多邊形與多邊形內(nèi)凸多邊形周長大小關(guān)系的探索金開

1、PAGE PAGE 5多邊形與多邊形內(nèi)凸多邊形周長的大小關(guān)系探究溫州市第八中學 金開 指導師：賈哲三曾經(jīng)看到過有如下一道題目：問題1：D為ABC內(nèi)的一點，求AB+AC與BD+DC的大小關(guān)系。解：延長BD交AC于點E三角形兩邊和大于第三邊AB+AEBD+DEDE+ECCD+得AB+AE+DE+ECBD+DE+CDAB+ACBD+CD（）AB+AC +BCBD+CD+BC 也就是說三角形ABC的周長大于三角形內(nèi)BDC的周長。從圖（1）看這個結(jié)論還是比較直觀的，那么隨著三角形內(nèi)點數(shù)的增加，多邊形的邊數(shù)也會隨之增加。那么這個結(jié)論是否還仍然成立呢？問題2：D1，D2為ABC內(nèi)的兩個點，連接BD1，D1D

2、2，D2C，求AB+AC與BD1+ D1D2+D2C的大小關(guān)系。這個題目要分類討論，因為它的圖形有兩種情況，一種是凹四邊形，如下（2-1）：在這種情況下，可以通過實驗法量出BD1長3cm，D1D2長2cm，D2C長5.2cm，AB長3.3cm，AC長4.8cm，所以BD1+D1D2+D2C=10.2cm，AB+AC=8.1cm，AB+ACBD1+D1D2+D2C，所以并沒有研究價值。再來看圖（2-2）解：延長BD1，CD2交于點E，延長BE交AC與點F由（）得AB+ACBE+CEE D1+E D2D1D2AB+ACBE+CE=BD1+ D1E+CD2+ED2BD1+CD2+ D1D2AB+AC

3、BD1+ D1D2+ D2CABC的周長大于四邊形BD1D2C的周長問題3：那更深一步，D1，D2，D3為ABC內(nèi)的三點，是多邊形BD1D2D3C是凸多邊形，求AB+AC與BD1+ D1D2+D2 D3 +D3 C的大小關(guān)系解：延長BD1，CD2交于點E，延長BE交AC于點F，連D1D3我們發(fā)現(xiàn)在ABC和EBC之間是一個與問題1類似的結(jié)構(gòu)，所以可以直接得出AB+ACBE+CE，又在ED1D3與D2D1D3之間也有一個與問題1相似的結(jié)構(gòu)，所以我們又可以得出ED1+ED3D2D1+ D2D3，所以兩式綜合一下，我們便可以得出AB+ACBD1+ D1D2+ D2 D3+ D3C 我們發(fā)現(xiàn)，不論是問題

4、2或問題3，都可以通過添輔助線的方式，回歸到問題1的結(jié)構(gòu)，那這到底是巧合還是必然呢?我們再看，如果ABC內(nèi)有四個點會怎么樣？問題4：D1D2 D3 D4為ABC內(nèi)的四點，且多邊形B D1D2 D3 D4C為凸多邊形，求AB+AC與BD1+ D1D2+ D2 D3+ D3 D4+ D4C的大小關(guān)系解：延長D1D2， D4 D3交于點E，延長BD1，CD4交于點F，連接D1D4，仔細觀察，我們也可以發(fā)現(xiàn)在ABC和FBC之間和FD1D4與ED1D4之間有類似于問題1結(jié)構(gòu)，所以我們又可以很輕松地得出AB+ACBD1+ D1D2+ D2 D3+ D3 D4+ D4C以此類推，我們不難發(fā)現(xiàn)，不論三角形內(nèi)有

5、幾個點，我們都可以通過添輔助線使其構(gòu)成一個或多個類似于問題1的結(jié)構(gòu)。因此，我們可以得出以下結(jié)論1：結(jié)論1：D1、D2、D3Dn為ABC內(nèi)的n個點，且多邊形BD1D2 D3DnC為凸多邊形時，AB+ACBD1+ D1D2+D2D3+DnC探索完三角形內(nèi)存在的n點問題后，我又想能否試著把三角形轉(zhuǎn)換成其它多邊形，看看會有怎樣的結(jié)論呢？問題5：D1、D2是矩形ABCD內(nèi)兩點，且B D1D2C為凸四邊形，求AB+ AD+DC與BD1+ D1D2+ D2C的大小關(guān)系解：作D1F平行AB交BC于點F，作D2E平行AB交BC于點E，過D2作JH平行AD交AB于J，交DC于H，過D1作GK平行于BC交AB于G，

6、交DC于K，交D2E于IGD1BF，GBD1F四邊形GBF D1是平行四邊行同理四邊形D2HKI，AGKD，IKCE、JGKH是平行四邊形BF=GD1，EC=IK= D2H GK=AD JG= D2I=HKD1F+BFBD1GD1+ D1FBD1 D2E+ECD2CD2E+ D2HD2CD2E+IKD2C D2I+ D1ID1D2 +得GD1+ D1F+ D2E+IK+ D2I+ D1IBD1+ D1D2+ D2C即BJ+AD+CHBD1+ D1D2+ D2CAB+BD+DC BJ+AD+CHAB+BD+DCBD1+ D1D2+ D2C再進一步，當矩形內(nèi)有三個點會有怎樣的結(jié)果？問題6：D1、D

7、2、D3是矩形ABCD內(nèi)三點，且B D1 D2 D3 C為凸多邊形，求：AB+AD+DC與BD1+ D1D2+ D2 D3+ D3 C的大小關(guān)系，解：過點D2作LM平行于BC交AB于L，交DC于M， 過點D1作HI平行于BC交AB于H，交D2F于I，過點D3作JK平行于BC交D2F于I，交DC于K，過點D2作D2F平行于AB，交BC于F按問題5所示，我們可得 D2I=LH D2J=MK D1I=EF JD3=FG D3K=GC D1H=BE D1E=HBD1E+ BED1B D1I+ D2ID1 D2 D2J+ D3 JD2D3 D3G+ CGD3CBL+AD+CMBD1+ D1D2+ D2D3+ D3CAB+AD+DCBL+AD+CMAB+AD+DCBD1+ D1D2+ D2D3+ D3C通過這兩題，我們可以發(fā)現(xiàn)，無論矩形內(nèi)有幾個點，它們連成的凸四邊形的邊長之和總小于矩形周長，并且以每條邊為斜邊，其對應(yīng)的兩條直角邊總能在矩形上找到相應(yīng)的線段，所以，我得出以下結(jié)論2：結(jié)論2：D1、D2、D3Dn是矩形ABCD內(nèi)的n點，且B D1D2D3DnC為凸多邊形，則AB+AD+DCBD1+ D1D2+