02投影法基礎(chǔ)

1、第2章 投影法基礎(chǔ) 目錄.ppt 教學(xué)提示：為將空間物體在圖紙上表達(dá)出來，即將三維空間中的立體用二維平面上的圖形來表示，工程中采用投影的方法來實現(xiàn)。投影法分為中心投影法和平行投影法，其中，平行投影法又分為正投影法和斜投影法兩種。為了清楚地表達(dá)空間物體的真實形狀和大小，在工程中一般采用正投影的方法獲得一組圖形來設(shè)計和表達(dá)工程對象，這一組圖形稱為三面投影(正面投影、側(cè)面投影和水平投影)，在工程上又稱為視圖。有時，還需要用平行投影法獲得立體感較強的軸測圖來進(jìn)行輔助性的觀察和看圖。本章主要介紹投影法的基本概念、三面投影的基本畫法和常用軸測圖的畫法。 教學(xué)要求：本章要求學(xué)生重點掌握正投影法和軸測投影的基

2、本概念及投影規(guī)律，并學(xué)會應(yīng)用正投影法獲得物體的三面投影。 2.1 投影法基礎(chǔ)知識 2.2 三投影面體系與物體的三面投影 2.3 軸測圖的基本概念本章內(nèi)容2.1 投影法基礎(chǔ)知識 在日常生活中，人們看到太陽光或燈光照射物體時，在墻壁或地面上出現(xiàn)了物體的影子，這是一種自然的投影現(xiàn)象。人們發(fā)現(xiàn)，空間物體在一個平面上留下了影子，該影子反映出物體一定形狀。根據(jù)這種現(xiàn)象，人類總結(jié)了這種投影現(xiàn)象的幾何關(guān)系，創(chuàng)造了投影法，解決了用平面圖形來表達(dá)空間物體的問題。 1. 投影法的基本概念 假想用光線照射物體，使物體在平面上留下影子的方法就稱為投影法。分別將光線、平面和影子抽象為投射線、投影面和投影，因此投影就是通過

3、物體的投射線與投影面的交線。用工程理論的術(shù)語來描述，我們把一定條件下、一系列投射線通過表達(dá)對象與投影面交點的總和，稱為圖像。此圖像也稱為該表達(dá)對象在該投影面上的投影，而獲得投影的方法稱為投影法，如圖2.1所示。投影法是平面上表示空間形體的基本方法，是畫法幾何及工程制圖的基礎(chǔ)。2.1.1 投影法的基本概念 綜上所述，投影法所具備的條件如下： (1) 投射中心以及從投射中心出發(fā)的投射線。 (2) 不通過投射中心的投影面。 (3) 表達(dá)對象(幾何要素或物體)。 2. 投影法的分類 工程上常用的投影法一般分為中心投影法和平行投影法兩類，如圖2.1所示。其中，平行投影法有正投影法和斜投影法之分。 1)

4、中心投影法 投射線從一點發(fā)出來的投影法稱為中心投影法，用中心投影法得到中心投影，如 圖2.1 (a)所示。中心投影一般用于表達(dá)較大的場景或目標(biāo)，例如地貌、建筑物等，這種投影形成的圖形稱為透視圖。透視圖的立體感很強，常作為一種效果圖，不注重于物體尺寸的表達(dá)，如圖2.2所示。2.1 投影法基礎(chǔ)知識2.1.1 投影法的基本概念(a) 中心投影法 (b) 平行投影法圖2.1 投影法及其分類2.1 投影法基礎(chǔ)知識2) 平行投影法 投射線互相平行的投影法稱為平行投影法，如圖2.1(b)所示。其中，投射線垂直于投影面時的平行投影法稱為正投影法；圖2.2 透視圖2.1 投影法基礎(chǔ)知識投射線傾斜于投影面的平行投

5、影法稱為斜投影法。而用正投影法和斜投影法分別得到的投影稱為正投影和斜投影。用正投影能直接和方便地表達(dá)空間物體的真實形狀、大小和空間位置，所得到的圖形廣泛地用于工程圖樣，因此我們常將正投影簡稱為投影，如圖2.3(b)所示。在用正投影法表達(dá)一個空間物體時，往往是將該物體的主要表面或主要輪廓線平行于投影面放置，這樣得到的投影能夠真實地反映物體在該投影方向上的形狀和大小。但物體的一個投影不能唯一確定其各個方向的形狀、大小和位置，因此工程上常常將物體置于一個多投影面體系，用一組正投影從各個方向來表達(dá)物體。如圖2.3(b)所示的投影圖就是用一組兩面正投影來表達(dá)一個工程對象的投影圖。 如果將物體相對于投影面

6、傾斜放置而采用正投影法、或者將物體正放而采用斜投影法，可以在同一投影面上表達(dá)物體3個方向的形狀，這種投影稱為軸測投影，如圖2.3(c)所示。軸測投影的立體感強，直觀性好、容易看懂，它對于人們理解和掌握物體的形狀十分有利，但其尺寸的度量性卻不如多面正投影圖，因此在生產(chǎn)和設(shè)計中常作為輔助圖樣或商業(yè)廣告。2.1 投影法基礎(chǔ)知識(c) 軸測投影 (a) 表達(dá)對象 (b) 多面正投影 2.1 投影法基礎(chǔ)知識2.1.2 平行投影的基本性質(zhì)平行投影有如下基本性質(zhì)：1) 實形性當(dāng)線段或平面圖形平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭巍Ｈ鐖D2.4所示，直線DC、GH、JB和KA等均平行于V面，在V面上的投影反映實長

7、，如 。平面BCDGHJ平行于V面，在V面上的投影反映實形。2) 積聚性當(dāng)直線或平面圖形平行于投射線時，其投影積聚成點或直線。在如圖2.4所示中，直線AR、KQ等垂直于V面，在V面上的投影積聚成一點；平面EFML、FGHOM等垂直于V面，在V面上的投影積聚成一條線。2.1 投影法基礎(chǔ)知識圖2.4 平行投影的投影特性2.1 投影法基礎(chǔ)知識3) 類似性當(dāng)直線或平面圖形傾斜于投影面時，直線的投影仍然是直線，平面圖形的投影是原圖形的類似形，但直線或平面圖形的投影均小于實長或?qū)嵭巍Ｏ襁@種原形與投影間不相等也不相似，而兩者的邊數(shù)、凸凹、曲直、平行關(guān)系不變的性質(zhì)稱為類似性。在圖2.4中，平面四邊形ABJK、

8、EFGD在V面上的投影為類似的四邊形 、 。4) 平行性如果空間直線平行，則它們投影仍然相互平行。在圖2.4中，EF、GD相互平行，它們在V面上的投影 、 仍然相互平行。5) 從屬性2.1 投影法基礎(chǔ)知識2.1.2 平行投影的基本性質(zhì)幾何元素的空間從屬關(guān)系在投影中不會發(fā)生改變：屬于直線的點的投影必定落在直線的同面投影上，屬于平面的點和線的投影必定落在平面的同面投影上。如圖2.4所示，S點在直線KJ上，S點的投影 一定在 上。6) 定比性(1) 若空間直線上一點把該直線分成兩段，則該兩線段之比，必等于其投影之比。如圖2.5(a)所示，點K在直線AB上，其投影必在ab上(從屬性)，且由于Aa /

9、Kk / Bb，故有AKKB=akkb。(2) 空間平行線段的長度之比，等于其投影之比。如圖2.5(b)所示，分別過F和G作fe和gh的平行線，可得到兩個相互平行的相似三角形及矩形，從而得EFHG=efhg。2.1 投影法基礎(chǔ)知識2.1.2 平行投影的基本性質(zhì)(b) (a) 圖2.5 平行投影的定比性2.1 投影法基礎(chǔ)知識從圖2.6中的4個立體圖的投影情況可知，當(dāng)從上往下進(jìn)行投影時，它們獲得的投影相同，均為一對同心圓。這說明，一個投影不能唯一地表達(dá)物體的形狀，因此必須建立一個投影面體系，將物體同時向幾個投影面進(jìn)行投影，用多個投影圖來確切地、完整地表達(dá)空間物體。這種方法獲得的一組投影稱為多面正投

10、影，亦簡稱為投影。2.2 三投影面體系與物體的三面投影圖2.6 不同物體在同一投影面上的投影相同2.2 三投影面體系與物體的三面投影2.2.1 三投影面體系 我們知道，笛卡兒直角坐標(biāo)系將三維空間分為8個象限(分角)，每個象限的位置如圖2.7(a)所示。在國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 4458.12002中規(guī)定，我國采用第一分角投影法(簡稱第一角畫法)繪制圖樣，而國際上有的國家(如美國、日本等)則采用第三角投影法(簡稱第三角畫法)。 在第一分角中，由正立投影面V、水平投影面H和側(cè)立投影面W共3個相互垂直的投影面(分別簡稱為V面、H面和W面)構(gòu)成的投影面體系稱為三投影面體系，如圖2.7(b)所示。三投影面兩兩

11、相交產(chǎn)生的交線OX、OY、OZ，稱為投影軸，簡稱為X軸、Y軸和Z軸。2.2 三投影面體系與物體的三面投影圖2.7 投影體系2.2 三投影面體系與物體的三面投影如圖2.8(a)所示，將物體置于三投影面體系中，用正投影法分別向3個投影面投影后，得到了物體的三面投影。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：正面投影是對物體由前向后進(jìn)行投影，在正面上所得到的投影。水平投影是對物體由上向下進(jìn)行投影，在水平面上所得到的投影。側(cè)面投影是對物體由左向右進(jìn)行投影，在側(cè)面上所得到的投影。如圖2.8(b)和圖2.8(c)所示，投影后將物體移開，V面保持不動，將H面連同其投影繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90，W面連同其投影繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)90，使它們與V面處

12、于同一平面上，并約定投影軸和投影面的邊框略去不畫，從而得到物體的三面投影，如圖2.8(d)所示。2.2.2 三面投影的形成2.2 三投影面體系與物體的三面投影2.2 三投影面體系與物體的三面投影圖2.8 三面投影的形成2.2 三投影面體系與物體的三面投影上述投影過程表明，一旦物體在投影面體系中的位置確定，并規(guī)定X、Y、Z軸方向分別為物體的長、寬、高3個方向如圖2.9(a)所示，則空間物體與其平面投影以及我們所熟悉的空間直角坐標(biāo)系就有了一一對應(yīng)的關(guān)系。實際上，我們還可以這樣來理解三面投影的形成過程：所謂物體的正面投影，可看成是令該物體的空間坐標(biāo)值Y=0后獲得的平面投影圖，即完成了該物體從三維空間

13、向二維平面的轉(zhuǎn)換。因此正面投影僅反映出物體的長(X)和高(Z)方向的形狀和大小；同理，物體的水平投影即是令Z=0，而側(cè)面投影則是令X=0，因此，物體的水平投影僅反映出物體的長(X)和寬(Y)，側(cè)面投影僅反映出物體的寬(Y)和高(Z)。2.2.3 三面投影的投影規(guī)律2.2 三投影面體系與物體的三面投影根據(jù)物體與其三面投影的位置和對應(yīng)關(guān)系，可反映出以下幾個特點：(1) 三面投影之間的位置配置關(guān)系是：水平投影在正面投影的正下方，側(cè)面投影在正面投影的正右方。(2) 三面投影之間的對應(yīng)關(guān)系是：每個投影反映物體長、寬、高中的兩個方向的大小。正面投影和水平投影同時反映物體的“長”；正面投影和側(cè)面投影同時反映

14、物體的“高”；水平投影和側(cè)面投影同時反映物體的“寬”。由此而得到以下的三面投影規(guī)律(又稱三等關(guān)系)： 正面投影與水平投影長對正。 正面投影與側(cè)面投影高平齊。 水平投影與側(cè)面投影寬相等。(3) 三面投影與物體6個方位的關(guān)系是：正面投影反映物體的上、下、左、右4個方位；水平投影反映物體的前、后、左、右4個方位；側(cè)面投影反映物體的上、下、前、后4個方位。2.2 三投影面體系與物體的三面投影圖2.9 三面投影的投影規(guī)律2.2 三投影面體系與物體的三面投影多面正投影圖用多個投影圖準(zhǔn)確地、真實地反映出物體的長、寬、高3個方向的形狀和大小，作圖簡便，標(biāo)注尺寸也很方便，廣泛地應(yīng)用于工程設(shè)計和制造領(lǐng)域，但這種圖

15、樣的立體感較差。軸測圖是工程中常采用的另一種圖樣，它是在單一的投影面上同時反映物體的三維方向的表面形狀，立體感強，比較符合人們的視覺習(xí)慣，但由于它的度量性較差，作圖過程也比多面正投影復(fù)雜，因而在工程上僅作為輔助圖樣或效果圖，用以幫助人們看圖和進(jìn)行空間想象。2.3 軸測圖的基本概念2.2.3 三面投影的投影規(guī)律對同一物體分別采用三面投影和軸測投影繪制的兩種圖形，如圖2.10所示。2.3.1 軸測圖的基本知識圖2.10 多面正投影圖與軸測圖 2.3 軸測圖的基本概念 1. 軸測圖的形成和投影特性用平行投影法將物體連同確定物體空間位置的直角坐標(biāo)系一起投射到單一影面，所得的投影圖稱為軸測圖，如圖2.1

16、1(a)所示。圖2.11 軸測圖的形成和投影特性2.3 軸測圖的基本概念 由于軸測圖是用平行投影法得到的，因此具有以下投影特性： (1) 空間相互平行的直線，它們的軸測投影互相平行。 (2) 空間立體上凡是與坐標(biāo)軸平行的直線，在其軸測圖中也必 與軸測軸互相平行。 (3) 空間立體上兩平行線段或同一直線上的兩線段長度之比，在軸測圖上保持不變。 2. 軸測圖的基本術(shù)語 軸測圖的基本參數(shù)如圖2.11所示。 (1) 軸測投影面：軸測圖中的投影面稱為軸測投影面。它是一個單一的投影面。一般用大寫的拉丁字母表示，如圖中的P面。 (2) 點的軸測投影：過空間點的投射線與軸測投影面的交點稱為該點的軸測投影。本章

17、中約定，用帶有下角標(biāo)1的大寫拉丁字母表示，如A1、B1等。2.3 軸測圖的基本概念2.3.1 軸測圖的基本知識(3) 軸測軸：確定空間物體的坐標(biāo)軸OX、OY、OZ在P面上的投影稱為軸測投影軸，簡稱軸測軸，記為O1X1、O1Y1、O1Z1。(4) 軸間角：軸測軸之間的夾角稱為軸間角，記為X1O1Y1、Y1O1Z1、Z1O1X1。(5) 軸向伸縮系數(shù)：由于形體上3個坐標(biāo)軸對軸測投影面的傾斜角度不同，所以在軸測圖上各條軸線長度的變化程度也不一樣，因此把軸測軸上的線段與空間坐標(biāo)軸上對應(yīng)線段的長度比，稱為軸向伸縮系數(shù)。如圖2.11(b)所示，設(shè)A點為單位坐標(biāo)(u，u，u)，則經(jīng)過投影后，A點軸測投影A1

18、的坐標(biāo)為(i，j，k)，則X，Y，Z軸的伸縮系數(shù)為 ：，2.3 軸測圖的基本概念畫軸測圖時，只要首先按軸間角的大小畫出軸測軸，然后按相應(yīng)的軸向伸縮系數(shù)沿軸向測量就可畫出軸測圖。因此，“軸測”的含義就是沿軸向測量的意思。3. 軸測圖的分類1) 根據(jù)投射方向與軸測投影面的相互位置分類根據(jù)投射方向與軸測投影面的相互位置，軸測圖可分為以下兩大類。(1) 正軸測圖：投射方向垂直于軸測投影面，如圖2.12(a)所示。(2) 斜軸測圖：投射方向傾斜于軸測投影面，如圖2.12(b)所示。2.3 軸測圖的基本概念圖2.12 軸測圖的分類2.3 軸測圖的基本概念2) 根據(jù)選定的不同軸向伸縮系數(shù)分類在每一類軸測圖中

19、，根據(jù)選定的不同軸向伸縮系數(shù)，軸測圖又可分為以下3種。(1) 正(或斜)等軸測圖的軸向伸縮系數(shù)p=q=r。(2) 正(或斜)二軸測圖的軸向伸縮系數(shù)p=rq。(3) 正(或斜)二軸測圖的軸向伸縮系數(shù)prq。3) 勾畫立體草圖為了作圖方便，工程上常用正等測圖和斜二軸測圖來勾畫立體草圖。(1) 正等測圖。當(dāng)三根坐標(biāo)軸與軸測投影面傾斜的角度相同時，用正投影法得到的投影圖稱為正等測圖，簡稱正等測。由于空間坐標(biāo)軸OX、OY、OZ對軸測投影面的傾角相等，可計算出其軸間角，其中O1Z1軸規(guī)定畫成鉛垂方向，如圖2.13(a)所示 2.3 軸測圖的基本概念根據(jù)三根坐標(biāo)軸與軸測投影面傾斜的角度相同，由理論計算可知：

20、三根軸的軸向伸縮系數(shù)為p=q=r=0.82，但為了作圖方便，通常用簡化伸縮系數(shù)“1”。用此軸向伸縮系數(shù)畫出的圖形其形狀不變，但比實物的實際軸測圖放大1.22倍，如圖2.13(b)所示。圖2.13 正等測圖的軸間角和軸向伸縮系數(shù)2.3 軸測圖的基本概念 (2) 斜二等軸測圖。如果使XOZ坐標(biāo)面平行于軸測投影面，采用斜投影法，得到的軸測圖稱為斜二等軸圖，簡稱斜二測。由于XOZ坐標(biāo)面平行于軸測投影面，在這個坐標(biāo)面的軸測投影反映實形，因此斜二等軸測圖的軸間角是：Z1O1X1 =90，這兩根軸的軸向伸縮系數(shù)為p= r =1；O1Y1與水平線成45，即X1O1Y1 = Y1O1Z1 = 135，其軸向伸縮

21、系數(shù)一般取為q =0.5。如 圖2.14(a)所示。由如圖2.14(b)所示的斜二測圖可知：平行于XOZ坐標(biāo)面的圓的斜二等軸測投影反映實形，作圖十分簡便。但平行于XOY，YOZ兩個坐標(biāo)面的圓的斜二測投影將變形為橢圓，這些橢圓的短軸不與相應(yīng)的軸測軸平行，且作圖較繁。因此，斜二等軸測圖一般用來表達(dá)只在一個方向上互相平行的平面內(nèi)有圓或圓弧的立體，這時只要把這些平面選為平行于XOZ坐標(biāo)面即可。2.3 軸測圖的基本概念圖2.14 斜二測圖的軸間角和軸向伸縮系數(shù) 2.3 軸測圖的基本概念 1. 用坐標(biāo)法繪制直線AB的軸測投影軸測圖的基本作圖方法一般采用坐標(biāo)法。作軸測圖時，首先應(yīng)選擇好軸測圖的種類，即確定好

22、軸間角和軸向伸縮系數(shù)。為使表達(dá)清晰及作圖方便，通常將軸測軸Z1畫成垂直方向，再根據(jù)軸間角畫出另兩個軸測軸 和 。已知A(30，50，10)，B(0，10，40)。軸間角2.3.2 軸測圖的基本作圖方法，軸向伸縮系數(shù) 作圖步驟如下：(1) 根據(jù)軸間角，畫出軸測軸如圖2.15(a)所示。(2) 在 軸上，取 ，在 軸上取 。過 點作直線 平行于 ，過 點作直線 平行于 ，兩直線相交于a點。過a點作直線 平行于 ，且 =10。得到 點，如圖2.15(b)所示。2.3 軸測圖的基本概念(3) 在Y1軸上取 。 過 點作直線 平行于 ，且 。得到 點。連接 兩點，即得直線AB的軸測投影。(a) (b)

23、圖2.15 直線的軸測投影2.3 軸測圖的基本概念 2. 平行于各坐標(biāo)面的圓的軸測圖 在工程零件中常見的一類基本立體是回轉(zhuǎn)體，如圓柱、圓錐、圓球等?；剞D(zhuǎn)體的軸測圖主要涉及到垂直于回轉(zhuǎn)軸的圓的軸測圖。圓的軸測投影一般情況下會變形為橢圓。對應(yīng)各種不同類型的軸測圖，橢圓的長短軸的比例會不一樣，與相應(yīng)軸測軸的夾角也會因此而不一樣。本節(jié)僅介紹平行于各坐標(biāo)面的圓的正等測和斜二測。 1) 平行于各坐標(biāo)面的圓的正等測 平行于坐標(biāo)面的圓的正等測圖(如圖2.16所示)，可采用坐標(biāo)法繪制(繪圖步驟如圖2.17所示)，這種作圖方法雖然較為精確，但很繁瑣，對于參考圖形或效果圖來說也沒有必要。工程上常用幾何上推導(dǎo)出的一種近似畫法(僅適用于正等測圖)來繪制。即將正等測圖中的橢圓近似看成是四段圓弧相切而成。作圖時只要找到這四段圓弧的圓心和切點，即可畫出，因此稱這種近似畫法為“四心橢圓法”。現(xiàn)以平行于水平投影面的圓的正等測圖為例