相似三角形---射影定理的運用精選

1、相似三角形射影定理的推廣及應用射影定理是平面幾何中一個很重要的性質定理，盡管義務教材中沒有列入，但在幾何證明及計算中應用很廣泛，若能很好地掌握弁靈活地運用 它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若將定理中的直角三角形條件非 直角化，亦可得到類似的結論（這里暫且稱之為射影定理的推廣），而此結 論又可作為證明其它命題的預備定理及聯(lián)想思路，熟練地掌握弁巧妙地運 用，定會在幾何證明及計算“山窮水盡疑無路”時，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面結合例子從它的變式推廣上談談其應用。一、射影定理射影定理 直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中 項；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

2、如圖（1） : RtABC中，若CD為高，則有C D2 = B D?、B C 2 = BD?AB或AC 2 = AD?ABo （證明略）二、變式推廣1 .逆用如圖（1 ）:若AAB C中，心4圖C D為高，且有DC =BD?AD或AC 有/d C B = /A或/A C D = Z B,= AD?AB或BC =BD?AB,則 ，均可等到ABC為直角二角形。（證明略）2. 一般化，若 ABC不為直角二角形,當點D滿足一定條件時,類似地仍有部分結論成立。（后文簡稱：射影定理變式（如圖（2） :中，D為A B上一點，若/ （DB = Z AC B, 或/ D C B = / A, 則有： D Bs4

3、 ACB,可得BC 2 = BD?;反之，若ABC中，D為 AB 上一點，且有 BC：2 = BD?AB,則有CDBs42)、cADHz、ACB,可得到/ C D B = /A C B ,或/DCB = /A J圖C W )故有結論成立。（證明略）例2 如圖（4）:已知OO中，D為弧AC中點，過點D的弦BD被弦A C分為4和1 2兩部分，求DC。分析：易得到/DBC=/ABD=/DCE, 滿足射 影定理變式（2）的條件，故有CD 2=DE?DB,易求得 DC= 8（解略）例3 已知：如圖（5）, AAB AD平分/BAC , A D的垂直平分線交AB于點E,交AD于點H,交AC于點G,交B C

4、的延長線于點F,求證：DF 2 = C F ?B Fo證明：連AF,.FH垂直平分D,F A= F D, / F AD = FDA,AD平分/ B AC , / C D = Z B AD,/.ZFAD-ZCAD = ZFDA-ZBAD, ./B = /FDA /BAD,. / F A C = / B ,又/ A F C公共，.A F Csb F A, 衛(wèi)=B F AF2_ _2_AF =CF?BF,.DF =CF?BF。射影定理練習【選擇題】DE AB交于E,且1、已知直角三角形VABC中，斜邊52, D為上的一點,word.A、1.24 B 、1.26 C 、1.28 D 、1.32、如圖1

5、-1 ,在VABC中，是斜別 上的高，在圖中六條線段中，你認為只要知道（）線段的長，就可以求其他線段的長A 1B、2C 3D 、43、在VABC中，BAC 90。，AD BC于點D,若竺 3 則里AB 4 CDA -B、4C、D、439164、如圖 1-2,在矩形中，DE AC, ADE 1 CDE ,貝U EDB (3A 22.5o30o45oD 、600【填空題】5、VABC 中， A 90, AD BC 于點 D, 6, 12,則, AB2: AC2=6、如圖2-1 ,在VABC中,ACB 90。，CD AB , 6, 3.6 ,則2-1word.【解答題】7、已知是 VABC 的高，D

6、E CA,DF CB ,如圖 3-1 ,求證：VCEFVCBA8、已知 CAB 90。，AD CB , VACE , VABF 是正三角形，求證： DE DF9、如圖3-2,矩形中M是的中點,是垂足，求證：de 2ab4a2 b2DE3-210、如圖，在中，是斜邊上的高，點M在上，且與的延長線交于點 E.求證：(1) “；？word.11、已知：如圖，等腰中，,，于D,過點B做射線，交、于E、F兩點, 與過點C平行于的直線交于點Q求證：（1） 2?（2）若過點B的射線交的射線A D、AC的延長線分別于E、F兩點，與過C平行于A B的直線交于點G,則（）的結論是否成立，若 成立，請說明理由。參考

7、答案1、C2、B3、C4、C5、3,3 5,4:16、87、證明：在VADC中，由射影定律得，CD2 CEgAC ,在 RtVBCD 中，CD2 CF gBCword.CEgAC CF gBC,CE BCAC又 Q ECF BCA, VCEF : VCBA8、證明：如圖所示，在RtVBAC 中，AC2 CDgCB, AB2 BDgBCACCD : CD2,CD2 CDAB . BDCDgBDAD2 ADADBDAE ADQ AC AE, AB AF , BF BD又 FBD 60oABD, EAD 60o CAD, ABD CADFBD EAD, VEAD : VFBD,BDF ADEFDE FDA ADE FDA BDF 90oDE DF9、證明：在 RtVAMB 和 RtVADE 中f,AMB DAE, ABMAED 90o所以 RtVAMB RtVADE所以ABAMDEAD所以昨甯譚b10、證明：（1） .是直角三角形， / 90 ,二，word.90 ,即/ 90 ,，/ / ,二，/.Z 2+Z90 ,二，. /