河海大學(xué)彈性力學(xué)徐芝綸版 第十一章(本科)

1、第十一章 彈性(tnxng)力學(xué)的變分原理 7/28/20221共八十四頁問題(wnt)的引入彈性力學(xué)問題的兩種基本(jbn)解法1、建立偏微分方程邊界條件（直接法）2、建立變分方程（泛函的極值條件）優(yōu)點：最終可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題，化為代數(shù)方程，為近似解的尋求提供方便。也是數(shù)值方法的理論基礎(chǔ)。兩種方法具有等價性,且力學(xué)問題中的泛函多為能量,是標(biāo)量,應(yīng)用方便。共八十四頁11 1 變分法的預(yù)備(ybi)知識數(shù)學(xué)(shxu)上的變分法：求泛函的極值方法彈性力學(xué)中的變分法：以能量為泛函，求能量泛函的極值方法，又稱能量法。嚴(yán)格地，能量法與變分法不盡相同，變分法含義更廣。共八十四頁關(guān)于(guny)變

2、分法的若干基本概念：一、函數(shù)(hnsh)與泛函1、函數(shù)函數(shù)是實數(shù)空間到實數(shù)空間的映射2、泛函是函數(shù)空間到實數(shù)空間的映射共八十四頁例：設(shè)面內(nèi)有給定的兩點和，如圖 所示，連接(linji)這兩點的任一曲線的長度為共八十四頁 顯然(xinrn)長度L依賴于曲線的形狀，也就是依賴于函數(shù)y(x)的形式。因此，長度就是函數(shù)y(x)的泛函。 在較一般的情況(qngkung)下，泛函具有如下的形式共八十四頁二、函數(shù)(hnsh)的變分1、自變量的微分(wi fn) dx2、函數(shù)的微分3、函數(shù)的變分共八十四頁共八十四頁注意(zh y)到：與(*)式比較(bjio)，可見：即：結(jié)論：導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)，或變分

3、 記號與求導(dǎo)記號可以互換。共八十四頁三、泛函的變分一般(ybn)情況下，泛函可寫為：1、按照泰勒(ti l)級數(shù)展開法則，被積函數(shù) f 的增量可以寫成 上式中, 右邊的前兩項是f 的增量的主部，定義為 f 的一階變分，表示為共八十四頁2、再考察(koch)定義(dngy)泛函I 的變分共八十四頁結(jié)論(jiln)：變分運算和積分運算可以交換次序與上式比較(bjio)，可得：共八十四頁四、泛函的駐值與極值(j zh)1、函數(shù)(hnsh)的駐值和極值如果函數(shù)y(x)在xx0的鄰近任一點上的值都不大于或都不小于y(x0)，即 y(x)y(x0)或 則稱函數(shù) y(x)在xx處達(dá)到極大值或極小值。極值的必

4、要條件為 共八十四頁極值(j zh)必是駐值，但駐值不一定是極值(j zh)。取極值(j zh)的必要條件為 ，其充分條件由二階導(dǎo)數(shù)來判定共八十四頁2、泛函的駐值和極值(j zh)共八十四頁其中(qzhng)：五、歐拉方程(fngchng)與自然邊界條件 ( , )共八十四頁因為(yn wi)取駐值，所以共八十四頁為歐拉方程，可見上述泛函的駐值問題(wnt)等同于歐拉微分方程邊值問題(wnt)的解。如果(rgu)問題是：共八十四頁自變函數(shù)事先滿足的邊界條件稱為(chn wi)本質(zhì)邊界條件。共八十四頁11 2 應(yīng)變(yngbin)能與余應(yīng)變(yngbin)能1.應(yīng)變能: 物體因變形(bin xn

5、g)儲存的能量。功和能的關(guān)系：可逆過程外力做功動能、應(yīng)變能不可逆過程熱能、聲能 共八十四頁在彈性力學(xué)中，僅研究可逆過程。對于靜力學(xué)問題，認(rèn)為外荷載對彈性體所做的功全部(qunb)轉(zhuǎn)化為彈性體的應(yīng)變能，并貯存于彈性體內(nèi)。若卸去外荷載，彈性體將釋放出全部(qunb)的應(yīng)變能，并恢復(fù)其未受載時的初始狀態(tài)。 共八十四頁分析(fnx)：從A狀態(tài)到B狀態(tài)外荷載做功的增量(zn lin)：彈性體應(yīng)變能增量:對于彈性靜力學(xué)問題，根據(jù)熱力學(xué)第一定律： 共八十四頁微元體在某一應(yīng)變(yngbin)狀態(tài)獲得的應(yīng)變(yngbin)能增量為其中， 為彈性體變形過程(guchng)中的位移增量。 利用高斯公式得：共八十四頁

6、考慮(kol)到應(yīng)力張量的對稱性，有共八十四頁定義：單位體積(tj)彈性體的應(yīng)變能(或稱應(yīng)變能密度)為 與前式比較(bjio)有：得共八十四頁比較(bjio):此式稱為格林(Green)公式(gngsh)，它適用于一般材料，不局限于線彈性材料。由于彈性體的應(yīng)變能由其變形狀態(tài)唯一確定，它是狀態(tài)函數(shù)，與變形過程無關(guān)，故有:共八十四頁在狀態(tài)(zhungti) 的應(yīng)變能密度為 、 為 0 、 的某個(mu )中間狀態(tài)。共八十四頁 彈性體應(yīng)變能是狀態(tài)函數(shù)，故上式積分與路徑無關(guān)。 對于線性問題(wnt)，可假設(shè)在變形過程中應(yīng)力、應(yīng)變分量等比例增長。 共八十四頁2. 余應(yīng)變(yngbin)能、余應(yīng)變(yng

7、bin)能密度對于(duy)單向拉伸問題應(yīng)變能密度為 引入另一標(biāo)量函數(shù)：即余應(yīng)變能密度。 余應(yīng)變能共八十四頁一般(ybn)地，應(yīng)變能密度和余應(yīng)變能密度滿足關(guān)系 對于(duy)線彈性體共八十四頁11 3 廣義(gungy)虛功原理一、真實位移(wiy)、真實應(yīng)力和真實應(yīng)變即幾何連續(xù)條件共八十四頁即平衡條件它們(t men)構(gòu)成彈性力學(xué)問題的解。共八十四頁二、容許(rngx)位移、容許(rngx)應(yīng)變共八十四頁 只對應(yīng)于一個連續(xù)的位移場，但不一定對應(yīng)于一個平衡的應(yīng)力(yngl)狀態(tài)，即與 對應(yīng)的應(yīng)力(yngl)不一定滿足平衡條件；而真實位移必對應(yīng)一個平衡的應(yīng)力(yngl)狀態(tài)。 容許位移和應(yīng)變不一

8、定是真實的位移和應(yīng)變。但反之，真實的位移和應(yīng)變必然是容許的。 比較(bjio)共八十四頁3、容許(rngx)應(yīng)力共八十四頁比較(bjio)與容許應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變與位移不一定滿足協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件，不保證(bozhng)物體內(nèi)部存在單值連續(xù)的位移場，但真實應(yīng)力對應(yīng)于單值連續(xù)的位移場。容許應(yīng)力不一定是真實的應(yīng)力。但反之，真實的應(yīng)力必然是容許的。 共八十四頁4、虛位移、虛應(yīng)變(yngbin)彈性體平衡位置附近，幾何約束條件容許(rngx)的微小位移，記為共八十四頁5、虛應(yīng)力(yngl)彈性體平衡位置附近，平衡條件所容許(rngx)的微小應(yīng)力狀態(tài).但在位移邊界上引起一個容許的面力共八十四頁6、廣義(

9、gungy)虛功原理外力在容許位移上所做的功等于容許應(yīng)力(yngl)在與該容許位移相應(yīng)的容許應(yīng)變上所做的功。簡述為，外力虛功等于內(nèi)力虛功。 共八十四頁證明(zhngmng)：移項(y xin)后，得證。 共八十四頁說明(shumng)： 1、證明中，涉及到平衡、幾何方程，并未涉及到物理方程。故在小變形及連續(xù)性條件(tiojin)下，適用于任何材料。 2、容許應(yīng)力與容許位移、容許應(yīng)變可以是同一彈性體中不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，彼此獨立。 3、（a）平衡條件、（b）幾何條件、（c）廣義虛功方程三者間的關(guān)系由其中任兩個條件可得第三個。共八十四頁由（b）、（c) (a) 表述為：若有一組內(nèi)外力，對于任

10、意容許位移和相應(yīng)的容許應(yīng)變，使廣義虛功原理成立(chngl)，則這組內(nèi)外力是平衡的。證明(zhngmng)：因為廣義虛功原理共八十四頁共八十四頁由（a）、（c) (b) 表述為：若有一組位移和應(yīng)變(yngbin)，對于任意容許應(yīng)力，使廣義虛功原理成立，則這組位移和應(yīng)變(yngbin)是可能的。關(guān)系(gun x)：平衡條件幾何條件平衡條件幾何條件廣義虛功原理共八十四頁7、虛位移原理(yunl)共八十四頁由廣義(gungy)虛功原理：并取共八十四頁虛位移原理(yunl)外力虛功(x n)=內(nèi)力虛功(x n)即為：或稱：虛位移原理 平衡方程應(yīng)力邊界條件共八十四頁8、虛應(yīng)力(yngl)原理由廣義(gu

11、ngy)虛功原理：共八十四頁由廣義(gungy)虛功原理：外余虛功(x n)=內(nèi)余虛功(x n)共八十四頁表明(biomng)在已知位移的邊界(binji)上，虛面力在真實位移上作的功，等于整個彈性體的虛應(yīng)力在真實應(yīng)變上作的功。即虛應(yīng)力原理。虛應(yīng)力原理 幾何方程位移邊界條件共八十四頁9、功的互等定理(dngl) 廣義虛功方程應(yīng)用于同一彈性體兩種不同(b tn)受力和變形狀態(tài)下的解答。共八十四頁若取第一種應(yīng)力，第二種位移(wiy)和應(yīng)變，則：若取第二種應(yīng)力，第一種位移(wiy)和應(yīng)變，則：故有：共八十四頁注意(zh y)：1、功的互等定理(dngl)僅適用于線彈性體2、可進(jìn)一步得到位移互等、反力

12、互等定理。共八十四頁114 最小勢能原理(yunl)、位移變分方程虛位移原理(yunl)稱為位移變分方程，也稱lagrange變分方程。共八十四頁表示：彈性體應(yīng)變能的變分等于(dngy)外力的虛功。另：外力大小和方向(fngxing)在 過程中不變。共八十四頁對于(duy)線彈性體： 由此可見，在滿足幾何條件的所有可能的位移中，實際存在的位移使總勢能變分為零，即：使總勢能取駐值。 進(jìn)一步可以證明，對于穩(wěn)定平衡(wndng pnghng)狀態(tài)， ，這個駐值為極小值。又解具有唯一性，由此可以導(dǎo)出：共八十四頁最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，實際存在的位移使總勢能取最小值。它等價于平衡(pngh

13、ng)方程和應(yīng)力邊界條件。證明如下：共八十四頁必要性也成立(chngl)。所以變分問題 的歐拉方程為 ，自然邊界(binji)條件為應(yīng)力邊界(binji)條件。共八十四頁證明(zhngmng)是極小值 對于(duy)線彈性體，其總勢能為共八十四頁又：共八十四頁對于(duy)穩(wěn)定平衡，應(yīng)力存在變分由：而：得：所以(suy)共八十四頁115 最小余能原理(yunl)、應(yīng)力變分方程1、在第二節(jié)已經(jīng)(y jing)證明了同樣，可以證明共八十四頁共八十四頁2、由虛應(yīng)力(yngl)原理即應(yīng)力(yngl)變分方程共八十四頁3、由于 是邊界(binji)u上給定的已知函數(shù)， 所以右端項中變分可以(ky)移到積

14、分號前面，并記 由此可見，在所有靜力可能的應(yīng)力中，實際存在的應(yīng)力使彈性體的總余能取駐值，進(jìn)一步可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個駐值為極小值。又解具有唯一性，由此可以導(dǎo)出最小余能原理：在所有靜力可能的應(yīng)力中，實際存在的應(yīng)力使彈性體的總余能取最小值。 得到:彈性體總余能共八十四頁證明(zhngmng)：最小余能原理等價(dngji)于幾何方程和位移邊界條件。 共八十四頁反之(fnzh)，必要性也成立 變分問題 的歐拉方程為幾何(j h)方程，自然邊界條件為位移邊界條件。共八十四頁118 基于最小勢能(shnng)原理的近似計算基于最小勢能原理，如果能夠列出所有變形可能的位移，其中使總勢能取最小值的

15、那個位移，就是真實的位移。問題在于：我們(w men)不可能列出所有變形可能的位移，一般只能選其中的一組，故解具有近似性。但：如果事先給出的變形可能位移中含有真解的形式，則一定可以求出真解。共八十四頁1. Ritz 法不失(b sh)一般性,設(shè)可能位移為上式所示的位移(wiy)總能滿足位移(wiy)邊界條件 共八十四頁求位移的問題(wnt) 求系數(shù)m,m,m其中,含有(hn yu)應(yīng)變能和位移的變分,如何實現(xiàn)?共八十四頁代入,有:共八十四頁m，關(guān)于(guny)m,m,m的3m個線性代數(shù)方程組 共八十四頁2.伽遼金法 由:得到(d do):共八十四頁如果(rgu)選擇的位移不僅滿足位移邊界條件，

16、而且還滿足應(yīng)力邊界條件，則上式成為共八十四頁關(guān)于(guny)m,m,m的3m個線性代數(shù)方程組 得到(d do):共八十四頁例1.求簡支梁的撓曲線(qxin)滿足(mnz)端點基本邊界條件:分析:關(guān)鍵是求J 的表達(dá)式,設(shè):w()， w(l）共八十四頁由最小勢能(shnng)原理，得到:代入:所以(suy)有:共八十四頁例2.平面矩形薄板(bo bn)受均布壓力作用1) 寫出位移(wiy)邊界條件2) 設(shè)滿足位移邊界條件的位移函數(shù)共八十四頁具體(jt)可先取一項3) 計算(j sun)共八十四頁得到(d do):求出:根據(jù)(gnj):共八十四頁119 基于(jy)最小余能原理的近似計算1) 設(shè)定容許(rngx)應(yīng)力共八十四頁2) 根據(jù)(gnj)最小余能原理得到(d do):共八十四頁3) 討論(toln):m，當(dāng)位移邊界(binji)上的位移全為零，或全部邊界為應(yīng)力邊界條件，有：m，共八十四頁內(nèi)容摘要第十一章。兩種方法具有等價性,且力學(xué)問題中的泛函多為能量,是標(biāo)量,應(yīng)用方便。函數(shù)是實數(shù)空間到實數(shù)空間的映射。是函數(shù)空間到實數(shù)空