建模典型實(shí)例詳解講義

1、 第三章一. 基本概念：因?yàn)槿祟愃鶑氖碌囊磺猩a(chǎn)或社會(huì)活動(dòng)均是有目的的，其行為總是在特定的價(jià)值觀念或?qū)徝廊∠虻闹湎逻M(jìn)行的，經(jīng)常面臨求解一個(gè)可行的甚至是最優(yōu)的方案的決策問題?？梢哉f，最優(yōu)化思想是數(shù)學(xué)建模的靈魂。而最優(yōu)化方法作為一門特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科分支有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景。典型的最優(yōu)化模型可以被描述為如下形式：其中表示一組決策變量，通常在實(shí)數(shù)域內(nèi)取值，稱決策變量的函數(shù)為該最優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)；為維歐氏空間的某個(gè)子集，通常由一組關(guān)于決策變量的等式或不等式刻畫，形如：這時(shí)，稱模型中關(guān)于決策變量的等式或不等式、為約束條件，而稱滿足全部約束條件的空間中的點(diǎn)為該模型的可行解，稱，即由所有可行解構(gòu)成的集合為

2、該模型的可行域。稱為最優(yōu)化模型的（全局）最優(yōu)解，若滿足：對均有，這時(shí)稱處的目標(biāo)函數(shù)值的為最優(yōu)化模型的（全局）最優(yōu)值；稱為最優(yōu)化模型的局部最優(yōu)解，若存在，對，均有。（全局）最優(yōu)解一定是局部最優(yōu)解，但反之不然，其關(guān)系可由下圖得到反映：上圖為函數(shù)在區(qū)間上的一段函數(shù)曲線（由Mathematica繪制），如果考察最優(yōu)化問題，從圖中發(fā)現(xiàn)它有三個(gè)局部最優(yōu)解、，其中是全局最優(yōu)解，最優(yōu)值為“”。二. 最優(yōu)化問題的一些典型的分類：優(yōu)化方法涉及的應(yīng)用領(lǐng)域很廣，問題種類與性質(zhì)繁多，根據(jù)不同的原則可以給出不同的分類。從數(shù)學(xué)建模的角度，對最優(yōu)化問題的一些典型分類及相關(guān)概念的了解是有益的。根據(jù)決策變量的取值類型，可分為函數(shù)

3、優(yōu)化問題與組合優(yōu)化問題，稱決策變量均為連續(xù)變量的最優(yōu)化問題為函數(shù)優(yōu)化問題；若一個(gè)最優(yōu)化問題的全部決策變量均離散取值，則稱之為組合優(yōu)化問題。比方一些最優(yōu)化問題的決策變量被限定只能取整數(shù)值，即為組合最優(yōu)化問題，這類優(yōu)化問題通常被稱為整數(shù)規(guī)劃問題，另外大多網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃問題屬于組合最優(yōu)化問題。當(dāng)然，也有許多應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為混合類型的，即模型的部分決策變量為連續(xù)型的，部分決策變量為離散型的；另外當(dāng)談?wù)撘粋€(gè)最優(yōu)化問題是函數(shù)優(yōu)化問題還是組合優(yōu)化問題時(shí)，還需結(jié)合我們對這一問題的思考方式來進(jìn)行確定，比方后面介紹的線性規(guī)劃問題的求解，既有將其作為一個(gè)組合優(yōu)化問題而開發(fā)的算法，也有將其作為一個(gè)函數(shù)優(yōu)化問題而開發(fā)

4、的算法；另外的一種分類方式是根據(jù)問題中目標(biāo)、約束條件函數(shù)的形式或性質(zhì)來加以劃分的：若一個(gè)最優(yōu)化問題的目標(biāo)、約束條件函數(shù)均為決策變量的線性函數(shù)，則稱之為線性規(guī)劃問題，否則稱之為非線性最優(yōu)化問題。線性規(guī)劃問題的研究，理論和方法都已發(fā)展的相當(dāng)成熟，方法被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和管理等領(lǐng)域；而對非線性最優(yōu)化問題，根據(jù)建模和算法設(shè)計(jì)的需要還有更進(jìn)一步的分類；在生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)與管理等領(lǐng)域中遇到的大量最優(yōu)決策問題，對一個(gè)方案的評價(jià)是多角度多指標(biāo)的，反映在數(shù)學(xué)模型中，優(yōu)化的目標(biāo)是關(guān)于決策變量的一個(gè)函數(shù)組，我們稱之為多目標(biāo)規(guī)劃問題。比如導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)，既要其射程遠(yuǎn)，又要消耗燃料少，還要命中率高等；又如選擇新廠的廠址，除了要考慮

5、地價(jià)、原料采購的運(yùn)費(fèi)等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)外，還需考慮對環(huán)境的污染等社會(huì)因素。三. 最優(yōu)化問題最優(yōu)解的一階必要條件：這里對形如 的最優(yōu)化問題的一階必要性條件作簡單介紹，它一方面可以將最優(yōu)化問題和方程組問題做某種形式的聯(lián)系，另一方面它在最優(yōu)化問題數(shù)值求解算法的設(shè)計(jì)有重要的意義。定理：設(shè)為最優(yōu)化問題的（局部）最優(yōu)解，若滿足：、在均可微；、分別表示、在的梯度向量，向量組線性無關(guān)；則，滿足：；對于，均有且。例、求解如下非線性規(guī)劃:。解：目標(biāo)函數(shù)的梯度向量（函數(shù)）為，而約束條件相當(dāng)于有三個(gè)：、，它們分別對應(yīng)梯度向量（函數(shù)）、；令、并要求。解之得四組解：；計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)為（全局）最優(yōu)解，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為

6、。特別，對于無約束最優(yōu)化問題，其一階最優(yōu)化條件如下：定理：設(shè)為最優(yōu)化問題的（局部）最優(yōu)解，若在均可微，則在的梯度向量為零向量，即。3.2 無約束最優(yōu)化方法 在這里我們只是對一些典型的最優(yōu)化算法作簡單介紹，以期那些初次接觸數(shù)值計(jì)算方法的學(xué)習(xí)者能對最優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)思想有概貌性了解，能編寫一些簡單的最優(yōu)化算法以處理學(xué)習(xí)中遇到的問題。而希望對最優(yōu)化方法有更深入的學(xué)習(xí)或者欲處理相對復(fù)雜的最優(yōu)化問題，需要參考更為專門的書籍或借助有關(guān)數(shù)學(xué)軟件。一一維搜索：0.618法（黃金分割法）：設(shè)單變量函數(shù)在區(qū)間上有定義，若存在一點(diǎn)，使得在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)減，在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增，則稱是區(qū)間上的（下）單峰函數(shù)。顯然是在區(qū)間

7、上的唯一的極小值點(diǎn)。對（下）單峰函數(shù)，有如下基本性質(zhì)：性質(zhì)1：設(shè)是區(qū)間上的（下）單峰函數(shù)，是在區(qū)間上的唯一的極小值點(diǎn)，對任意，若，則必有；性質(zhì)2：設(shè)是區(qū)間上的（下）單峰函數(shù)，是在區(qū)間上的唯一的極小值點(diǎn)，對任意，若，則必有；若，則必有。根據(jù)（下）單峰函數(shù)所具有的性質(zhì)，對在某區(qū)間上的（下）單峰函數(shù)可采用法（黃金分割法）進(jìn)行搜索其在區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)。方法只需計(jì)算函數(shù)值，用途很廣。0.618法：這里設(shè)為區(qū)間上的單峰函數(shù)，（即黃金分割數(shù)，算法由此得名），步1：令，以及精度要求；步2： 若，輸出：為近似最優(yōu)解，為近似最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，停止；步3： 若，轉(zhuǎn)步2；步4：，轉(zhuǎn)步2；易知，按照如上算法，每次迭代，只

8、需計(jì)算一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，均使解的存在區(qū)間以 的比率縮??；而在所有固定分劃比的區(qū)間分割法中，以上特點(diǎn)為黃金分割法所獨(dú)有，其余，每次迭代，需計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值。從計(jì)算相同的函數(shù)值數(shù)目而使最優(yōu)解的存在區(qū)間長度所能達(dá)到的縮小比率考慮，黃金分割法在所有固定分劃比的區(qū)間分割法中是最優(yōu)的，這里將黃金分割法連續(xù)迭代兩次，最優(yōu)解的存在區(qū)間長度所能達(dá)到的縮小比率為，而其它所有具有固定分劃比的區(qū)間分割法每次迭代所達(dá)到的縮小比率小于。因此黃金分割法在所有固定分劃比的區(qū)間分割法中是最優(yōu)的。例：用法求解，解的初始存在區(qū)間取，這里要求在近似解的誤差不超過。解：用0.618法編程求解，經(jīng)29步迭代，得該問題的近似解及其目標(biāo)函數(shù)

9、值為。牛頓法與拋物線法：在所有函數(shù)中，討論二次多項(xiàng)式函數(shù)的極?。ù螅┲祮栴}最為典型。對一元二次多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，易知是無約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)解。而對一般函數(shù)最優(yōu)解的求解，可以利用對一些點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值、一階或二階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)在一點(diǎn)局部或者在一定范圍內(nèi)的二次多項(xiàng)式逼近模型，以逼近模型的最優(yōu)解作為求解原最優(yōu)化問題的一個(gè)迭代點(diǎn)。稱這類方法為（二次）插值法。對一元函數(shù)，二次多項(xiàng)式逼近模型的建立通常有四種方式：其一是利用函數(shù)在一點(diǎn)處函數(shù)值、一階及二階導(dǎo)數(shù)值；其二是利用三個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值；其三是利用兩個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值以及它們中一點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值；其四是利用兩個(gè)不同點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值以及它們中一點(diǎn)的函數(shù)值。

10、這里只介紹前兩種，而稱基于第一種方式構(gòu)造的算法為牛頓法，稱基于第一種方式構(gòu)造的算法為拋物線法。設(shè)為的某算法的迭代點(diǎn)列，在牛頓法中，迭代公式采用：而在拋物線法中，迭代公式采用：當(dāng)函數(shù)具有比較好的解析性質(zhì)時(shí)，牛頓法與拋物線法通常比法的效果更好。例：分別用牛頓法、拋物線法求解，在選用牛頓法時(shí)初始點(diǎn)取，在選用拋物線法時(shí)初始點(diǎn)取且服從均勻分布的一組隨機(jī)數(shù)，這里要求在近似解處一階導(dǎo)數(shù)的絕對值不超過。解：用牛頓法編程求解，經(jīng)29步迭代，得該問題的近似解及其目標(biāo)函數(shù)值為以下為整個(gè)迭代點(diǎn)列：用拋物線法編程求解，經(jīng)22步迭代，得該問題的近似解及其目標(biāo)函數(shù)值為以下為整個(gè)迭代點(diǎn)列：二多元函數(shù)的無約束最優(yōu)化方法：對于多

11、元函數(shù)的無約束最優(yōu)化問題的數(shù)值求解，這里只介紹“最速下降法”和“牛頓法”。前者體現(xiàn)了“一維搜索”在多元函數(shù)的最優(yōu)化問題數(shù)值求解中的應(yīng)用，同時(shí)也是下降算法中最典型的代表；而后者，可以被視為一元函數(shù)最優(yōu)化問題的牛頓法求解的推廣，其每一步基本迭代均采用在當(dāng)前迭代點(diǎn)處的二階Talor展式作為原目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)局部逼近模型進(jìn)行求解。1最速下降法：設(shè)為的某算法的迭代點(diǎn)列，為目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處的負(fù)梯度方向，迭代公式采用：這里，步長因子為（一元函數(shù)）最優(yōu)化問題的（近似）解，可采用一維搜索進(jìn)行求解。例：用最速下降法求解，初始點(diǎn)取，這里要求在近似解處目標(biāo)函數(shù)梯度的模不大于。解：用最速下降法編程求解，經(jīng)28步迭代，得該問

12、題的近似解及其目標(biāo)函數(shù)值為以下為整個(gè)迭代點(diǎn)列：2牛頓法：設(shè)為的某算法的迭代點(diǎn)列，為目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處的梯度向量，為目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處的Hessian矩陣，牛頓法的迭代公式采用：特別當(dāng)正定時(shí)，為的解。例：用牛頓法求解，初始點(diǎn)取，這里要求在近似解處目標(biāo)函數(shù)梯度的模不大于。解：用牛頓法編程求解，經(jīng)12步迭代，得該問題的近似解及其目標(biāo)函數(shù)值為以下為整個(gè)迭代點(diǎn)列：第四章: 存貯模型4.1 不允許缺貨的確定性貯存模型工廠要定期地訂購各種原料，存放在倉庫里供生產(chǎn)之用。商店要成批地購進(jìn)各種商品，放在貨柜中以備零售。水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航運(yùn)。不論是原料、商品，還是水的貯存，都有一個(gè)貯存多少的問題。原料、商品

13、存得太多，貯存費(fèi)用（比方倉庫租賃費(fèi)、資金占用須支付銀行的信貸費(fèi)用等）高；存得太少則無法滿足需求。在此我們設(shè)想是在為一個(gè)商店老板制定一個(gè)好的進(jìn)貨策略。模型假設(shè)：假設(shè)商店經(jīng)營的商品單一，顧客對該物品的需求量在時(shí)間上保持恒定，即在任何時(shí)刻，單位時(shí)間（每天）對物品的需求量恒為（噸）；商店采用周期進(jìn)貨策略：每隔時(shí)間（天）進(jìn)貨（噸）；且假設(shè)每次進(jìn)貨是在存貨全部售出后即刻進(jìn)行，不允許缺貨，即；每次進(jìn)貨需支付訂貨費(fèi)（等一次性費(fèi)用），在正常期間，還需支付貨物的貯存費(fèi)用，單位時(shí)間（天）單位（噸）貨物需支付貨物的貯存費(fèi)用； 以表示在時(shí)刻該貨物的存量；模型建立根據(jù)假設(shè)，不難得到如下最優(yōu)化問題：可以進(jìn)一步化簡，得，即本

14、模型本質(zhì)上只有一個(gè)獨(dú)立的決策變量，其中目標(biāo)函數(shù)表示在進(jìn)貨周期為時(shí)，商店在單位時(shí)間（每天）承擔(dān)的平均費(fèi)用。模型求解令，即，得最優(yōu)的進(jìn)貨周期，進(jìn)而得每次的進(jìn)貨量（即經(jīng)濟(jì)理論中著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式）。點(diǎn)評從模型的解可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)訂貨費(fèi)越高，需求量越大時(shí)，一次訂貨量應(yīng)越大；當(dāng)貯存費(fèi)越高，一次訂貨量應(yīng)越小。這些關(guān)系是符合常識(shí)的，但僅憑常識(shí)是不能得到準(zhǔn)確的依從關(guān)系。4.2 允許缺貨的確定性貯存模型 我們經(jīng)常遇到這樣的情形：當(dāng)我們到一家商店中購買一件物品時(shí)，被店員告知該物品缺貨在本節(jié)我們討論一個(gè)允許缺貨的確定性貯存模型，和前面介紹的不允許缺貨的確定性貯存模型相比，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)一家商店由于缺貨而支走顧客而失去銷

15、售機(jī)會(huì)，從而使利潤減少；減少的利潤可以視為因缺貨而付出的費(fèi)用，因此在建模時(shí)引入“缺貨費(fèi)”。模型假設(shè)：假設(shè)商店經(jīng)營的商品單一，顧客對該物品的需求量在時(shí)間上保持恒定，即在任何時(shí)刻，單位時(shí)間（每天）對物品的需求量恒為（噸）；商店采用周期進(jìn)貨策略：每隔時(shí)間（天）進(jìn)貨（噸）；且假設(shè)每次進(jìn)貨是在存貨全部售出之后進(jìn)行，允許缺貨，即；每次進(jìn)貨需支付訂貨費(fèi)（等一次性費(fèi)用），在正常期間，還需支付貨物的貯存費(fèi)用，單位時(shí)間（天）單位（噸）貨物需支付貨物的貯存費(fèi)用；在缺貨期間需對由于錯(cuò)失銷售機(jī)會(huì)而承擔(dān)損失，每天單位時(shí)間（天）單位（噸）貨物需支付缺貨費(fèi)；以表示在時(shí)刻該貨物的存量，當(dāng)時(shí)表示缺貨量；模型建立根據(jù)假設(shè)，不難得到

16、如下最優(yōu)化問題：可以進(jìn)一步化簡，得，即本模型有兩個(gè)獨(dú)立的決策變量、，其中目標(biāo)函數(shù)表示在進(jìn)貨周期為、進(jìn)貨量為時(shí)，商店在單位時(shí)間（每天）承擔(dān)的平均費(fèi)用，為、的一個(gè)二元函數(shù)。模型求解令，解之可得最優(yōu)的進(jìn)貨周期，進(jìn)而得每次的進(jìn)貨量。點(diǎn)評將本模型的解和前面一節(jié)不允許缺貨的模型的解進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨周期變長，而一次進(jìn)貨量卻有所減少，即確實(shí)存在一段時(shí)間，商店是處在缺貨狀態(tài)下的。如果我們關(guān)心的是一家有盈利的商店，其盈利的源泉在于銷售收入，即其盈利行為發(fā)生在有貨供應(yīng)的時(shí)段內(nèi)，而在缺貨期內(nèi)只能錯(cuò)失銷售機(jī)會(huì)，因此，定性判斷，若以一次進(jìn)貨量取，商店將進(jìn)貨周期縮短到，其盈利會(huì)增加。即對經(jīng)營單一商品的以盈利為目的的商店不

17、應(yīng)當(dāng)允許缺貨。這與本模型及其解答存在矛盾，問題發(fā)生在什么地方？在追求利潤最大化與成本最小化之間是有差別的，前者是一種積極的經(jīng)濟(jì)行為目標(biāo)，后者相對消極，只有假定總的銷售收入（產(chǎn)值）相同時(shí)，二者才是等價(jià)的；如果在假定二者一致的前提下，若，即可得要么不允許缺貨，要么永不進(jìn)貨（即放棄經(jīng)營該產(chǎn)品）的結(jié)論在自由市場的條件下，這樣的結(jié)論更為實(shí)用，而本節(jié)模型及其解答只有當(dāng)商家在對一種商品的經(jīng)營具有壟斷地位時(shí)才有實(shí)用意義。在自由市場的條件下，人們在日常生活中遇到某些商品在某家商店缺貨的現(xiàn)象，本節(jié)模型是不能給出回答的，而其原因在于通常的商店經(jīng)營的商品并非單一，顧客的流量是有很大隨機(jī)性的。讀者可以試著考慮在假定顧客

18、的需求量確定的前提下，同時(shí)經(jīng)營兩種以上商品的最優(yōu)進(jìn)貨策略問題。4.3 隨機(jī)貯存模型報(bào)童的訣竅前面討論了兩個(gè)確定性的貯存模型，即假定顧客對某種商品的需求量是準(zhǔn)確預(yù)測的前提下給出的，而實(shí)際的情形遠(yuǎn)為復(fù)雜顧客對某種商品的需求量是服從某些規(guī)律的隨機(jī)變量，因此應(yīng)當(dāng)有區(qū)別于前面兩個(gè)模型的處理方法。一 模型假設(shè)考慮一種報(bào)紙的買進(jìn)，假定某個(gè)報(bào)童在某個(gè)街區(qū)賣報(bào)，而該街區(qū)居民在一天中對這份報(bào)紙的需求量是隨機(jī)的。表示隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)（即假定該種報(bào)紙的需求量通常是一個(gè)比較大的量，可以視之為一連續(xù)變量；若視為離散變量處理，以表示居民在一天中對這份報(bào)紙的需求量為時(shí)的概率）；報(bào)童在每天早晨以價(jià)格買進(jìn)份報(bào)紙，以價(jià)格賣出

19、，經(jīng)過一天出售，將剩余報(bào)紙以價(jià)格退給報(bào)商，通常。二 模型建立影響報(bào)童一天的利潤有兩個(gè)因素：，當(dāng)取定，報(bào)童一天的利潤，因?yàn)槭且浑S機(jī)變量，因此同樣是一隨機(jī)變量，按照期望值準(zhǔn)則，可得當(dāng)報(bào)童在早晨購進(jìn)份報(bào)紙其可以獲得的利潤的期望值：將之作為決策變量的目標(biāo)函數(shù)，最大化即構(gòu)成報(bào)童賣報(bào)的最優(yōu)化模型。三 模型求解令，可得最優(yōu)性條件為?？梢匀缦吕斫猓骸⒎謩e為一份報(bào)紙?jiān)谫u出時(shí)所得利潤和在賣不出去時(shí)所受損失；、分別表示顧客對報(bào)紙的需求量不足和超過的概率，假設(shè)購進(jìn)份報(bào)紙是最優(yōu)的，那么考慮購買份報(bào)紙，多增加的那一份報(bào)紙所能給報(bào)童帶來利潤與損失從數(shù)學(xué)期望的角度將是“接近”相等的。讀者可以給出視為離散變量處理時(shí)，模型的描述

20、與模型解的最優(yōu)性條件。4.4 隨機(jī)貯存模型策略 由于顧客對一種商品的需求是隨機(jī)的，因此在實(shí)際生活中，還有一種進(jìn)貨策略策略被廣為采用：商店老板每隔一定時(shí)間要對商品的存貨進(jìn)行清點(diǎn)，只有當(dāng)存貨數(shù)量不足時(shí)才決定進(jìn)貨，且一次進(jìn)貨的訂貨量取與當(dāng)前存貨數(shù)量的差值。一 模型假設(shè)假設(shè)商店經(jīng)營的商品單一，商店采用周期進(jìn)貨策略：每隔一定時(shí)間，比方一周，商店老板要對商品的存貨進(jìn)行清點(diǎn)，以決定是否進(jìn)貨。只有當(dāng)存貨數(shù)量不足時(shí)才決定進(jìn)貨，且一次進(jìn)貨的訂貨量取與當(dāng)前存貨數(shù)量的差值，表示進(jìn)貨量；顧客在一周時(shí)間內(nèi)對該物品的需求量是一隨機(jī)變量，表示隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)；商店在一周可能支付的費(fèi)用有：每次的訂貨費(fèi)，其取值與進(jìn)貨數(shù)量無

21、關(guān)；每件商品在一周的貯存費(fèi)。、分別表示一件商品的購進(jìn)價(jià)格和售出價(jià)格；商店在一周的銷售活動(dòng)全部集中在一周的周初，因此商店須為剩余商品支付一周的貯存費(fèi)用；二 模型建立首先考慮的確定，設(shè)當(dāng)前存貨數(shù)量，且決定進(jìn)貨，這時(shí)進(jìn)貨數(shù)量成為決策變量。和報(bào)童賣報(bào)一樣，的取值應(yīng)當(dāng)在期望值的意義上使得利潤最大化。為進(jìn)貨數(shù)量取，而需求量為時(shí)商店在下周的利潤。取其數(shù)學(xué)期望，得：若記，則。三 模型求解令，得最優(yōu)性條件： ，其經(jīng)濟(jì)意義和對報(bào)童購報(bào)的訣竅導(dǎo)出的最優(yōu)性條件的解釋是類似的，不在贅述。我們也直接從最優(yōu)性條件獲得，不論當(dāng)前存貨數(shù)量取何值，只要決定進(jìn)貨，那么最優(yōu)的訂貨量總是使得下期起初的貨物量達(dá)到確定的值： ，即應(yīng)滿足。

22、按照前面的進(jìn)貨策略，根據(jù)當(dāng)前存貨數(shù)量，要么選擇進(jìn)貨，這時(shí)下周銷售利潤的期望；要么選擇不進(jìn)貨，這時(shí)下周銷售利潤的期望。顯然，若時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇不進(jìn)貨。如圖所示，函數(shù)在上通常為一單峰曲線，可得，也即關(guān)于變量方程在內(nèi)的解。四 點(diǎn)評在本章涉及的四個(gè)貯存模型均被歸結(jié)為最優(yōu)化問題，或成本最小化，或利潤最大化，這并非偶然，因?yàn)槿祟愃鶑氖碌囊磺猩a(chǎn)或社會(huì)活動(dòng)均是有目的的，其行為總是在特定的價(jià)值觀念或?qū)徝廊∠虻闹湎逻M(jìn)行的，因此，當(dāng)可行方案不唯一的前提下，總是在某中評價(jià)指標(biāo)下選擇最優(yōu)的方案。可以說，最優(yōu)化思想和方法是數(shù)學(xué)建模的靈魂。另外，在兩個(gè)隨機(jī)性模型分析中，目標(biāo)函數(shù)選擇利潤函數(shù)，其避免了在“允許缺貨的貯存模型”

23、討論中的許多含糊的地方。第五章 幾個(gè)經(jīng)濟(jì)模型5.1 實(shí)物交換模型一 問題分析與模型假設(shè):討論甲、乙雙方，限于A、B兩種物品；以、分別表示甲方、乙方擁有A、B兩種物品的量，以、分別表示甲方、乙方相應(yīng)的滿意程度，稱之為滿意度函數(shù)；以、分別表示甲方、乙方在交易前擁有A、B兩種物品的量。二 模型建立：顯然甲、乙雙方均希望通過交易以得到更大的滿意度，即從甲方的角度，應(yīng)極大化，從乙方的角度，應(yīng)極大化，當(dāng)然還應(yīng)考慮一些約束條件，我們一并歸結(jié)為如下多目標(biāo)最優(yōu)化問題：三 模型求解：作定性的分析，滿意度函數(shù)、應(yīng)具有如下性質(zhì)：滿意度函數(shù)連續(xù)、非負(fù)，且對各自變量單調(diào)遞增，即；考察滿意度函數(shù)的等值線（族），這里稱之為甲

24、方的無差別曲線（族），應(yīng)滿足：對不同的二常數(shù)，無差別曲線與不交；若將視為一隱函數(shù)，變量對于變量單調(diào)遞減；曲線為下凸的，即在通常情況下，人們當(dāng)在擁有一種物品（A）的量相對多時(shí)，傾向以較多的這種物品（A）來換取較少的另一種物品（B）。而滿足如上特點(diǎn)的函數(shù)類有很多，比如（其中為參數(shù)）、（其中為參數(shù)）、（其中為參數(shù)）等。進(jìn)而可得，問題的一個(gè)有效解須滿足的必要條件：，；，即；，。所有有效解構(gòu)成一段有限曲線段，稱之為交換路徑。5.2 經(jīng)濟(jì)增長模型問題：大到一個(gè)國家的國民產(chǎn)值，小到一個(gè)企業(yè)中某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量，其值通常取決于相關(guān)的生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力等重要因素。而這些量之間究竟存在何種依賴關(guān)系，進(jìn)而勞動(dòng)生產(chǎn)率提高

25、的條件是什么？一 模型假設(shè)生產(chǎn)量，只取決于兩個(gè)重要因素：生產(chǎn)資料（廠房、設(shè)備、技術(shù)革新等）和勞動(dòng)力（數(shù)量、素質(zhì)等），即；另外，這幾個(gè)量又是隨著時(shí)間的變化而不斷改變的，因此也把它們視為時(shí)間的函數(shù)：、，在勞動(dòng)生產(chǎn)率增長的條件的討論中，服從指數(shù)增長規(guī)律，相對增長率為常數(shù)，而的增長率正比于生產(chǎn)量，即將按照某一固定比率用于生產(chǎn)（資料）性擴(kuò)大再生產(chǎn)投資；勞動(dòng)生產(chǎn)率可由生產(chǎn)量與勞動(dòng)力之比來表征。定性分析，關(guān)于均單調(diào)增，即二 模型建立與求解道格拉斯（Douglas）生產(chǎn)函數(shù)在附表中美國馬薩諸塞州18901926年生產(chǎn)資料指數(shù)、勞動(dòng)力指數(shù)與總產(chǎn)量指數(shù)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，取1899年為基年，即，以此為參照，也許我們很

26、難直接從表上發(fā)現(xiàn)什么，但若定義，并作的散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)基本上服從正比例關(guān)系，利用數(shù)據(jù)擬合，可得。這一結(jié)果并非偶然，事實(shí)上它被后來更多地區(qū)或國家的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所肯定：存在常數(shù)，。當(dāng)然常數(shù)取值通常和相應(yīng)地區(qū)或國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展階段以及主要產(chǎn)業(yè)類型等因素有關(guān)。 進(jìn)而可得：，即（這里），它是著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)。由此不難得到，即生產(chǎn)量、生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力三者的相對增長率服從簡單的線性規(guī)律。其中系數(shù)分別為產(chǎn)量對勞動(dòng)力、生產(chǎn)資料的彈性系數(shù)，說明產(chǎn)量增長主要靠勞動(dòng)力的增長；說明產(chǎn)量增長主要靠生產(chǎn)資料的增長。附表：美國馬薩諸塞州18901926年數(shù)據(jù)-90.950.780.7241.221.221.301

27、73.611.862.09-80.960.810.7851.271.171.30184.101.931.96-70.990.850.8461.371.301.42194.361.962.20-60.960.770.7371.441.391.50204.771.952.12-50.930.720.7281.531.471.52214.751.902.16-40.860.840.8391.571.311.46224.541.582.08-30.820.810.81102.051.431.60234.541.672.24-20.920.890.93112.511.581.69244.581.822.

28、56-10.920.910.96122.631.591.81254.581.602.3401.001.001.00132.741.661.93264.581.612.4511.041.051.05142.821.681.95274.541.642.5821.061.081.18153.241.652.0131.161.181.29163.241.622.00勞動(dòng)生產(chǎn)率增長的條件：根據(jù)模型假設(shè)，勞動(dòng)生產(chǎn)率，其持續(xù)增長的條件應(yīng)為恒成立?？紤]我們討論的幾個(gè)主要經(jīng)濟(jì)變量通常均恒取正值，故可以等價(jià)地用勞動(dòng)生產(chǎn)率的相對增長率來刻劃。將代入，得，兩邊同時(shí)取對數(shù)，然后對求導(dǎo)，可得：令之恒取正值，得等價(jià)條件：恒

29、成立，即對生產(chǎn)資料投入的相對增長率恒大于勞動(dòng)力的相對增長率。同樣根據(jù)模型假設(shè)，、為如下初值問題的解，得，。因此，就這一具體經(jīng)濟(jì)增長模式，其恒取正值的充分必要條件為，其經(jīng)濟(jì)意義為：只要在初始時(shí)，對生產(chǎn)資料的相對增長率大于勞動(dòng)力的相對增長率，就能保證勞動(dòng)生產(chǎn)率的不斷增長，反之，勞動(dòng)生產(chǎn)率只會(huì)不斷降低。三點(diǎn)評在本文中Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的給出，是通過對大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上得到的。統(tǒng)計(jì)分析方法是一類重要的數(shù)學(xué)建模途徑：首先對一些變量或他們的導(dǎo)出變量之間的關(guān)系，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作定性的分析判斷，比方文中提及的借助對一些變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖的直觀表現(xiàn)作定性分析，然后在用數(shù)據(jù)擬合等方法給出相應(yīng)變

30、量間的具體函數(shù)依賴關(guān)系。另外一類建模方法這里稱之為機(jī)理分析方法，盡管一些變量間的依賴關(guān)系難于把握，但它們的某些導(dǎo)出變量之間所服從的規(guī)律卻是相對簡單的，比方一些變量的變化率、相對變化率等。這樣，我們通常首先得到的是我們所關(guān)心的變量的一些微分方程（組）或積分方程（組），然后通過解析的或數(shù)值的方法給出具體的解，這樣的例子可參考幾個(gè)人口增長模型的建立。另外，盡管Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的導(dǎo)出在本文中介紹的是采用統(tǒng)計(jì)分析方法的途徑，但對其最終形式的表現(xiàn)，我們注意到有如下特點(diǎn)：其中，且。若用財(cái)富的單位來統(tǒng)一考察生產(chǎn)量、生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力等三個(gè)量，生產(chǎn)函數(shù)的形式符合量綱齊次原則。量綱分析是20世紀(jì)初被

31、提出的在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一種方法，而其方法的核心思想量綱齊次原則，要求當(dāng)用數(shù)學(xué)公式表示一個(gè)物理定律時(shí)，等號(hào)兩端必須保持量綱一致。事實(shí)上，對經(jīng)濟(jì)增長條件的討論，后來學(xué)者的研究工作對生產(chǎn)值（量）的影響因素已不局限于只對生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力兩個(gè)量的考慮，而是將像對科技進(jìn)步、對教育的投入等比較重要的量作為獨(dú)立的生產(chǎn)要素加以討論，所用模型是對Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的擴(kuò)展，而上述量綱齊次原則被先驗(yàn)地利用起來。5.3 多人合作分益模型與公理化方法建模問題：設(shè)想n個(gè)人從事某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng), 對于他們之中若干人組合的每一種合作 (特別, 單人也視為一種合作), 都會(huì)得到一定的效益, 當(dāng)人們之間的利益是

32、非對抗性的, 合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少, 這樣, 全體n個(gè)人的合作將帶來最大效益. n個(gè)人組成的集合及各種可能合作的效益就構(gòu)成n人合作對策, 而一個(gè)重要的問題是如何將合作收益合理的分配給每個(gè)人, Shapley L. S.應(yīng)用公理化方法在1953年給出了解決該問題的一種方法Shapley值.一 模型假設(shè)個(gè)人或合作主體地位平等，其利益非對抗；對于他們之中的任何一種組合均被視為某種合作且可創(chuàng)造一定的收益，合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少。這樣，全體個(gè)人的合作將帶來最大的效益，而個(gè)人單干時(shí)所收到的整體效益最小。二 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，合作收益是集合的冪集合上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),滿足： ；對

33、任意，均有。稱任何滿足如上性質(zhì)的函數(shù)為n人合作對策的特征函數(shù)。以表示對應(yīng)合作收益的一個(gè)合作對策的分配算法，表示第個(gè)人按照算法從最大的合作效益中分得的份額。我們的目標(biāo)是構(gòu)造盡可能合理的分配算法。三 模型求解Shapley值：許多類似的問題的解答，合理性有賴于特定的價(jià)值體系。在這里我們給出三條準(zhǔn)則Shapley公理：對稱性：設(shè)均為n人合作對策的特征函數(shù)，若存在上的一置換（即到自身的一個(gè)一一映射，可以理解為的一全排列），使得（這里，必有。它可以被理解為每人的分配只與他在合作中發(fā)揮的作用有關(guān)，而與他被賦予的記號(hào)無關(guān)；有效性：若某成員，對均有，則；另外。該公理表示，若某成員對于他參加的任何一個(gè)合作都不會(huì)

34、帶來效益，那他不應(yīng)當(dāng)從全體合作的收益中獲得報(bào)酬，而各成員所分得的報(bào)酬之和應(yīng)等于全體合作的收益；可加性：設(shè)均為n人合作對策的特征函數(shù)，不難證明：對均有同樣為n人合作對策的一個(gè)特征函數(shù)，此時(shí)應(yīng)有。該公理表示當(dāng)同時(shí)進(jìn)行兩項(xiàng)合作時(shí)，而各成員所分得的報(bào)酬應(yīng)等于兩項(xiàng)合作分別分配的收益之和。Shapley利用邏輯推理的方法證明，存在唯一的滿足以上三條公理的效益分配算法：表示集合中元素的個(gè)數(shù)。四 點(diǎn)評這里并不打算討論Shapley值的推導(dǎo)和給出過程,而是試圖對其結(jié)果作一些后驗(yàn)的分析,發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果完全可以避開構(gòu)造和求解方程組,而只作一些適當(dāng)?shù)睦硇运伎季涂山o出.事實(shí)上,在利益分配中容易出現(xiàn)矛盾通常是因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)分配

35、規(guī)則是由別人制訂的,而類似的規(guī)則由你同樣也能夠制訂,你和你的合作伙伴的力量是相對均衡的.相反,當(dāng)你面對大自然時(shí),你只能適應(yīng),很少表現(xiàn)不滿.為此,每個(gè)人都可將他的合作伙伴視為客觀世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然隨機(jī)呈現(xiàn)在你面前的一次機(jī)會(huì),你可以乘其之便從中最大限度獲得地獲得好處.為此給出中的一個(gè)全排列其中, 則可表示出現(xiàn)在 面前可供其選擇的合作機(jī)會(huì),若 加入, 則可增加收益若將增加的這部分收益全部給 ,顯然從 的角度看, 他應(yīng)相當(dāng)滿意.然而這種機(jī)會(huì)的出現(xiàn)是隨機(jī)的, 恰出現(xiàn)在之前, 而恰好出現(xiàn)在之后的概率為. 在具有隨機(jī)性的客觀世界面前, 只能取走所有可能合作增加效益的平均值數(shù)學(xué)期望.從這

36、個(gè)例子說明, 對實(shí)際問題的重視, 可以為理論研究挖掘豐富多彩的素材, 而就后來對結(jié)果所作的分析, 我們也看到科學(xué)研究同樣不排斥近乎玄的想象力, 純粹計(jì)算、求解并非構(gòu)成數(shù)學(xué)的全部, 合理的想象可以直接給出漂亮的結(jié)果.5.3 多人合作分益模型與公理化方法建模問題：設(shè)想n個(gè)人從事某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng), 對于他們之中若干人組合的每一種合作 (特別, 單人也視為一種合作), 都會(huì)得到一定的效益, 當(dāng)人們之間的利益是非對抗性的, 合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少, 這樣, 全體n個(gè)人的合作將帶來最大效益. n個(gè)人組成的集合及各種可能合作的效益就構(gòu)成n人合作對策, 而一個(gè)重要的問題是如何將合作收益合理的分配給每個(gè)

37、人, Shapley L. S.應(yīng)用公理化方法在1953年給出了解決該問題的一種方法Shapley值.一 模型假設(shè)個(gè)人或合作主體地位平等，其利益非對抗；對于他們之中的任何一種組合均被視為某種合作且可創(chuàng)造一定的收益，合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少。這樣，全體個(gè)人的合作將帶來最大的效益，而個(gè)人單干時(shí)所收到的整體效益最小。二 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，合作收益是集合的冪集合上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),滿足： ；對任意，均有。稱任何滿足如上性質(zhì)的函數(shù)為n人合作對策的特征函數(shù)。以表示對應(yīng)合作收益的一個(gè)合作對策的分配算法，表示第個(gè)人按照算法從最大的合作效益中分得的份額。我們的目標(biāo)是構(gòu)造盡可能合理的分配算法。三 模型

38、求解Shapley值：許多類似的問題的解答，合理性有賴于特定的價(jià)值體系。在這里我們給出三條準(zhǔn)則Shapley公理：對稱性：設(shè)均為n人合作對策的特征函數(shù)，若存在上的一置換（即到自身的一個(gè)一一映射，可以理解為的一全排列），使得（這里，必有。它可以被理解為每人的分配只與他在合作中發(fā)揮的作用有關(guān)，而與他被賦予的記號(hào)無關(guān)；有效性：若某成員，對均有，則；另外。該公理表示，若某成員對于他參加的任何一個(gè)合作都不會(huì)帶來效益，那他不應(yīng)當(dāng)從全體合作的收益中獲得報(bào)酬，而各成員所分得的報(bào)酬之和應(yīng)等于全體合作的收益；可加性：設(shè)均為n人合作對策的特征函數(shù)，不難證明：對均有同樣為n人合作對策的一個(gè)特征函數(shù)，此時(shí)應(yīng)有。該公理表

39、示當(dāng)同時(shí)進(jìn)行兩項(xiàng)合作時(shí)，而各成員所分得的報(bào)酬應(yīng)等于兩項(xiàng)合作分別分配的收益之和。Shapley利用邏輯推理的方法證明，存在唯一的滿足以上三條公理的效益分配算法：表示集合中元素的個(gè)數(shù)。四 點(diǎn)評這里并不打算討論Shapley值的推導(dǎo)和給出過程,而是試圖對其結(jié)果作一些后驗(yàn)的分析,發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果完全可以避開構(gòu)造和求解方程組,而只作一些適當(dāng)?shù)睦硇运伎季涂山o出.事實(shí)上,在利益分配中容易出現(xiàn)矛盾通常是因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)分配規(guī)則是由別人制訂的,而類似的規(guī)則由你同樣也能夠制訂,你和你的合作伙伴的力量是相對均衡的.相反,當(dāng)你面對大自然時(shí),你只能適應(yīng),很少表現(xiàn)不滿.為此,每個(gè)人都可將他的合作伙伴視為客觀世界的一部分,而每一次可

40、能的合作是大自然隨機(jī)呈現(xiàn)在你面前的一次機(jī)會(huì),你可以乘其之便從中最大限度獲得地獲得好處.為此給出中的一個(gè)全排列其中, 則可表示出現(xiàn)在 面前可供其選擇的合作機(jī)會(huì),若 加入, 則可增加收益若將增加的這部分收益全部給 ,顯然從 的角度看, 他應(yīng)相當(dāng)滿意.然而這種機(jī)會(huì)的出現(xiàn)是隨機(jī)的, 恰出現(xiàn)在之前, 而恰好出現(xiàn)在之后的概率為. 在具有隨機(jī)性的客觀世界面前, 只能取走所有可能合作增加效益的平均值數(shù)學(xué)期望.從這個(gè)例子說明, 對實(shí)際問題的重視, 可以為理論研究挖掘豐富多彩的素材, 而就后來對結(jié)果所作的分析, 我們也看到科學(xué)研究同樣不排斥近乎玄的想象力, 純粹計(jì)算、求解并非構(gòu)成數(shù)學(xué)的全部, 合理的想象可以直接給

41、出漂亮的結(jié)果.5.4 投入產(chǎn)出分析模型問題：大到國家甚至整個(gè)國際社會(huì)，小到一家企業(yè)，我們均可以將其視為一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系來加以考察。一個(gè)國家其國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)組成部分間、一家企業(yè)的不同車間部門或產(chǎn)品間，投入與產(chǎn)出存在怎樣的相互依存關(guān)系，對其進(jìn)行合理準(zhǔn)確的建模分析為管理者做出科學(xué)的決策有著非常重要的意義。特別對于一家大型的工業(yè)制造企業(yè)，其部門數(shù)、原料與產(chǎn)品種類通常都比較多，且不同部門不同產(chǎn)品的間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系非常緊密，生產(chǎn)計(jì)劃、產(chǎn)品價(jià)格的科學(xué)制定，原材料的順利采購等均直接關(guān)系企業(yè)的效益。投入產(chǎn)出法最早是有美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦西里列昂剔夫在20世紀(jì)30年代初提出的，迄今已發(fā)展為一個(gè)內(nèi)容相當(dāng)豐富并有著廣泛應(yīng)用的方

42、法體系。本文只介紹體系中最基本的一個(gè)方法模型。模型假設(shè)考慮一家大型的工業(yè)制造企業(yè)，按照產(chǎn)品來劃分其組成部門：種自產(chǎn)產(chǎn)品，種外購原料，其中自產(chǎn)產(chǎn)品有一部分是供應(yīng)市場需求的，也有一部分是在生產(chǎn)其它產(chǎn)品時(shí)作為原料而被中間消耗；每一種產(chǎn)品的生產(chǎn)均有穩(wěn)定的技術(shù)條件：、分別表示生產(chǎn)單位第種產(chǎn)品需要消耗的第種自產(chǎn)產(chǎn)品、第種外購原料的量，分別稱之為對自產(chǎn)產(chǎn)品、外購原料的直接消耗系數(shù)，它們均為常數(shù)，與產(chǎn)品的產(chǎn)量無關(guān)；、分別表示在某一時(shí)期自產(chǎn)產(chǎn)品的總產(chǎn)（向）量、最終產(chǎn)出（供應(yīng)市場需求的）（向）量、對自產(chǎn)產(chǎn)品的直接消耗（向）量，以及對外購原料的直接消耗（向）量。二 模型建立若記、，分別稱之為對自產(chǎn)產(chǎn)品、外購原料的直

43、接消耗系數(shù)矩陣，根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：模型中第一個(gè)方程是一平衡模型方程，而后兩個(gè)分別稱之為中間（對自產(chǎn)產(chǎn)品的）消耗、原始（對外購原料的）消耗函數(shù)模型。顯然，模型中所涉及的變量所服從的關(guān)系是線性的，稱之為線性投入產(chǎn)出模型。三 模型求解從所建模型可得，若矩陣可逆（表示階單位矩陣），則有，即考慮中間消耗，一家企業(yè)在接到的市場需求定單后，需要組織的實(shí)際生產(chǎn)總量和為此需準(zhǔn)備的外購原料量。特別當(dāng)各種外購原料的單位價(jià)格已知的情況下，還可以算出各種產(chǎn)品的理論成本。矩陣可逆嗎？其逆矩陣如何計(jì)算？下面給出理論回答。定理：對于方陣，若（此時(shí)稱矩陣非負(fù)，記為）；、，（此時(shí)稱向量非負(fù)，記為），使得則：矩陣可逆

44、，且。證明：（只須證明在題設(shè)條件下收斂即可）這里記，因?yàn)榫仃嚪秦?fù)，容易得非負(fù)且單調(diào)增，；另一方面，有界（即指有界）:由已知具有特點(diǎn): ,. 又, 所以, 即各分量間有一致的關(guān)系. 考慮二次間接消耗.依此類推, ,即對任意,我們有，即. 特別. 推出. 所以為有界數(shù)列. 因此當(dāng)時(shí)必收斂, 即收斂.記，稱之為對自產(chǎn)產(chǎn)品的完全消耗系數(shù)矩陣，而以上定理也被稱為完全消耗系數(shù)的存在性定理。四 點(diǎn)評以下是一張簡單的投入產(chǎn)出表（外購原料部分略）, 它是投入產(chǎn)出分析模型應(yīng)用的基礎(chǔ)：中 間 產(chǎn) 出最終產(chǎn)出總產(chǎn)出12n合計(jì)中間投入12n假定一個(gè)企業(yè)或經(jīng)濟(jì)部門生產(chǎn)n種產(chǎn)品, 這n種產(chǎn)品又在生產(chǎn)中同時(shí)又被作為原料, 該

45、投入產(chǎn)出表反映這一產(chǎn)業(yè)在某一生產(chǎn)周期內(nèi)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果: 表示第i種產(chǎn)品在生產(chǎn)第j種產(chǎn)品時(shí)作為原料企業(yè)自己消耗的數(shù)量, 表示在該周期中企業(yè)自己消耗第i種產(chǎn)品的數(shù)量, 則表示作為投放市場的最終產(chǎn)出部分, 則表示第i種產(chǎn)品的總產(chǎn)量.表示生產(chǎn)每單位第j種產(chǎn)品消耗掉第i種產(chǎn)品的數(shù)量, 即直接消耗系數(shù),直接消耗系數(shù)矩陣反映了一個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品生產(chǎn)工藝.而由此得到的直接消耗系數(shù)矩陣，通常自然地滿足完全消耗系數(shù)的存在性定理的題設(shè)條件。以下給出完全消耗系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義解釋：考慮中間（對自產(chǎn)產(chǎn)品的）消耗函數(shù)模型, 顯然為得到原料, 企業(yè)須先投入, 稱之為二次間接消耗向量, 依此類推, 可有三次間接消耗, 四次間接消耗, 依

46、此得到一個(gè)無窮鏈條, 為生產(chǎn), 須投入,稱之為完全消耗向量, 根據(jù)完全消耗系數(shù)的存在性定理該無窮和式收斂，而不會(huì)是和向量的某一分量趨于無窮大, 使得生產(chǎn)沒有意義。借助線性代數(shù)的特征值理論, 同樣可以給出完全消耗系數(shù)的存在性定理的證明, 然而作為對一個(gè)很典型的經(jīng)濟(jì)問題的研究, 該論證方式對模型內(nèi)在的經(jīng)濟(jì)意義揭示很少,而本文的論證過程充分利用了投入產(chǎn)出表的特點(diǎn),其過程非常簡明,避免了一些相當(dāng)專業(yè)化的理論，這也部分揭示了多數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題具有許多好的性質(zhì)。第六章 軍事模型6.1 核武器競賽問題：甲乙雙方（兩國），均將對方視為假想敵，在某種“國家安全”的定義下發(fā)展核武器，展開核軍備競賽。問題：在這場核軍

47、備競賽中，雙方擁有的核武器會(huì)無限增長呢，還是存在某種平衡狀態(tài)？一 模型假設(shè)分別以、表示甲乙雙方擁有的核武器數(shù)目，這里視之為非負(fù)實(shí)數(shù)（即連續(xù)型變量），以、表示甲乙雙方對對方施行一次致命性打擊所需的核武器數(shù)目；甲乙雙方的“國家安全”概念均采用保守定義：即在招到對方“傾瀉性”核打擊后，保證有足夠的核武器被保存下來以給對方致命的還擊；分別以、（）表示甲乙雙方，其一枚核彈頭在遭受對方一枚核彈頭襲擊后有可能被保存下來的概率，這里假定不同核彈頭在遭受對方一枚核彈頭襲擊后有可能被保存下來的機(jī)會(huì)是相對獨(dú)立的。二 模型建立定性分析模型：應(yīng)當(dāng)存在二函數(shù)、，分別表示當(dāng)甲乙雙方擁有的核武器數(shù)目為、時(shí)，對方在遵照模型假設(shè)

48、中所給出的有關(guān)“國家安全”概念，乙方、甲方所應(yīng)擁有最少的核武器數(shù)目。即當(dāng)甲方擁有的核武器數(shù)目為時(shí)，須有時(shí)，乙方才會(huì)確認(rèn)自己是安全的。顯然，、均應(yīng)當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)。這里稱為雙方安全區(qū)，是核軍備競賽的穩(wěn)定區(qū)域。問：是否為空集？若為空集，即說明核軍備競賽是沒有盡頭的，其終究構(gòu)成人類持久和平愿望的最大威脅。所附四圖僅僅是在雙方安全曲線滿足單調(diào)增函數(shù)的條件下給出的四種可能情形，有陰影存在的區(qū)域表示存在雙方安全區(qū)。但實(shí)際當(dāng)中應(yīng)當(dāng)是哪一種呢？定量分析模型：在前述模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，不難得到：，即、分別為甲乙雙方的安全曲線，而上面附圖的后三幅給出的三種可能的典型情形，顯然第四幅表示與兩者至少有一個(gè)滿足時(shí)方可出現(xiàn)。

49、 在模型中涉及到的幾個(gè)參數(shù)的取值，比如影響的主要因素可以考慮雙方的國土、一枚核彈爆炸的破壞力，以及各自的防空能力。三 模型分析通過定量分析模型得到的結(jié)果表明，核武器競賽是不容樂觀的，要么不存在穩(wěn)定區(qū)域，要么穩(wěn)定區(qū)域是一有界區(qū)域。也即表明建立在本文“安全概念”基礎(chǔ)上的核武器競賽從根本上應(yīng)當(dāng)撇棄，因?yàn)榧词乖诜€(wěn)定區(qū)域非空，由于某一方（或雙方）不克制的態(tài)度最終導(dǎo)致核武器競賽的災(zāi)難性后果。這一結(jié)果與我們對當(dāng)前國際上一些有核國家在發(fā)展核武器的現(xiàn)狀有一定距離，考察本模型，應(yīng)當(dāng)注意的是在第二條模型假設(shè)中提到的“安全概念”，事實(shí)上，一個(gè)和平國家在發(fā)展核武器時(shí)所遵循的原則是在遭到強(qiáng)大敵國的全面入侵，核武器應(yīng)當(dāng)作為

50、一種先發(fā)性威懾力量而進(jìn)行有效阻止而不應(yīng)當(dāng)作為一種后發(fā)性的在已遭到毀滅性打擊后的純粹報(bào)復(fù)行為。事實(shí)上在保留模型假設(shè)二中提到的“安全概念”，對其余假設(shè)作更為貼近問題真相的改進(jìn)只能導(dǎo)出對核武器競賽的前途更加悲觀的結(jié)論。四 點(diǎn)評本例是在作了相當(dāng)程度的簡化假設(shè)下考慮了核武器競賽問題，我們很難期望模型能對所考慮問題給出比較樂觀的指導(dǎo)意義，但其整個(gè)建模過程卻對我們有很大的啟發(fā)：定性分析與定量分析：在對一個(gè)應(yīng)用問題分析，通常包括定性分析與定量分析這樣兩個(gè)有機(jī)統(tǒng)一的環(huán)節(jié)，定性分析是數(shù)學(xué)建模的初級(jí)階段，在這一環(huán)節(jié)著力解決隨機(jī)性模型：建模的最終目的在于應(yīng)用：6.2 戰(zhàn)爭模型一問題分析影響一個(gè)軍隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力的因素是多方面

51、的，比方士兵人數(shù)、單個(gè)士兵的作戰(zhàn)素質(zhì)以及部隊(duì)的軍事裝備，而具體到一次戰(zhàn)爭的勝負(fù)，部隊(duì)采取的作戰(zhàn)方式同樣至關(guān)重要，此時(shí)作戰(zhàn)空間同樣成為討論一個(gè)作戰(zhàn)部隊(duì)整體戰(zhàn)斗力的一個(gè)不可忽略的因素。本節(jié)介紹幾個(gè)作戰(zhàn)模型，導(dǎo)出評估一個(gè)部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力的一些方法，以預(yù)測一場戰(zhàn)爭的大致結(jié)局?？傄浴⒈硎炯滓医粦?zhàn)雙方在時(shí)刻的兵力，不妨視為雙方的士兵人數(shù)，、表示甲乙雙方在開戰(zhàn)時(shí)的初始兵力，顯然。在整個(gè)戰(zhàn)爭期間，雙方的兵力在不斷發(fā)生變化，而影響兵力變化主要有如下三個(gè)因素：戰(zhàn)斗減員率，它取決于雙方的兵力，不妨以、分別表示甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率；非戰(zhàn)斗減員率，比方由于疾病或逃跑等因素導(dǎo)致一個(gè)部隊(duì)減員，它通常可被設(shè)與本方的兵力成正比，

52、比例系數(shù)分別對應(yīng)甲乙雙方；增援率，它通常取決于一個(gè)已投入戰(zhàn)爭部隊(duì)以外的因素，甲乙雙方的增援率函數(shù)分別以表示。由此，可以得到一般的戰(zhàn)爭模型：而評價(jià)雙方的勝負(fù)，總認(rèn)定兵力先降為“零”（全部投誠或被殲滅）的一方為敗。以下分正規(guī)戰(zhàn)和游擊戰(zhàn)來討論。二 正規(guī)作戰(zhàn)模型模型假設(shè)：不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；甲乙雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)，每一方士兵的活動(dòng)均公開，處于對方士兵的監(jiān)視與殺傷范圍之內(nèi)，一旦一方的某個(gè)士兵被殺傷，對方的火力立即轉(zhuǎn)移到其他士兵身上。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率僅與對方的兵力有關(guān)，簡單的設(shè)為是正比關(guān)系，以、分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵在單位時(shí)間的殺傷力。若以、分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵的射擊率，它們通常

53、主要取決于部隊(duì)的武器裝備；以、分別表示甲乙雙方士兵一次射擊的（平均）命中率，它們主要取決于士兵的個(gè)人素質(zhì)，則有、。模型建立：根據(jù)模型假設(shè)，得正規(guī)作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型：模型求解：從模型方程得到，進(jìn)而得該模型的解滿足：不難發(fā)現(xiàn)，甲方獲勝的充要條件為，即。進(jìn)一步可得甲方獲勝的充要條件為，從其形式，可以發(fā)現(xiàn)一種用于正規(guī)作戰(zhàn)部隊(duì)的綜合戰(zhàn)斗力的評價(jià)函數(shù)，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評價(jià)函數(shù)可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、士兵一次射擊的（平均）命中率（士兵的個(gè)人素質(zhì)）、士兵數(shù)的平方均服從正比例關(guān)系，這樣在三個(gè)因素中只有條件使其中的一個(gè)提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時(shí)，顯然要選士兵數(shù)的增加，它可以帶來部隊(duì)

54、綜合戰(zhàn)斗力四倍的提升。因此，正規(guī)作戰(zhàn)模型又被稱為平方率模型。三 游擊作戰(zhàn)模型模型假設(shè)：不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；甲乙雙方均以游擊作戰(zhàn)方式，每一方士兵的活動(dòng)均具有隱蔽性，對方的射擊行為局限在某個(gè)范圍考慮可以被認(rèn)為是盲目的。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率不光與對方的兵力有關(guān)，同樣設(shè)為是正比關(guān)系；而且與自己一方的士兵數(shù)有關(guān)，這主要是由于其活動(dòng)空間的限制所引起的，士兵數(shù)越多，其分布密度會(huì)越大，顯然二者服從正比例關(guān)系，這樣對方投來的一枚炮彈的平均殺傷力（期望值）也會(huì)服從正比例關(guān)系增加；若以、分別表示甲乙雙方的有效活動(dòng)區(qū)域的面積，以、分別表示甲乙雙方一枚炮彈的有效殺傷范圍的面積，以、分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵

55、的射擊率，、主要取決于部隊(duì)的武器裝備的性能和貯備；、也取決于士兵的個(gè)人素質(zhì)。模型建立：根據(jù)模型假設(shè)，得游擊作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型：模型求解：從模型方程得到，進(jìn)而得該模型的解滿足：不難發(fā)現(xiàn)，甲方獲勝的充要條件為，即。從其形式，可以發(fā)現(xiàn)一種用于游擊作戰(zhàn)部隊(duì)的綜合戰(zhàn)斗力的評價(jià)函數(shù)，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評價(jià)函數(shù)可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、炮彈的有效殺傷范圍的面積、部隊(duì)的有效活動(dòng)區(qū)域的面積、士兵數(shù)四者均服從正比例關(guān)系，這樣在四個(gè)要素中只要有條件使其中的一個(gè)提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時(shí)，它們均可以帶來部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力成倍的提升，即沒有像在正規(guī)作戰(zhàn)模型中所表現(xiàn)出的差別。特別考慮士兵數(shù)在表達(dá)式

56、中的地位，游擊作戰(zhàn)模型又被稱為線性率模型。四 混合作戰(zhàn)模型（思考題）最后，直接給出一個(gè)混合作戰(zhàn)模型：讀者試著理解其意義，并通過求解給出甲方取勝的條件。第七章 生態(tài)學(xué)模型7.1 微分方程穩(wěn)定性理論簡介一 基本概念考慮維空間中的向量值函數(shù)，當(dāng)、時(shí)我們可以將之想象為平面或空間中一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)曲線，它描述質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位置。許多物理或社會(huì)系統(tǒng)均可以被一組形如的微分方程描述，簡記為，其中，通常稱之為自治的動(dòng)力系統(tǒng)。稱點(diǎn)為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，若。這時(shí)為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)奇解。平衡點(diǎn)在對一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析中具有特殊的意義，稱動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是（漸近）穩(wěn)定的，若對該動(dòng)力系統(tǒng)的任一解，均有。例：求解微分方程組 的

57、平衡點(diǎn)，并討論其穩(wěn)定性。解：很容易該微分方程組的唯一平衡點(diǎn)；由已知微分方程組可以得到，進(jìn)而，對該微分方程組的任一解，因此，因此平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。讀者可以自己驗(yàn)證是微分方程組的唯一平衡點(diǎn)，但不是穩(wěn)定的。對于一個(gè)齊次的線性微分方程組（為一階實(shí)方陣），有如下結(jié)果：定理：若非退化，則是線性動(dòng)力系統(tǒng)唯一平衡點(diǎn)，且平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的充分必要條件為的所有特征值的實(shí)部均小于0。二 二階方程平衡點(diǎn)的拓?fù)浞诸惻c判別 對于二維平面中（二階方程）的情形，根據(jù)平衡點(diǎn)的局部拓?fù)湫誀罘譃榻Y(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)以及中心等四類，其中鞍點(diǎn)、中心這兩類型的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，而結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)類型的平衡點(diǎn)還可以分為穩(wěn)定與不穩(wěn)定的情形，可參照示意圖。就

58、二階齊次線性微分方程組（），下表給出其平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性：二特征值，平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定，不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定鞍點(diǎn)不穩(wěn)定，穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定，不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定，穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定，不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定，中心不穩(wěn)定（其中、分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部）對于一般的非線性微分方程組的討論，由于其平衡點(diǎn)不存在或者存在但并不唯一，因此需引入局部穩(wěn)定的概念：稱動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是局部（漸近）穩(wěn)定的，若存在，對該動(dòng)力系統(tǒng)的任一解，只要存在某滿足，均有。而對平衡點(diǎn)局部（漸近）穩(wěn)定性的判別，只須對原微分方程的右端項(xiàng)取一階Taylor展式，構(gòu)造線性動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行討論，這里。7.3 種群相互依存問題：自然界中處于同一環(huán)境下

59、兩個(gè)種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的。比方植物與昆蟲，一方面植物為昆蟲提供了食物資源，另一方面，盡管植物可以獨(dú)立生存，但昆蟲的授粉作用又可以提高植物的增長率。事實(shí)上，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系。我們關(guān)心兩個(gè)相互依存的種群，它們之間有著類似于在農(nóng)業(yè)社會(huì)中人和牛的關(guān)系。其發(fā)展和演進(jìn)有著一些什么樣的定性性質(zhì)呢？模型假設(shè)以、表示處于相互依存關(guān)系中甲、乙二種群在時(shí)刻的數(shù)量，種群數(shù)量的增長率與該種群數(shù)量成正比，同時(shí)也與有閑資源成正比；兩個(gè)種群均可以獨(dú)立存在，而可被其直接利用的自然資源有限，均設(shè)為“”，分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量；此外，兩種群的存在均可以促

60、進(jìn)另一種群的發(fā)展，我們視之為另一種群發(fā)展中可以利用的資源，為二折算因子，表示一個(gè)單位數(shù)量的乙可以充當(dāng)種群甲的生存資源的量，表示一個(gè)單位數(shù)量的甲可以充當(dāng)種群乙的生存資源的量；分別表示甲、乙二種群的固有增長率。二 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：經(jīng)化簡，得：三 模型求解令，可得該模型的四個(gè)平衡點(diǎn)：、。 類似于在種群競爭模型中的討論，我們可以得到平衡點(diǎn)均不穩(wěn)定，而只有當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，可以論證它是穩(wěn)定的。7.4 弱肉強(qiáng)食模型問題：在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，種群之間捕食與被捕食的關(guān)系普遍存在。兩個(gè)弱肉強(qiáng)食的種群，其發(fā)展和演進(jìn)又會(huì)遵循一些什么樣的規(guī)律呢？一 模型假設(shè)以、表示