微積分可分離

1、轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)解分離變量方程 可分離變量方程 第十二章 分離變量方程的解法:設(shè) y (x) 是方程的解, 兩邊積分, 得 則有恒等式 當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 G(y) g(y)0 時, 說明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣,當(dāng)F(x)= f (x)0 時,上述過程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1. 求微分方程的通解.解: 分離變量得兩邊積分得即( C 為任意常數(shù) )或說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.( 此式含

2、分離變量時丟失的解 y = 0 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 解初值問題解: 分離變量得兩邊積分得即由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數(shù) )故所求特解為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 則故有即解得( C 為任意常數(shù) )所求通解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般情形：練習(xí):解法 1 分離變量即( C 0 )解法 2故有積分( C 為任意常數(shù) )所求通解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 子的含量 M 成正比,求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律. 解: 根據(jù)題意, 有(初始條件)對方程分離變量

3、, 即利用初始條件, 得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知 t = 0 時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5.成正比,求解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分 :得利用初始條件, 得代入上式后化簡, 得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. t 足夠大時機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流出,開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時間 t 的變

4、解: 由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由 h 降到 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩端積分, 得利用初始條件, 得因此容器內(nèi)水面高度 h 與時間 t 有下列關(guān)系:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:說明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一個解 .例如, 方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù) .解; 階;通解;特解 y = x 及 y = C 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程 3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 (2) 利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 求下列方程的通解 :提示:(1) 分離變量(2) 方程變形為機動 目錄 上