數(shù)列知識點總結(jié)與練習

1、數(shù)列知識點總結(jié)與練習1.數(shù)列的概念：按照 的數(shù)2.數(shù)列的分類：（1）已知，則在數(shù)列的最大項為 （2）數(shù)列的通項為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為 （3）已知數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍 等差數(shù)列的有關(guān)概念：1定義： 即2通項公式： ，推廣： 是點列所在直線的斜率.是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。3前項的和： 變式：=是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。4等差中項：若成等差數(shù)列，則稱的等差中項，且；成等差數(shù)列是的 條件。5等差數(shù)列的基本性質(zhì) = 1 * GB2 ；反之不成立。 = 2 * GB2 = 3 * GB2 = 4 * GB2 成公差為的等差數(shù)列。組成公差為的等差數(shù)列。 )當為奇數(shù)時，中；

2、奇，偶6判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法： = 1 * GB3 定義法：是等差數(shù)列 = 2 * GB3 中項法：是等差數(shù)列 = 3 * GB3 通項公式法：是等差數(shù)列 = 4 * GB3 前項和公式法：是等差數(shù)列7知三求二, 可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個基本量;或利用數(shù)列性質(zhì),三數(shù):, 四數(shù)8.會從函數(shù)角度理解和處理數(shù)列問題.練習1.設是等差數(shù)列的前項和，若，則 ( )（A） （B） （C） （D）2.已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是 A 5 B 4 C 3 D 23.等差數(shù)列an中，a100，a110且a11|a10|，Sn為其前n項和，則 ( )A. S1

3、0小于0，S11大于0 B. S19小于0，S20大于0C. S5小于0，S6大于0 D. S20小于0，S21大于04.已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，、設（），則數(shù)列的前10項和等于（ ）A55B70C85D100 5.等差數(shù)列an的前n項和記為Sn，若a2+a4+a15=p是一常數(shù)，則S13= 6.在等差數(shù)列中,已知,則n= .7.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項的和，則其公差等于( )8.已知等差數(shù)列中，等于（ ）A15 B30 C31 D649.設為等差數(shù)列的前項和，=10.已知等差數(shù)列的前項和為，若11.若一個等差數(shù)列前3項和為34,后3項和為146,且所有項的

4、和為390,求這個數(shù)列項數(shù). (2)等差數(shù)列的前10項的和前100項的和,求前110項的和 12.在等差數(shù)列an中,am=n,an=m,則am+n的值為 （ ）（A）m+n （B） （C） （D）013.設是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 A B C D 14.如果，為各項都大于零的等差數(shù)列，公差，則 （ ）（A）（B）（C）+（D）=15.若數(shù)列是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是： （ ）A 4005 B 4006 C 4007 D 4008416.如果一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32:27，求公差； 17.項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)

5、項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求這個數(shù)列的中間項及項數(shù)18.已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2-2n，bn=，證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列.19數(shù)列的首項,通項與前n項和之間滿足(1)求證:是等差數(shù)列,并求公差;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)數(shù)列中是否存在正整數(shù)k,使得不等式對任意不小于k的正整數(shù)都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,請說明理由.20.等差數(shù)列的前項和記為，已知 = 1 * GB3 求通項； = 2 * GB3 若=242，求21.已知數(shù)列中，前和 = 1 * GB3 求證：數(shù)列是等差數(shù)列 = 2 * GB3 求數(shù)列的通項公式 = 3 * GB3 設數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，

6、使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。等比數(shù)列的有關(guān)概念：定義：如果一個數(shù)列從 起， 與它的 的比等于 常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為。即遞推關(guān)系與通項公式通項公式： 推廣： 等比中項：若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的 中項，且 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。前項和公式:等比數(shù)列的基本性質(zhì)， = 1 * GB3 ；反之不真！ = 2 * GB3 = 3 * GB3 為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列。 = 4 * GB3 仍成 。等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 = 1 * GB3 是等差數(shù)列是等比數(shù)列； = 2 * GB3 是正

7、項等比數(shù)列是等差數(shù)列； = 3 * GB3 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列。等比數(shù)列的判定法 = 1 * GB3 定義法：為等比數(shù)列； = 2 * GB3 中項法：為等比數(shù)列； = 3 * GB3 通項公式法：為等比數(shù)列； = 4 * GB3 前項和法：為等比數(shù)列。練習 ，則已知數(shù)列是等比數(shù)列，且 3.在等比數(shù)列中， = 1 * GB3 求， = 2 * GB3 若4.在等比數(shù)列中，若在等差數(shù)列中有成立，類比上述性質(zhì)，相應的在等比數(shù)列中，若則有等式 成立。點撥：歷年高考對性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握。5.一個等比數(shù)列共有項，奇數(shù)項之

8、積為100，偶數(shù)項之積為120，則為_6.數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。7.設等比數(shù)列中，前項和126，求和公比.8.等比數(shù)列中，2，S99=77，求9.已知兩個正數(shù)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關(guān)系為_10.有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。點撥：奇數(shù)個數(shù)成等比，可設為，（公比為）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設，且公比為。11.在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_12.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 13.已知且，

9、設數(shù)列滿足，且，則14.等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為_15.若是等比數(shù)列，且，則 16.設等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值=_17.設數(shù)列的前項和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 數(shù)列的通項的求法一、觀察法（多用于選擇題，填空題，解答題（需用數(shù)學歸納法證明）1.已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：_2. 已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：_3. 已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：_3. 已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：_4. 已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：_二、與的關(guān)系1.已知的前項和滿足

10、，求=_2.數(shù)列滿足，求=3.數(shù)列中，對所有的都有，則_4.已知數(shù)列的前項和為，且.()求數(shù)列的通項;()設的前項和為，證明: .5.設數(shù)列的前項和為，且滿足，()求數(shù)列的通項公式；6.已知數(shù)列滿足的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列的通項公式滿足，求數(shù)列的前項和。7.在數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的最小值.7.已知數(shù)列中，前項和，若，求8.數(shù)列滿足，求三、公式法（等差數(shù)列，等比數(shù)列）等差數(shù)列：等比數(shù)列: 1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。2.數(shù)列中，且滿足 (1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求3.等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，數(shù)列（1）求數(shù)列an的

11、通項公式；（2）設，求。4.（2009全國卷理）設數(shù)列的前項和為 已知（I）設，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列的通項公式。5.（2009遼寧卷）等比數(shù)列的前n 項和為，已知,成等差數(shù)列（1）求的公比q；（2）求3，求 6.已知數(shù)列滿足=1，求四、累加法累加法(逐差相加法) 或1. 已知數(shù)列滿足，則=_。2.已知數(shù)列滿足，則=_3. 已知數(shù)列滿足，則=_。4.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。5.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。五累積法：累乘法(逐商相乘法) 1.已知數(shù)列滿足，則=_。2.已知， ，則=_。3.數(shù)列，滿足a1=1， (n2)，則的通項 4. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。六、

12、（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1.已知數(shù)列中，則=_.2.在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_ 3.已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列bn滿足證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）證明：3.已知，求；4.已知，求；5.已知，求；六（答：）（答：）（答：）七、三項 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）

13、；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。1.數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項公式。2.已知數(shù)列中，,，求。3.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 4.已知數(shù)列中，,，求5.已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。八周期型 解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。1.若數(shù)列滿足，若，則的值為_。2.已知數(shù)列滿足，則=（ ）A0BCD數(shù)列求和的常用方法一、公式法：任意數(shù)列的求和公式： （用于項數(shù)較少）等差數(shù)列的前項的和： 變式：

14、=等比數(shù)列的前項和公式:常用幾個數(shù)列的求和公式（1）、（2）、（3）、1.等比數(shù)列的前項和S2，則_；2.計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)進行處理的。二進制即“逢2進1”，如表示二進制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進制形式是，那么將二進制轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)是_二、分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。應于等差加等比即： 1.2.已知各項為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，且（）（）求數(shù)列的通項公式；（）設，求數(shù)列的前n項和3.求數(shù)列+的前項和4.求數(shù)列的前項和分析：將用完全平方和公式展開，再將其分為幾個數(shù)列的和進行求解。三、倒

15、序相加法：這是推導等差數(shù)列的前項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個。1.若函數(shù)對任意都有。（1），數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是證明你的結(jié)論；（2）求數(shù)列的的前項和。解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項之和相等這一特點來進行倒序相加的。此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項相消法。在數(shù)列問題中，要學會靈活應用不同的方法加以求解。2.求證：3. 四、錯位相減法求和 （乘公比錯項相減（等差等比）這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前n項和，其中，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。1.求數(shù)列(為常數(shù))的前項和。

16、解析：數(shù)列是由數(shù)列與對應項的積構(gòu)成的，此類型的才適應錯位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行分類討論，最后再綜合成三種情況。2.已知數(shù)列，求前n項和。思路分析：已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1，3，5，2n-1與等比數(shù)列對應項積，可用錯位相減法求和。五、裂項相消法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用。 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：乘積形式，如：（1）、 （2）、（3）、（4）、根式形式，如： 1.求和思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.2.求數(shù)列，的前

17、項和3.求數(shù)列，的前項和解析：要先觀察通項類型，在裂項求和時候，尤其要注意：究竟是剩下首尾兩項，還是剩下幾項。六、拆項求和法：在這類方法中，我們先研究通項，通項可以分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。1.求數(shù)列9，99，999， 的前n項和分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學生先歸納出通項公式 可轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列與一個常數(shù)列。分別求和后再相加。2.=一（答：）（答：）二（答：）解：令 令 式式：故：解：= （首項，公比等比數(shù)列） （常數(shù)列） （首項，公比等比數(shù)列）、令時，=時，=、令、令時，時，=綜上所述：時，時，這個題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思

18、想的應用。三解：（1）、（倒序相加） 則，由條件：對任意都有。從而：數(shù)列是的等差數(shù)列。（2）、=故：=解： 當 當四解：、若=0， 則=0、若=1，則 、若0且1，則 式式：綜上所述：五解: 2.求 答案: 解：= 解：由于：=）則： 六解：由于：則：解：由于：則：=（等差+等比，利用公式求和）=解析：根據(jù)通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數(shù)列，然后再分別求和。1.（答：）（答：）；（答：）3.（答：）7.（答：解：（I）由及，有由， 則當時，有得又，是首項，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項為，公差為的等比數(shù)列， 評析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找第（II）問

19、中由（I）易得，這個遞推式明顯是一個構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以總體來說，09年高考理科數(shù)學全國I、這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列（全國I還考查了利用錯位相減法求前n項和的方法），一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。解：（）依題意有 由于 ，故 又，從而 5分 （）由已知可得 故 從而 10分5.解：兩邊除以，得，則，故因此，則評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式，最后再求數(shù)列的通項公

20、式3.解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。4.解：由得則所以評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。2.（答：）1.解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進而求出數(shù)列的通項公式。4.解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。5.解：因為所以用式式得則故所以由，則，

21、又知，則，代入得。所以，的通項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，從而可得當?shù)谋磉_式，最后再求出數(shù)列的通項公式。8.（答：）6.（答：）3.解： = 1 * GB2 = 1 * GB3 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知： = 2 * GB3 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是等差數(shù)列，因為4 = 2 * GB2 由題設可知，如果在等差數(shù)列中有成立，我們知道，如果，而對于等比數(shù)列，則有所以可以得出結(jié)論，若成立，在本題中5.（答：）；7. （答：，或2）8.（答：44）；9.（答：AB）10.（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）11.（答：512）；12.（答：10）。13.（答：）；14.（答：40）15.（答：1）16.（答：2）17.（答：）（答：） （答：）； （答：）簡答:1-4.ACBC; 3. a11|a10|=a10，a10+a11=a1+a200.S20=10（a1+a20）0.選 B4.5. a2+a4+a15=p（常數(shù)），3a1+18d=p，即a7=p.S13=13a7=p.6.設首項為,公差為,則7.8A