高三數(shù)學專題復習立體幾何蘇教版知識精講

1、高三數(shù)學專題復習：立體幾何蘇教版【本講教育信息】.教學內容：專題復習：立體幾何.高考要求：了解：柱、錐、臺、球及其簡單組合體；三視圖與直觀圖；柱、錐、臺、球的表面積和 體積；平面及其基本性質；理解：直線與平面平行、垂直的判定與性質；兩平面平行、垂直的判定與性質三.基本內容：1、空間基本元素：直線與平面之間位置關系的小結。如下表:if 條件 結論 j線線平行線面平行囿囿平行垂直關系線線平行如果 a / b, b / c, 司B么aH c如果a“ a , a二 3 , 3 n a = b, 那么a/ b如果a /3,an y=a,3n丫=b,那么 a/ b如果a a , b1 a ,另B么a b線

2、面平行如果 a/ b, aiZ a , bC a ,那么 a/ a如果 a / 3 , ac a ,那么a / 3囿囿平行如果a二a , be a , cu 3 , d c 3 , all c, b II d, ad b = P,那么 a / 3如果 az a , be a , a A b= P, a / 3 , b / 3 ,那 么 a / 3如果a / 3 , 3Y ,那么a丫如果a a , a 3 ,那么a / 3參件結論線線垂直線面垂直卸回垂直平行關系線線垂直三垂線定理及逆 定理如果a a , ba a ,那么a b如果三個平囿兩 兩垂直，那么它們 的交線兩兩垂直如果 a/ b, a

3、c,那么bc線圓垂直如果 ab,ac, b 二 a , c 匚 a , b n c= P,那么a _L a如果a 3 , a A 3 = b, a = a , ab,那么a 3如果a a , b II a,那么 b a卸回垂直定義(二面角等 于 90 )如果a a , aa 3 ,那么3 -L a2、空間元素位置關系的度量(1)角：異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角，都化歸為平面幾何中兩 條相交直線所成的角。異面直線所成的角：通過平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線、補形法等。直線和平面所成的角：通過作直線射影的作圖法得到。二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線定理

4、法，棱的垂面法及面 積射影法。(2)距離：異面直線的距離，點面距離，線面距離及面面距離。異面直線的距離：除求公垂線段長度外，通?；瘹w為線面距離和面面距離。線面距離，面面距離?；瘹w為點面距離。3、棱柱、棱錐是常見的多面體。在正棱柱中特別要運用側面與底面垂直的性質解題，在 正棱錐中，要熟記由高PO,斜高PM,側程PA,底面外接圓半徑 OA,底面內切圓半徑 OM, 底面正多邊形半邊長 OM構成的三棱錐，該三棱錐四個面均為直角三角形。P4、球是由曲面圍成的旋轉體。研究球，主要抓球心和半徑。5、立體幾何的學習，主要把握對圖形的識別及變換(分割，補形，旋轉等)，因此，既要熟記基本圖形中元素的位置關系和度量

5、關系，也要能在復雜背景圖形中“剝出”基本圖形?！镜湫屠}】例 1.在正方體 ABCD A1B1c1D1 中，E、F、G、H 分別為棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中 點，O為AC與BD的交點(如圖)，求證：(1) EG/平面BBiDiD; (2)平面BDF/平面 BiDiH; (3) AiO,平面 BDF; (4)平面 BDF，平面 AAiC。F.解析：(1)欲證EG/平面BBiDiD,需在平面BBiDiD內找一條與EG平行的直線， 構造輔助平面BEGO 及輔助直線BO,顯然BO 即是。(2)按線線平行 二 線面平行 二 面面平行的思路，在平面 BiDiH內尋找BiDi和O H 兩條關鍵

6、的相交直線，轉化為證明：BiDi/平面BDF, O H/平面BDF。(3)為證AiOL平面BDF ,由三垂線定理，易得BD AiO,再尋AiO垂直于平面 BDF 內的另一條直線。 猜想AiOXOFo借助于正方體棱長及有關線段的關系計算得：AiO2+OF22= AiF = AiOXOFo CCi,平面 ACCCiXBD 又 BDACBD，平面 AA iC又BDU平面BDF平面BDF，平面 AA 1c例2.在正方體 ABCD AiBiCiDi中，M為DDi中點，O為底面ABCD的中心，P為棱AiBi上任意一點，求直線 OP與直線AM所成的角。解析：取P點的特殊點 Ai,連OAi,在底面上過 O作O

7、ELAD于E,連AE OE，平面 ADD1A1, AM A1E根據(jù)三垂線定理，得： AM OAi,故直線OP與直線AM所成的角為三2評注：化“動”為“定”是處理“動”的思路例3.如圖，三棱錐 D ABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，/ ABC = /BAD =90 ,其腰 BC = a,且二面角 DABC = 60 。D(I)求異面直線DA與BC所成的角的度數(shù)；(2)求異面直線BD與AC所成的角的余弦值；(3)求D到BC的距離；(4)求異面直線 BD與AC的距離。解析：(I)在平面 ABC內作AE / BC,從而得/ DAE =60 DA 與 BC 成 60 角(2)過B作BF

8、 / AC ,交EA延長線于F,則/ DBF為BD與AC所成的角由DAF 易得 AF=a, DA =a, Z DAF =i20DF 3-.3 2=a a = a 24=a2+a22a2 ( _1) = 3a2DF = V3 a2在 DBF中，BF = AC= 2 a，cos/ DBF = 1異面直線BD與AC所成角的余弦4值為工4 BAL平面 ADE 平面 DAE，平面 ABC故取AE中點M,則有DM,平面ABC ;取BC中點N,有MN，BC ,根據(jù)三垂線定 理，DNLBC3、7 .DN 是 D 到 BC 的距離，在 DMN 中，DM =53 a, MN = a,DN = a BF 仁平面 B

9、DF , AC 0平面 BDF , AC / BFAC /平面 BDF又BD仁平面BDFAC與BD的距離即AC到平面BDF的距離iVA -BDF =-h SBDF , Va -BDF =VbDF 3Sbdf 二 一 AB S. Adf 3ii _, I5 . I5 2=-BD BF sin/DBF = , 2a . 2a =a2i= AF DM 22244由 h 二 AB S-ADF 一S.BDF5a ,即異面直線 BD與AC的距離為 吧a5評注：三棱錐的等體積變換求高，也是求點到面距離的常用方法。例 4.如圖，在 60 的二面角 a CD 3 中，AC C a , BD = 3 ,且/ AC

10、D =45 , tg /BDC=2, CD=a, AC = x, BD = 75 x,當x為何值時，A、B的距離最小？并求此距 離。解析:BF 成 60作AECD于E, BFLCD于F,則EF為異面直線 AE、BF的公垂線，AE與 角，可求得|AB| = 7x2 -4ax+a2 ,當x=當 時，|AB|有最小值、；1a。評注:轉化為求異面直線上兩點間距離的最小值。例5.如圖，斜三棱柱 ABCA B C中，底面是邊長為 a的正三角形，側棱長為 b, 側棱AA 與底面相鄰兩邊 AB、AC都成45角，求此三棱柱的側面積和體積。解析：在側面 AB 內作 BDXAA 于D,連結 CD DAB DAC A

11、C =AB , AD = AD , Z DAB = Z DAC = 45ZCDA =Z BDA =90 , BD = CD ,BD AA ； CDAAADBCADBC2是斜二棱枉的直截面，在 RtAADB中，BD = AB sin45 = a 22的周長=BD + CD + BC= ( J5 + 1) a, DBC 的面積= 4a2b(BD + DC + BC) = ( 42 + 1) ab,V= SBC AA =4評注：求斜棱柱的側面積有兩種方法，一是判斷各側面的形狀，求各側面的面積之和， 二是求直截面的周長與側棱的乘積，求體積時同樣可以利用直截面，即V=直截面面積X側棱長。例 6.在三棱錐

12、 PABC 中，PC=16cm, AB = 18cm, PA= PB= AC = BC= 17cm,求三棱 錐的體積VPABC。解析：取PC和AB的中點M和N-V P SBC - VP SM B Vc -M B - PC S . AM B3在 AAMB 中，AM 2= BM 2= 172 82 = 25 X 9,AM=BM = 15cm, MN 2= 152- 92=24X6 SaAMB = 1 X AB X MN = 1 X 18X12= 108 (cm2),22 VP Abc= 1 x 16X 108=576 (cm3)3評注：把一個幾何體分割成若干個三棱錐的方法是一種用得較多的分割方法，

13、這樣分割 的結果，一方面便于求體積，另一方面便于利用體積的相關性質，如等底等高的錐體的體積 相等，等底的兩個錐體的體積的比等于相應高的比，等等。例 7.在直角梯形 ABCD 中，/ A=Z D=90 , ABvCD, SDL平面 ABCD , AB = AD =a, S D= r2a,在線段SA上取一點E (不含端點)使 EC = AC,截面CDE與SB交于點 F。(1)求證：四邊形 EFCD為直角梯形；(2)求二面角B EF C的平面角的正切值；(3)設SB的中點為M ,當CD的值是多少時，能使 DMC為直角三角形？請給出證 AB明。解：(1)CD/AB, ABU 平面 SAB . . CD

14、/平面 SAB面 EFCD n 面 sab=ef,CD II EF /D =90 : CD _LAD,xsd_l abcdSD _LCD , CD _L 平面 sad, CD _L ED 又 EF AB CD:EFCD為直角梯形 丁 CD _L平面 SAD,EF / CD,EF _L平面 SADAE _LEF,DE _LEF,./AED 即為二面角 B EFC 的平面角7 ED _LCD ,二 RtACDE 中 EC2 =ED2 +CD2而 AC 2 =AD 2 +CD2 且 AC =EC.ED=AD=O(,二 AADE 為等腰三角形，zZAED =2AD ;Jan ZAED =2,CD ,(

15、3)當 =2時，mmc為直角三角形。 ABAB =a,. CD =2a,BD = AB2 AD2 = 2a, BDC =45二 BC = & BC-L BD ,SD_1平面 ABCD,，SD _LBC,a BC _L平面 SBD。在 iSBD 中，SD =DB,M 為 SB 中點，,MD _LSBomd _L平面 sbc,mcu平面 SBC, ,md _lmc，Admc 為直角三角形。例8.如圖，幾何體 ABCDE中， ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面 ABC ,且EA=AB=2a, DC = a, F、G 分別為 EB 和 AB 的中點。(1)求證：FD /平面ABC ;(2)求證：

16、AFXBD ;解：(1) F、G分別為EB、AB的中點，一 1 _FG=EA,又 EA、DC 都垂直于面 ABC , FG=DC,2，四邊形FGCD為平行四邊形，F(xiàn)D / GC,又GC匚面ABC ,FD /面 ABC。 AB = EA ,且 F 為 EB 中點，AF EB 又 FG / EA , EA，面 ABCFGm ABC .G 為等邊 ABC, AB 邊的中點，AG GCo . AFGC 又 FD/GC, ，AF，F(xiàn)D 由、知 AF，面 EBD，又 BD U 面 EBD ,AF BD o1 , P、Q分別是線段ADi和BD上的點,例9.如圖，正方體 ABCDAiBiCiDi的棱長為且 D

17、P : PA=DQ : QB = 5 ： 12.(1)求證 PQ/平面 CDD 1cl ；(2)求證 PQXAD ;(3)求線段PQ的長.解：(1)在平面AD 1內，作PP1 / AD與DD 1交于點P1 ,在平面AC內，作QQ1 / BC交CD于點Q1 ,連結P1Q1OOF DQ 5pl=efl=i2 PP14QQ1.PQ/ P1Q1 ,而 P1Q1 二平面 CDD1c1 ,由四邊形PQQ 1Pl為平行四邊形，知所以PQ /平面CDD 1cl(2) 丁 AD,平面 D1DCC1 ,ADLP1Q1 ,又PQ/ P1Q1, . ADPQ。(3)由(1)知 P1Q1 -PQ,也！=史_=&,而棱長

18、CD = 1。，DQ1=勺。同理可求得P1D=12oQ1c QB 121717在Rt4P1DQ 1中，應用勾股定理，得 P1Q1= 1RD2 +DQ2 = J但+應1=13。晨 17) 17；17作為本題的深化，我們提出這樣的問題：P, Q分別是BD, AD1上的動點，試求 PQ的最小值，請應用函數(shù)方法計算，并與如下 2002年全國高考試題作一對照，可以得到一些啟不 例10.如圖，正方形 ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。 點M在AC上移動，點N在BF上移動，若 CM = BN=a, (0 a J2)。a的余弦值。(1)求MN的長；(2)當a為何值時，MN的

19、長最小;(3)當 MN解析：立體幾何知識是復習耗時較多，而考試得分偏低的題型。只有放低起點，依據(jù)課 本，熟化知識，構建空間思維網(wǎng)絡，掌握解三角形的基本工具，嚴密規(guī)范表述，才能突破解 答立幾考題的道道難關。解：(1)作MP / AB交BC于點P , NQ / AB交BE于點Q ,連結PQ ,依題意可 得MP / NQ ,且MP = NQ ,即MNQP是平行四邊形。MN = PQ由已知 CM = BN = a , CB = AB = BE = 1AC =BF =：J2 , CP =BQ = 2a 2MN =PQ =J(1 -CP)2 BQ2上2 21(2)由(1) MN = (a - 2)2 %所

20、以，當a =時，MN .二22即當M、N分別為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為 、22(3)取MN的中點G ,連結AG、BG , AM = AN, BM = BN , G 為 MN 的中點AG _L MN ,BG _L MN ,即ZAGB即為二面角的平面角 a又 AG -BG由余弦定理有,cos 一:6 6 26 6 2(丁(7 一1，一,一 ，一、一，1故所求二面角a的余弦值為_13例11.在邊長為a的正三角形的三個角處各剪去一個四邊形。這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的， 并且這三個四邊形也全等， 如圖。若用剩下的部分折成一個無蓋的正 三棱柱形容器，如圖。則當容器的高為多少

21、時， 可使這個容器的容積最大，并求出容積的 最大值。圖圖解：設容器的高為x。則容器底面正三角形的邊長為a -2v3x ,r 9x (a -2 3x) (0 :二 x. V(x)=344443x (a 2 , 3x)(a 2 3x)4 4.3 TOC o 1-5 h z ,1 ,4 3x a -2 3x a -2 3x、3 a3 三一()=一 16354,3當且僅當 4M3x =a-243乂 即* =a日f, Vmax =. 1854故當容器的高為 逅a時，容器的容積最大，其最大容積為h1854 .2002 年三角函數(shù)的最值問題用導數(shù)求解最方便，不妨一試.另外，本題的深化似乎與全國高考文科數(shù)學壓

22、軸題有關.類似的問題是：某企業(yè)設計一個容積為 V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當圓柱的底面半徑r和圓柱的高h為何值時，制造這個密閉容器的用料最省(即容器的表面積最小)例12.如圖所示，等腰 4ABC的底邊AB = 6j6,高CD = 3 ,點E是線段BD上異于點B, D的動點，點F在BC邊上，且EF AB ,現(xiàn)沿EF將 BEF折起到 PEF的位置，使PE，AE ,記BE = x , V(x)表示四棱錐 P -ACFE的體積.求V(x)的表達式；當x為何值時，V(x)取得最大值？當V(x)取得最大值時,求異面直線 AC與PF所成角的余弦值C TOC o 1-5 h z x2.6 2解：

23、1由折起的過程可知，PEL平面ABC, S逸bc =946 , S也ef = 8*dc =Jx:54 ,:12/6 仆 12、V (x) = x(9 x ) (0 x 0 , V (x)單調遞增；6x3v/6 34時，V(x)c0, V (x)單調遞減；因此 x=6時，V (x)取得最大值12、公；(3)過 F 作 MF/AC 交 AD 于 M ,則tF-E =E=,MB 鎏2=PM = 672 ,A C D1A口AB2 TOC o 1-5 h z 6，：距 -MF =BF =：PF : =BC ,54 9 二 , 42 ,3.63在 PFM中，cos/PFM =84 72 =-，異面直線 A

24、C與PF所成角的余弦值為 -。4277【模擬試題】.如下圖中“斜二測”直觀圖所示的平面圖形是.設l, m, n均為直線，其中 m , n在平面a內，“ l _Lct ”是“ l _L m ”且“ l _L n 的 條件。.設l,m,n表示三條直線，3,B,Y表示三個平面，給出下列四個命題，其中真命題是O若l _L 口，m _L久，則l m ;若muP,n是l在口內的射影，m _L l ,則m _L n ; 若mua,mn ,則na ；若尊1工H 1尸，則aP .已知某個幾何體的三視圖如下(主視圖的弧線是半圓)，根據(jù)圖中標出的尺寸(單位：cm),可得這個幾何體的體積是 cm3.已知PA _L正方

25、形ABCD所在的平面，垂足為 A ,連結PB, PC, PD, AC,BD ,則互 相垂直的平面有 對。.下列命題中正確的個數(shù)有 (1)平行于同一直線的兩個平面平行；(2)平行于同一平面的兩個平面平行；(3)垂直于同一直線的兩直線平行；(4)垂直于同一平面的兩直線平行 .如圖，正方體 ABCD AiBiCiDi中，對角線BD1與過A、D、C1的平面交于點 M ,則 BM : MD i=.直三棱柱 ABCAiBiCi的體積為V,點P、Q分別在側棱 AA和CC1上，AP=C1Q,則 四棱錐BAPQC的體積為.下面命題中，正確結論有 如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；如果兩

26、條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.下面條件中，能判定直線L平面a的有,與平面a內的兩條直線垂直，與平面a內的無數(shù)條直線垂直與平面a內的某一條直線垂直點與平面a內的任意一條直線垂直.在正四面體 P-ABC中，D, E, F分別是AB, BC, CA的中點，下面四個結論中不. 成立的有EBC平面PDFDFPAE平面PDF，平面 ABC 平面PAE，平面 ABC.如圖，在正方形 SGiG2G3中，E, F分別是G1G2, G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn) 沿SE, SF及EF把這個正方形折成一個幾何體，使 Gi, G2, G3三點重合于點 G,這樣，有 下列五個結