，可查n-1表可得分位數(shù)拒絕域W為。假設(shè)統(tǒng)計(jì)量落在拒絕域W內(nèi)，那么拒絕，接受。假設(shè)統(tǒng)計(jì)量落在接受域內(nèi)，那么接受，拒絕。例8-6 設(shè)某

11、廠生產(chǎn)銅線的折斷力，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中抽查10根測其折斷力后經(jīng)計(jì)算得樣本均值=575.2，樣本方差s2=68.16。試問能否認(rèn)為這批銅線折斷力的方差仍為82公斤取=0.05？【答疑編號(hào)：10080201針對(duì)該題提問】解 按題意，欲檢驗(yàn)假設(shè)1，2引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量3根據(jù)=0.05，查n-1=9表得臨界值于是得拒絕域4。5計(jì)算由于不在拒絕域W內(nèi)，故不拒絕，即可認(rèn)為該批銅線折斷力的方差與82公斤無顯著差異。8.3.2 F檢驗(yàn)前面介紹的用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體的均值是否相等時(shí)，曾假定它們的方差是相等的。一般說來，兩個(gè)正態(tài)總體方差是未知的，那么，如何來檢驗(yàn)兩獨(dú)立正態(tài)總體方差是否相等呢？為此介紹F檢驗(yàn)法。設(shè)有兩

12、正態(tài)總體和分別是取自X和Y的樣本且相互獨(dú)立。欲檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)。由于是的無偏估計(jì)，是的無偏估計(jì)，當(dāng)為真時(shí)，自然想到和應(yīng)該差不多，其比值不會(huì)太大或大小，現(xiàn)在關(guān)鍵在于統(tǒng)計(jì)量服從什么分布。由6.3節(jié)定理6-4推論我們知道，當(dāng)為真時(shí)，這樣，取F為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)給定的水平，查附表5，確定臨界值使。即得拒絕域 。假設(shè)由樣本觀測值算得F值，當(dāng)FW時(shí)，拒絕，即認(rèn)為兩總體方差有顯著差異。否那么認(rèn)為與相容，即兩總體方差無顯著差異。例8-7 設(shè)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種軸，從這兩臺(tái)機(jī)床加工的軸中分別抽取假設(shè)干根，測得直徑數(shù)據(jù)如下假定各臺(tái)機(jī)床加工軸的直徑X，Y分別服從正態(tài)分布，試比擬甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工軸的精度有無顯著差異取

13、=0.05?！敬鹨删幪?hào)：10080202針對(duì)該題提問】解按題意，此題是要檢驗(yàn)兩正態(tài)總體的方差是否相等，即要檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)12引入統(tǒng)計(jì)量3根據(jù)=0.05查F7，6表得于是，拒絕域W為0，0.1955.70，+4計(jì)算5F不在拒約域W內(nèi)，接受，即方差無明顯差異。8.4 單邊檢驗(yàn)實(shí)際問題中，有時(shí)我們只關(guān)心總體的均值是否會(huì)增大，例如，試驗(yàn)新工藝以提高產(chǎn)品的質(zhì)量，如材料的強(qiáng)度、元件的使用壽命等，當(dāng)然，總體的均值越大越好，此時(shí)，需要檢驗(yàn)假設(shè)。其中是常數(shù)。類似地，如果只關(guān)心總體的均值是否變小，就需要檢驗(yàn)假設(shè)，下面以單個(gè)正態(tài)總體方差情況為例，來討論均值的單邊檢驗(yàn)的拒絕域。設(shè)總體為。x1，xn，是取自X的一個(gè)樣本，

14、給定檢驗(yàn)水平，考慮單邊假設(shè)問題。，由于是的無偏估計(jì)，故當(dāng)為真時(shí)，不應(yīng)太大，而當(dāng)u偏大時(shí)應(yīng)拒絕，故拒絕域的形式為：，c待定，由于，故可找臨界值，使當(dāng)成立時(shí)，因此，。由事件是一個(gè)小概率事件知，事件更是一個(gè)小概率事件。如果根據(jù)所給的樣本觀測值，x1，xn算出，那么應(yīng)該否認(rèn)原假設(shè)，即拒絕域?yàn)閃=u，+。當(dāng)時(shí)，我們不否認(rèn)原假設(shè)類似地，對(duì)于單邊假設(shè)檢驗(yàn)問題：，仍取為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，但拒絕域?yàn)閃=-，-u，即當(dāng)由樣本觀測值算出時(shí)，那么應(yīng)拒絕原假設(shè)。我們已注意到，上述單邊檢驗(yàn)問題，與單個(gè)正態(tài)總體方差情況的均值的雙邊檢驗(yàn)問題一樣，其所用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和檢驗(yàn)步驟完全相同，不同的只是拒絕域。我們著重指出：單邊檢驗(yàn)問題的拒

15、絕域，其不等式的取向，與備擇假設(shè)的不等式取向完全一致。這一特有的性質(zhì)使我們無需特別記憶單邊檢驗(yàn)的拒絕域。因此，假設(shè)遇上本章8.2，8.3中相應(yīng)的單邊檢驗(yàn)問題，那么只要作類似的處理就行了，例如：設(shè)總體，欲檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)，其中為數(shù)。這時(shí)，由雙邊檢驗(yàn)問題中的檢驗(yàn)知。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可取。假設(shè)由樣本觀測值算出，那么當(dāng)時(shí)拒絕，即拒絕域?yàn)椋瞬坏仁饺∠蚺c備擇假設(shè)取向一致。假設(shè)欲檢驗(yàn)?zāi)敲礄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量仍取，拒絕域?yàn)椋海碬=0,類似地，兩個(gè)總體和分別是取自X和Y的樣本且相互獨(dú)立。欲檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)。這時(shí)，類似于雙邊檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可取，拒絕域?yàn)椋础?各種統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)情況檢驗(yàn)水平為如表8-4所示。表8-4檢驗(yàn)法H0H1

16、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量自由度拒絕域條件u檢驗(yàn)t 檢 驗(yàn)n-1m+n-2未知未知但相等檢 驗(yàn)nn-1FFFF1-對(duì)應(yīng)重復(fù)上面未知F 檢 驗(yàn)m,nm-1,n-1FFFF1-對(duì)應(yīng)重復(fù)上面未知例8-8 用某種農(nóng)藥施入農(nóng)田中防治病蟲害，經(jīng)三個(gè)月后土壤中如有5ppm以上的濃度時(shí)，認(rèn)為仍有殘效，現(xiàn)在一大田施藥區(qū)隨機(jī)取10個(gè)土樣進(jìn)行分析，其濃度為：4.8，3.2，2.0，6.0，5.4，7.6，2.1，2.5，3.1，3.5單位：ppm。問該農(nóng)藥經(jīng)三個(gè)月是否仍有殘效土壤剩余農(nóng)藥濃度服從正態(tài)分布=0.05？【答疑編號(hào)：10080203針對(duì)該題提問】解 顯然，我們關(guān)心的只是總體均值是否小于，這時(shí)假設(shè)用雙邊檢驗(yàn)是不恰當(dāng)有，所以

17、我們應(yīng)該檢驗(yàn)。這時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)取，對(duì)于給定的顯著性水平=0.05，查t分布表得由樣本算得T的觀測值t=-1.45-1.83，不能拒絕H0，即沒有理由疑心該農(nóng)藥已無殘效。例8-9 某類鋼板每塊的重量X服從正態(tài)分布，其一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)是鋼板重量的方差不得超過0.016kg2?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的鋼板中隨機(jī)抽取25塊，得其樣本方差s2=0.025kg2，問該天生產(chǎn)的鋼板重量的方差是否滿足要求？【答疑編號(hào)：10080204針對(duì)該題提問】解 這是一個(gè)關(guān)于正態(tài)總體方差的單側(cè)檢驗(yàn)問題，原假設(shè)，備擇假設(shè)為，此處n=25。假設(shè)取=0.05，那么查表知，現(xiàn)計(jì)算可得。由此，在顯著水平0.05下，我們拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該天生產(chǎn)

18、的鋼板重量的方差不符合要求。例8-10 有一批槍彈，其初速度，其中=950m/s，=10m/s。經(jīng)過較長時(shí)間儲(chǔ)存后，現(xiàn)取出9發(fā)槍彈試射，測其初速度，得樣本值如下單位：m/s：914，920，910，934，953，945，912，924，940。問這批槍彈在顯著性水平=0.05下，其初速度是否起了變化假定沒有變化？【答疑編號(hào)：10080205針對(duì)該題提問】解 由題設(shè)，要檢驗(yàn)的假設(shè)為，因?yàn)闃審梼?chǔ)存后初速度不可能增加，所以是左側(cè)單邊檢驗(yàn)問題，由n=9，易另算出，查表知-u=-u0.05=-1.65，所以u(píng)=-6.6-1.65=-u，故應(yīng)拒絕H0而接受，即認(rèn)為這批槍彈經(jīng)過較長時(shí)間儲(chǔ)存后初速度已經(jīng)變小了。 8.5 兩類錯(cuò)誤通過上面分析可知，一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題，是要先給定一個(gè)原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1，選出一個(gè)適宜的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T，由此給出拒絕域W內(nèi)。再根據(jù)在總體抽樣得到的樣本值x1，x2，xn，看它是否落入由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T定出的拒絕域W內(nèi)。當(dāng)x1，x2，xnW時(shí)，就拒絕H0即接受H1；而當(dāng)x1，x2，xnW時(shí)，接受H0。這樣的假設(shè)檢驗(yàn)有可能犯錯(cuò)誤。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)本來是用樣本去推斷總體，即從局部去推斷整體，當(dāng)然有可能犯錯(cuò)