數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)1.數(shù)列的概念：按照 的數(shù)2.數(shù)列的分類：（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為 （2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為 （3）已知數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍 等差數(shù)列的有關(guān)概念：1定義： 即2通項(xiàng)公式： ，推廣： 是點(diǎn)列所在直線的斜率.是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。3前項(xiàng)的和： 變式：=是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。4等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則稱的等差中項(xiàng)，且；成等差數(shù)列是的 條件。5等差數(shù)列的基本性質(zhì) = 1 * GB2 ；反之不成立。 = 2 * GB2 = 3 * GB2 = 4 * GB2 成公差為的等差數(shù)列。組成公差為的等差數(shù)列。 )當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中；

2、奇，偶6判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法： = 1 * GB3 定義法：是等差數(shù)列 = 2 * GB3 中項(xiàng)法：是等差數(shù)列 = 3 * GB3 通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列 = 4 * GB3 前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列7知三求二, 可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量;或利用數(shù)列性質(zhì),三數(shù):, 四數(shù)8.會(huì)從函數(shù)角度理解和處理數(shù)列問題.練習(xí)1.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 ( )（A） （B） （C） （D）2.已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是 A 5 B 4 C 3 D 23.等差數(shù)列an中，a100，a110且a11|a10|，Sn為其前n項(xiàng)和，則 ( )A. S1

3、0小于0，S11大于0 B. S19小于0，S20大于0C. S5小于0，S6大于0 D. S20小于0，S21大于04.已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，、設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（ ）A55B70C85D100 5.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，若a2+a4+a15=p是一常數(shù)，則S13= 6.在等差數(shù)列中,已知,則n= .7.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項(xiàng)的和，則其公差等于( )8.已知等差數(shù)列中，等于（ ）A15 B30 C31 D649.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，=10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若11.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34,后3項(xiàng)和為146,且所有項(xiàng)的

4、和為390,求這個(gè)數(shù)列項(xiàng)數(shù). (2)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和前100項(xiàng)的和,求前110項(xiàng)的和 12.在等差數(shù)列an中,am=n,an=m,則am+n的值為 （ ）（A）m+n （B） （C） （D）013.設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 A B C D 14.如果，為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則 （ ）（A）（B）（C）+（D）=15.若數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是： （ ）A 4005 B 4006 C 4007 D 4008416.如果一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27，求公差； 17.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)

5、項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)18.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-2n，bn=，證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列.19數(shù)列的首項(xiàng),通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間滿足(1)求證:是等差數(shù)列,并求公差;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)數(shù)列中是否存在正整數(shù)k,使得不等式對(duì)任意不小于k的正整數(shù)都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,請(qǐng)說明理由.20.等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知 = 1 * GB3 求通項(xiàng)； = 2 * GB3 若=242，求21.已知數(shù)列中，前和 = 1 * GB3 求證：數(shù)列是等差數(shù)列 = 2 * GB3 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 = 3 * GB3 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，

6、使得對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。等比數(shù)列的有關(guān)概念：定義：如果一個(gè)數(shù)列從 起， 與它的 的比等于 常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為。即遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式： 推廣： 等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的 中項(xiàng)，且 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。前項(xiàng)和公式:等比數(shù)列的基本性質(zhì)， = 1 * GB3 ；反之不真！ = 2 * GB3 = 3 * GB3 為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列。 = 4 * GB3 仍成 。等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 = 1 * GB3 是等差數(shù)列是等比數(shù)列； = 2 * GB3 是正

7、項(xiàng)等比數(shù)列是等差數(shù)列； = 3 * GB3 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列。等比數(shù)列的判定法 = 1 * GB3 定義法：為等比數(shù)列； = 2 * GB3 中項(xiàng)法：為等比數(shù)列； = 3 * GB3 通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列； = 4 * GB3 前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。練習(xí) ，則已知數(shù)列是等比數(shù)列，且 3.在等比數(shù)列中， = 1 * GB3 求， = 2 * GB3 若4.在等比數(shù)列中，若在等差數(shù)列中有成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在等比數(shù)列中，若則有等式 成立。點(diǎn)撥：歷年高考對(duì)性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握。5.一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之

8、積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_6.數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。7.設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和126，求和公比.8.等比數(shù)列中，2，S99=77，求9.已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_10.有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。點(diǎn)撥：奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。11.在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_12.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 13.已知且，

9、設(shè)數(shù)列滿足，且，則14.等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_15.若是等比數(shù)列，且，則 16.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值=_17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是 數(shù)列的通項(xiàng)的求法一、觀察法（多用于選擇題，填空題，解答題（需用數(shù)學(xué)歸納法證明）1.已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_2. 已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_3. 已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_3. 已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_4. 已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_二、與的關(guān)系1.已知的前項(xiàng)和滿足

10、，求=_2.數(shù)列滿足，求=3.數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則_4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.()求數(shù)列的通項(xiàng);()設(shè)的前項(xiàng)和為，證明: .5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；6.已知數(shù)列滿足的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和。7.在數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值.7.已知數(shù)列中，前項(xiàng)和，若，求8.數(shù)列滿足，求三、公式法（等差數(shù)列，等比數(shù)列）等差數(shù)列：等比數(shù)列: 1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.數(shù)列中，且滿足 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求3.等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，數(shù)列（1）求數(shù)列an的

11、通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求。4.（2009全國卷理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。5.（2009遼寧卷）等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，已知,成等差數(shù)列（1）求的公比q；（2）求3，求 6.已知數(shù)列滿足=1，求四、累加法累加法(逐差相加法) 或1. 已知數(shù)列滿足，則=_。2.已知數(shù)列滿足，則=_3. 已知數(shù)列滿足，則=_。4.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。5.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五累積法：累乘法(逐商相乘法) 1.已知數(shù)列滿足，則=_。2.已知， ，則=_。3.數(shù)列，滿足a1=1， (n2)，則的通項(xiàng) 4. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、

12、（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1.已知數(shù)列中，則=_.2.在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_ 3.已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列bn滿足證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）證明：3.已知，求；4.已知，求；5.已知，求；六（答：）（答：）（答：）七、三項(xiàng) 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）

13、；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。1.數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.已知數(shù)列中，,，求。3.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 4.已知數(shù)列中，,，求5.已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。八周期型 解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。1.若數(shù)列滿足，若，則的值為_。2.已知數(shù)列滿足，則=（ ）A0BCD數(shù)列求和的常用方法一、公式法：任意數(shù)列的求和公式： （用于項(xiàng)數(shù)較少）等差數(shù)列的前項(xiàng)的和： 變式：

14、=等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式:常用幾個(gè)數(shù)列的求和公式（1）、（2）、（3）、1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_；2.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_二、分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。應(yīng)于等差加等比即： 1.2.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，且（）（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和3.求數(shù)列+的前項(xiàng)和4.求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：將用完全平方和公式展開，再將其分為幾個(gè)數(shù)列的和進(jìn)行求解。三、倒

15、序相加法：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè)。1.若函數(shù)對(duì)任意都有。（1），數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是證明你的結(jié)論；（2）求數(shù)列的的前項(xiàng)和。解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的。此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項(xiàng)相消法。在數(shù)列問題中，要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用不同的方法加以求解。2.求證：3. 四、錯(cuò)位相減法求和 （乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減（等差等比）這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。1.求數(shù)列(為常數(shù))的前項(xiàng)和。

16、解析：數(shù)列是由數(shù)列與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行分類討論，最后再綜合成三種情況。2.已知數(shù)列，求前n項(xiàng)和。思路分析：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1，3，5，2n-1與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求和。五、裂項(xiàng)相消法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：乘積形式，如：（1）、 （2）、（3）、（4）、根式形式，如： 1.求和思路分析:分式求和可用裂項(xiàng)相消法求和.2.求數(shù)列，的前

17、項(xiàng)和3.求數(shù)列，的前項(xiàng)和解析：要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)求和時(shí)候，尤其要注意：究竟是剩下首尾兩項(xiàng)，還是剩下幾項(xiàng)。六、拆項(xiàng)求和法：在這類方法中，我們先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。1.求數(shù)列9，99，999， 的前n項(xiàng)和分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學(xué)生先歸納出通項(xiàng)公式 可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)常數(shù)列。分別求和后再相加。2.=一（答：）（答：）二（答：）解：令 令 式式：故：解：= （首項(xiàng)，公比等比數(shù)列） （常數(shù)列） （首項(xiàng)，公比等比數(shù)列）、令時(shí)，=時(shí)，=、令、令時(shí)，時(shí)，=綜上所述：時(shí)，時(shí)，這個(gè)題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思

18、想的應(yīng)用。三解：（1）、（倒序相加） 則，由條件：對(duì)任意都有。從而：數(shù)列是的等差數(shù)列。（2）、=故：=解： 當(dāng) 當(dāng)四解：、若=0， 則=0、若=1，則 、若0且1，則 式式：綜上所述：五解: 2.求 答案: 解：= 解：由于：=）則： 六解：由于：則：解：由于：則：=（等差+等比，利用公式求和）=解析：根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，通項(xiàng)可以拆成兩項(xiàng)或三項(xiàng)的常見數(shù)列，然后再分別求和。1.（答：）（答：）；（答：）3.（答：）7.（答：解：（I）由及，有由， 則當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列， 評(píng)析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找第（II）問

19、中由（I）易得，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以總體來說，09年高考理科數(shù)學(xué)全國I、這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列（全國I還考查了利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的方法），一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。解：（）依題意有 由于 ，故 又，從而 5分 （）由已知可得 故 從而 10分5.解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公

20、式3.解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。4.解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.（答：）1.解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。4.解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。5.解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故所以由，則，

21、又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。8.（答：）6.（答：）3.解： = 1 * GB2 = 1 * GB3 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知： = 2 * GB3 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是等差數(shù)列，因?yàn)? = 2 * GB2 由題設(shè)可知，如果在等差數(shù)列中有成立，我們知道，如果，而對(duì)于等比數(shù)列，則有所以可以得出結(jié)論，若成立，在本題中5.（答：）；7. （答：，或2）8.（答：44）；9.（答：AB）10.（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）11.（答：512）；12.（答：10）。13.（答：）；14.（答：40）15.（答：1）16.（答：2）17.（答：）（答：） （答：）； （答：）簡(jiǎn)答:1-4.ACBC; 3. a11|a10|=a10，a10+a11=a1+a200.S20=10（a1+a20）0.選 B4.5. a2+a4+a15=p（常數(shù)），3a1+18d=p，即a7=p.S13=13a7=p.6.設(shè)首項(xiàng)為,公差為,則7.8A