概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機變量的數(shù)字(shz)特征4.1 數(shù)學(shxu)期望4.2 方差4.3 協(xié)方差和相關系數(shù)共四十一頁4.1 數(shù)學(shxu)期望例1：甲乙兩人進行射擊，射擊的環(huán)數(shù)X、Y的分布律如下，問哪個射手水平較高？X8 910Pk0.1 0.70.2Y8 910Pk0.3 0.40.3共四十一頁 設X是離散型隨機變量，它的分布律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,如果有限,定義X的數(shù)學期望定義否則稱X的數(shù)學期望(qwng)不存在。離散(lsn)型隨機變量的數(shù)學期望共四十一頁例2：某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中(mngzhng)為止，設他每發(fā)命中(mngzhng)的概率是p，求平均射擊次

2、數(shù)。例1：求0-1分布(fnb)，泊松分布(fnb)的數(shù)學期望。共四十一頁設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果絕對收斂,則定義X的數(shù)學期望為定義否則(fuz)稱X的數(shù)學期望不存在.連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)的數(shù)學期望共四十一頁例5. 設XN(,2)，求E(X).例4. XUa,b,求E(X).共四十一頁設已知隨機變量(su j bin lin)X的分布，如何計算g(X)的期望呢？共四十一頁例1：已知離散型隨機變量(su j bin lin)X的分布列為求X2的數(shù)學(shxu)期望。X-2 -10 12Pk0.10.30.30.20.1共四十一頁 設X是一個(y

3、)隨機變量，Y=g(X)，則 當X為離散型時,P(X= xk)=pk ; 當X為連續(xù)型時,X的密度函數(shù)為f(x).注意: 同樣需要滿足(mnz)絕對收斂!隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望共四十一頁例1.設隨機變量(su j bin lin)XN(0,1),求E(|X|).共四十一頁 設(X,Y)是二維隨機變量(su j bin lin)，Z=g(X,Y)，則二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(shxu)期望共四十一頁例1：設（X,Y）聯(lián)合(linh)概率分布為：求E(X+Y),E(XY)XY101230.20.20.20.10.20.1共四十一頁例2. 設隨機變量X，Y相互獨立，且均服從N( 0 , 1 )，求。共

4、四十一頁 1. 設a,b是常數(shù)(chngsh)，則E(aX+b)=aE(X)+b; 2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);數(shù)學期望(qwng)的性質共四十一頁 3. 設X、Y獨立(dl)，則 E(XY)=E(X)E(Y);例1：設XB(n,p),求E(X).例2：設送客汽車載有m位旅客，自始發(fā)站開出，旅客有n 個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車，就不停車。設每位旅客在各站下車是等可能(knng)的，求平均停車次數(shù)。共四十一頁4.2 方差(fn ch)共四十一頁 例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結果(ji gu)X用坐標上的點表示如圖： 甲儀器測量

5、結果 乙儀器測量結果共四十一頁 為此需要引進另一個數(shù)字特征(tzhng),用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字(shz)特征就是我們這一講要介紹的方差共四十一頁采用平方是為了保證(bozhng)一切差值X-E(X)都起正面的作用 方差的算術平方根 稱為標準差設X是一個隨機變量，若EX-E(X)2，則稱D(X)=EX-E(X)2為X的方差.方差(fn ch)的定義共四十一頁X為離散(lsn)型，P(X=xk)=pkX為連續(xù)型，Xf(x)已知X的概率分布，方差如何(rh)計算？D(X)=E(X2)-E(X)2 共四十一頁例1. 設X服從(fcng)參數(shù)為p的0-1分布，求D(X)

6、.設YN(,2)，求D(Y).例2. 設XUa,b，求D(X).YP(), 求D(Y)共四十一頁常見分布(fnb)的期望和方差共四十一頁名稱概率分布期望方差兩點分布二項分布泊松分布正態(tài)分布均勻分布指數(shù)分布共四十一頁推論(tuln)1：常數(shù)的方差等于零，即：D(C)=0推論(tuln)2：設X是一個隨機變量，a是常數(shù)，則D(aX)=a2D(X) 1. 設a,b是常數(shù)，則D(aX+b)=a2D(X);推論3：D(X)=D(-X)方差的性質共四十一頁一般(ybn)地：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)2.設X,Y為相互獨立的隨機變量，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)例3

7、. 設XB(n,p),求D(X).共四十一頁推論1：設X,Y為相互(xingh)獨立的隨機變量， a,b是常數(shù)， 則D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)推論(tuln)2：設X,Y為相互獨立的隨機變量，則 D(X-Y)=D(X)+D(Y)共四十一頁X,Y相互獨立，則aX+bY,aX-bY服從什么分布？共四十一頁切比雪夫不等式 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則事件|X-E(X)|0,定理共四十一頁例1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均(pngjn)是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率 .共四十一頁推論(tul

8、n)X以概率(gil)1取常數(shù)，即P(X=E(X)=1DX=0共四十一頁4.3 協(xié)方差和相關系數(shù)共四十一頁任意X和Y是兩個隨機變量，若E X-E(X)Y-E(Y) 定義存在，則稱其為X和Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y)。 Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY) -E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)協(xié)方差共四十一頁 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)簡單(jindn)性質 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常數(shù)(chngsh) 協(xié)方差的大小在

9、一定程度上反映了X和Y相互間的關系，但它還受X與Y本身度量單位的影響. 例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)共四十一頁為隨機變量X和Y的相關系數(shù)（標準協(xié)方差） 設D(X)0, D(Y)0,稱定義相關系數(shù)共四十一頁相關系數(shù)的性質(xngzh)：存在常數(shù)a,b(b0），使PY=a+bX=1，即X和Y以概率1有線性相關.3. 若X和Y獨立，則X和Y不相關，即 =0，但其逆不真.共四十一頁若X與Y獨立(dl)， Cov(X,Y)= 0 .Cov(X,Y)=0E(XY)= E(X)E(Y)D(X+Y)= D(X)+D(Y)協(xié)方差為零的充要條件和充分條件(chn fn tio jin)?共四

10、十一頁共四十一頁 隨機變量不相關只說明兩個隨機變量之間沒有線性關系，但還可能有某種別的函數(shù)關系； 隨機變量相互獨立說明兩個隨機變量之間沒有任何關系，既無線性關系，也無非線性關系。 所以(suy)相互獨立必然不相關，反之不一定成立。相關系數(shù) 是刻劃了X和Y間線性關系程度的數(shù)字特征，越大， X和Y間線性關系越明顯。當 時， Y有隨著X增加而增大的趨勢；當 時， Y有隨著X增加而減小的趨勢；共四十一頁例1.（X,Y）服從(fcng)二維正態(tài)分布，其概率密度為 對正態(tài)分布而言，X、Y相互獨立(dl)與互不相關是等價的。共四十一頁例2.設隨機變量(su j bin lin)(X,Y)N(1,1,9,16,-0.5)(1)求Z的分布.(2)判斷X與Z是否(sh fu)不相關.(3)判斷X與Z是否獨立.令共四十一頁內容摘要第四章 隨機變量的數(shù)字特征。設X是離散型隨機變量，它的分布律是:。設已知隨機變量X的分布，如何計算g(X)的期望呢。當X為離散型時,P(X= xk)=pk。當X為連續(xù)型時,X的密度函數(shù)(hnsh)為f(x).。例1：設（X,Y）聯(lián)合概率分布為：。差值X-E(X)都起正面的作