概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字(shz)特征4.1 數(shù)學(xué)(shxu)期望4.2 方差4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)共四十一頁(yè)4.1 數(shù)學(xué)(shxu)期望例1：甲乙兩人進(jìn)行射擊，射擊的環(huán)數(shù)X、Y的分布律如下，問(wèn)哪個(gè)射手水平較高？X8 910Pk0.1 0.70.2Y8 910Pk0.3 0.40.3共四十一頁(yè) 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望定義否則稱X的數(shù)學(xué)期望(qwng)不存在。離散(lsn)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望共四十一頁(yè)例2：某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中(mngzhng)為止，設(shè)他每發(fā)命中(mngzhng)的概率是p，求平均射擊次

2、數(shù)。例1：求0-1分布(fnb)，泊松分布(fnb)的數(shù)學(xué)期望。共四十一頁(yè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果絕對(duì)收斂,則定義X的數(shù)學(xué)期望為定義否則(fuz)稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)的數(shù)學(xué)期望共四十一頁(yè)例5. 設(shè)XN(,2)，求E(X).例4. XUa,b,求E(X).共四十一頁(yè)設(shè)已知隨機(jī)變量(su j bin lin)X的分布，如何計(jì)算g(X)的期望呢？共四十一頁(yè)例1：已知離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)X的分布列為求X2的數(shù)學(xué)(shxu)期望。X-2 -10 12Pk0.10.30.30.20.1共四十一頁(yè) 設(shè)X是一個(gè)(y

3、)隨機(jī)變量，Y=g(X)，則 當(dāng)X為離散型時(shí),P(X= xk)=pk ; 當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)為f(x).注意: 同樣需要滿足(mnz)絕對(duì)收斂!隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望共四十一頁(yè)例1.設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)XN(0,1),求E(|X|).共四十一頁(yè) 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量(su j bin lin)，Z=g(X,Y)，則二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)(shxu)期望共四十一頁(yè)例1：設(shè)（X,Y）聯(lián)合(linh)概率分布為：求E(X+Y),E(XY)XY101230.20.20.20.10.20.1共四十一頁(yè)例2. 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且均服從N( 0 , 1 )，求。共

4、四十一頁(yè) 1. 設(shè)a,b是常數(shù)(chngsh)，則E(aX+b)=aE(X)+b; 2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);數(shù)學(xué)期望(qwng)的性質(zhì)共四十一頁(yè) 3. 設(shè)X、Y獨(dú)立(dl)，則 E(XY)=E(X)E(Y);例1：設(shè)XB(n,p),求E(X).例2：設(shè)送客汽車載有m位旅客，自始發(fā)站開(kāi)出，旅客有n 個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車，就不停車。設(shè)每位旅客在各站下車是等可能(knng)的，求平均停車次數(shù)。共四十一頁(yè)4.2 方差(fn ch)共四十一頁(yè) 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果(ji gu)X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 甲儀器測(cè)量

5、結(jié)果 乙儀器測(cè)量結(jié)果共四十一頁(yè) 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征(tzhng),用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字(shz)特征就是我們這一講要介紹的方差共四十一頁(yè)采用平方是為了保證(bozhng)一切差值X-E(X)都起正面的作用 方差的算術(shù)平方根 稱為標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若EX-E(X)2，則稱D(X)=EX-E(X)2為X的方差.方差(fn ch)的定義共四十一頁(yè)X為離散(lsn)型，P(X=xk)=pkX為連續(xù)型，Xf(x)已知X的概率分布，方差如何(rh)計(jì)算？D(X)=E(X2)-E(X)2 共四十一頁(yè)例1. 設(shè)X服從(fcng)參數(shù)為p的0-1分布，求D(X)

6、.設(shè)YN(,2)，求D(Y).例2. 設(shè)XUa,b，求D(X).YP(), 求D(Y)共四十一頁(yè)常見(jiàn)分布(fnb)的期望和方差共四十一頁(yè)名稱概率分布期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布正態(tài)分布均勻分布指數(shù)分布共四十一頁(yè)推論(tuln)1：常數(shù)的方差等于零，即：D(C)=0推論(tuln)2：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，a是常數(shù)，則D(aX)=a2D(X) 1. 設(shè)a,b是常數(shù)，則D(aX+b)=a2D(X);推論3：D(X)=D(-X)方差的性質(zhì)共四十一頁(yè)一般(ybn)地：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)2.設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)例3

7、. 設(shè)XB(n,p),求D(X).共四十一頁(yè)推論1：設(shè)X,Y為相互(xingh)獨(dú)立的隨機(jī)變量， a,b是常數(shù)， 則D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)推論(tuln)2：設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 D(X-Y)=D(X)+D(Y)共四十一頁(yè)X,Y相互獨(dú)立，則aX+bY,aX-bY服從什么分布？共四十一頁(yè)切比雪夫不等式 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則事件|X-E(X)|0,定理共四十一頁(yè)例1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均(pngjn)是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率 .共四十一頁(yè)推論(tul

8、n)X以概率(gil)1取常數(shù)，即P(X=E(X)=1DX=0共四十一頁(yè)4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)共四十一頁(yè)任意X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若E X-E(X)Y-E(Y) 定義存在，則稱其為X和Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y)。 Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY) -E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)協(xié)方差共四十一頁(yè) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)簡(jiǎn)單(jindn)性質(zhì) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常數(shù)(chngsh) 協(xié)方差的大小在

9、一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響. 例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)共四十一頁(yè)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差） 設(shè)D(X)0, D(Y)0,稱定義相關(guān)系數(shù)共四十一頁(yè)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(xngzh)：存在常數(shù)a,b(b0），使PY=a+bX=1，即X和Y以概率1有線性相關(guān).3. 若X和Y獨(dú)立，則X和Y不相關(guān)，即 =0，但其逆不真.共四十一頁(yè)若X與Y獨(dú)立(dl)， Cov(X,Y)= 0 .Cov(X,Y)=0E(XY)= E(X)E(Y)D(X+Y)= D(X)+D(Y)協(xié)方差為零的充要條件和充分條件(chn fn tio jin)?共四

10、十一頁(yè)共四十一頁(yè) 隨機(jī)變量不相關(guān)只說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量之間沒(méi)有線性關(guān)系，但還可能有某種別的函數(shù)關(guān)系； 隨機(jī)變量相互獨(dú)立說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量之間沒(méi)有任何關(guān)系，既無(wú)線性關(guān)系，也無(wú)非線性關(guān)系。 所以(suy)相互獨(dú)立必然不相關(guān)，反之不一定成立。相關(guān)系數(shù) 是刻劃了X和Y間線性關(guān)系程度的數(shù)字特征，越大， X和Y間線性關(guān)系越明顯。當(dāng) 時(shí)， Y有隨著X增加而增大的趨勢(shì)；當(dāng) 時(shí)， Y有隨著X增加而減小的趨勢(shì)；共四十一頁(yè)例1.（X,Y）服從(fcng)二維正態(tài)分布，其概率密度為 對(duì)正態(tài)分布而言，X、Y相互獨(dú)立(dl)與互不相關(guān)是等價(jià)的。共四十一頁(yè)例2.設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)(X,Y)N(1,1,9,16,-0.5)(1)求Z的分布.(2)判斷X與Z是否(sh fu)不相關(guān).(3)判斷X與Z是否獨(dú)立.令共四十一頁(yè)內(nèi)容摘要第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征。設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是:。設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，如何計(jì)算g(X)的期望呢。當(dāng)X為離散型時(shí),P(X= xk)=pk。當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)(hnsh)為f(x).。例1：設(shè)（X,Y）聯(lián)合概率分布為：。差值X-E(X)都起正面的作