高三物理例析常見(jiàn)天體和航天問(wèn)題模型

1、例析常見(jiàn)天體和航天問(wèn)題模型劉月剛（山東省沂南縣第二中學(xué) 276300 ）運(yùn)用萬(wàn)有引力定律研究天體（衛(wèi)星）運(yùn)動(dòng)一直是高考命題頻率較 高的知識(shí)點(diǎn)。雖然知識(shí)難度不大，規(guī)律性較強(qiáng)，但有關(guān)能力題目立意 越來(lái)越新，物理模型的構(gòu)建往往成了解決此類問(wèn)題的瓶頸，下面試析 一二：一、追及模型【例1】（2006江蘇卷第14題） 如圖3所示，A是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為 ho已知地球 半徑為R,地球自轉(zhuǎn)角速度為 a。，地球表面的重力加速度為 g, O為地球中心。圖3（1）求衛(wèi)星B的運(yùn)行周期。BA , *oA:（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（

2、。B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，他們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?【解析】（1）由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得 G Mm 0 = m4（R+h）（R h）2Tb2聯(lián)立解得TB=2nJ更斗g gR2（2）由題意得（0B -80）t =2幾TbgR23(R h)故 t=-2 二鵬)3- 0拓展1：若問(wèn)何時(shí)第3次相距最近呢？提示由（切B 00）t = 2x2n得t =gR2:（R h）3 一 0拓展2:相距最近的條件是（C0B -o0）t =2叩，（其中n=1, 2, 3表示第2, 3, 4次）變式：假設(shè)已知同步衛(wèi)星 A繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)半徑是 R,周期是T,設(shè)衛(wèi)星A、B的軌道都是圓軌道， 求兩顆衛(wèi)星的最近距離

3、是多少。提示：設(shè)衛(wèi)星B繞地球的周期為 Tb , Tb T,衛(wèi)星A、B每隔時(shí)間t相遇一次，則由tTb得TbtTt T設(shè)衛(wèi)星B繞地球軌道半徑為 RB，萬(wàn)有引力提供向心力有2MmB4 二G2- = mB-2- RbRBI B同理對(duì)于衛(wèi)星A繞地球運(yùn)動(dòng)也有MmG 2- = mR24二2 RR3由上面兩式有 -4Tb2R3T2 （也可直接由開(kāi)普勒定律得出）2/3r所以當(dāng)衛(wèi)星A、 B最近時(shí)二者的距離有d= Rb R =提醒：圍繞同一個(gè)天體運(yùn)行的兩顆衛(wèi)星模型，用開(kāi)普勒第三定律求解時(shí)間問(wèn)題會(huì)更加簡(jiǎn)潔 二、探測(cè)模型從西【例2】2007年10月24日18時(shí)05分04秒我國(guó)的第一顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)” 昌起飛升空，邁

4、出了探測(cè)月球的第一步，考察月球上是否存在水是其中的探測(cè)內(nèi)容之一。R=1738km,月球表面的重力加媒體曾報(bào)道從衛(wèi)星圖片和美、蘇（原蘇聯(lián)）兩國(guó)勘測(cè)結(jié)果證明， 在月球的陰暗面存在著大量 常年以固態(tài)形式蘊(yùn)藏的水冰。但根據(jù)天文觀測(cè)，月球半徑為速度約為地球表面的重力加速度的1/6,月球表面在陽(yáng)光照射下的溫度可達(dá)127C,此時(shí)水蒸氣分子的平均速度達(dá)到v=2000m/s。試分析月球表面沒(méi)有水的原因。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s 2）（要求至少兩種方法）解法1:假定月球表面有水，則這些水在 127 c時(shí)達(dá)到的平均速度 V0=2000m/s必須小于 月球表面的第一宇宙速度， 否則這些水將不會(huì)降落回月

5、球表面，導(dǎo)致月球表面無(wú)水。 取質(zhì)量為m的某水分子，因?yàn)镚M/m2=mv2/R, mg月=GM/m2, g月=/6 ,所以代入數(shù)據(jù)解得 V1=1700m/s, V1VV0,即這些水分子會(huì)象衛(wèi)星一樣繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)而不落到月球表面，使月球表面無(wú)水。解法2：設(shè)V0=2000m/s為月球的第一宇宙速度， 計(jì)算水分子繞月球的運(yùn)行半徑R,如果RR,則月球表面無(wú)水。取質(zhì)量為m的某水分子，因?yàn)?GM/rR2=mV2/R2, mg=GM/iR12, g月=g/6 ,所以R=V02/g月=2.449 x 106m, RR,即以2000m/s的速度運(yùn)行的水分子不在月球表 面，也即月球表面無(wú)水。解法3:假定月球表面有水，則

6、這些水所受到的月球的引力必須足以提供水蒸氣分子在月球表面所受到的向心力， 即應(yīng)滿足：mgi GM/1R2,當(dāng)V=V0=2000m/s時(shí)，g月 V02/R=2.30m/s 2, 而現(xiàn)在月球表面的重力加速度僅為g/6=1.63m/s 2,所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所對(duì)應(yīng)的向心力，也即月球表面無(wú)水。解法4:假定有水，則這些水所受到的月球的引力必須足以提供水蒸氣分子在月球表面所受到的向心力，即應(yīng)滿足：mg月GM/if，即應(yīng)有g(shù)月R v2而實(shí)際上：g月R=2.84 x 106m7s 2, V02=4 x 106m/s 2,所以V02g月R即以2000m/s的速度運(yùn)行的水分子不

7、能存在于月球表面，也 即月球表面無(wú)水。三、同步衛(wèi)星模型【例3】可能發(fā)射一顆這樣的人造衛(wèi)星，使其圓軌道A.與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓B.與地球表面上某一經(jīng)度線所決定的圓是共面的同心圓C.與地球表面上赤道線是共面的同心圓，且衛(wèi)星相對(duì)地球表面是靜止的 D.與地球表面上的赤道線是共面的同心圓，但衛(wèi)星相對(duì)地球是運(yùn)動(dòng)的【解析】人造地球衛(wèi)星飛行時(shí),力的方向必定指向圓心，由于地球?qū)πl(wèi)星的引力作為它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,而這個(gè)即指向地心，即所有無(wú)動(dòng)力的衛(wèi)星其軌道圓的圓心一定要和地球的中心重合，不能是地軸上（除地心外）的某一點(diǎn)，故A是不對(duì)的。由于地球同時(shí)繞著地軸在自轉(zhuǎn)，所以衛(wèi)星的軌道平面也不可能

8、和經(jīng)度線所決定的平面共面，所以B也是不對(duì)的。相對(duì)地球表面靜止的就是同步衛(wèi)星，它必須在赤道線平面內(nèi)， 且距地面有確定的高度，這個(gè)高度約為三萬(wàn)六千公里，而低于或高于該高度的人造衛(wèi)星也是可以在赤道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的，由于它們公轉(zhuǎn)的周期和地球自轉(zhuǎn)的周期不相同,就會(huì)相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)。 答案：CD點(diǎn)評(píng)：同步衛(wèi)星區(qū)別于一般衛(wèi)星的四個(gè)一定：定周期、定速度、定位置、定高度地球同步衛(wèi)星是人為發(fā)射的一種衛(wèi)星，它相對(duì)于地球靜止于赤道上空.從地面上看，衛(wèi)星保持不動(dòng)，故也稱靜止衛(wèi)星；從地球之外看，衛(wèi)星與地球共同轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，故稱地球同步衛(wèi)星.、所謂地球同步衛(wèi)星，是指相對(duì)于地面靜止且和地球具有相同周期的衛(wèi)星.即

9、同步衛(wèi)星的周期是一定的，而一般衛(wèi)星Tmin=85min。、同步衛(wèi)星必位于赤道上方 h處，軌道平面和赤道平面一定重合，相對(duì)于地球靜止，即位置是一的，而一般衛(wèi)星軌道也可以是任意的，只要軌道平面通過(guò)地球球心即可。、同步衛(wèi)星離地球表面的高度, Mm 2 ,口由Gm-2r得32rr =h是一定的.而一般衛(wèi)星高度可以是任意的,故 h = r -R = 35800kmGM- -2可以高于h也可以低于h.（4）、同步衛(wèi)星繞地球的運(yùn)行速度即環(huán)繞速度是一定的，2 v m r-=3.08km/ s而一般衛(wèi)星 vma=7.9km/sv = r四、幾何模型【例4】 晴天晚上，人能看到衛(wèi)星的條件是衛(wèi)星被太陽(yáng)照著且在人的視

10、野之內(nèi)。一個(gè)可看成漫反射體的人造地球衛(wèi)星的圓形軌道與赤道共面,衛(wèi)星自西向東運(yùn)動(dòng)。春分期間太陽(yáng)垂直射向赤道，赤道上某處的人在日落后 變暗而看不到了。已知地球的半徑 離地面的高度。8小時(shí)時(shí)在西邊的地平線附近恰能看到它，之后極快地R=6.4 X 106rm試估算衛(wèi)星軌道【解析】先畫(huà)出從北極沿地軸地球俯視圖（如圖設(shè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為4所示）。r （即衛(wèi)星到地心衛(wèi)星e尺太陽(yáng)光赤弓面的距離），在Q點(diǎn)日落后8小時(shí)時(shí)能看到衛(wèi)星反射的太陽(yáng)光，日落8小時(shí)Q點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)0角，由題意得日=-8父360o = 12024R6則求出衛(wèi)星軌道離地面的圖度h = r R = - R = R = 6.4M106 m

11、cos60反思：有些問(wèn)題中物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程盡管比較單一，但若這個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于另一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的參考系而言， 特別當(dāng)這兩個(gè)物體又是天體或微觀粒子時(shí)，學(xué)生由于缺乏空間想象能每當(dāng)這時(shí)，學(xué)生常常望題興嘆， 一籌莫展。力，就難以將其運(yùn)動(dòng)的平面或空間模型定格下來(lái), 五、雙星模型【例5】在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近的行星稱為雙星，由于兩星間的引力而使它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)中距離保持不變，已知兩個(gè)行星的質(zhì)量分別為M和M,相距為L(zhǎng),求它們的角速度.【解析】 如右圖5所示，設(shè)M的軌道半徑為ri, M的軌道半徑為2,兩個(gè)行星都繞O點(diǎn)做 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為3 ; 由于兩個(gè)行星之間的萬(wàn)有引力提供向心力， 根據(jù)牛頓第二定律

12、有圖5M1M 2L22=M 1rl，M1M2L212 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark59 o Current Document G(M1 M2)M2M1以上三式聯(lián)立解得二；1 2L; 廣1L,L3M1M 2M1M 2應(yīng)用拓展：雙星之間有相互吸引力而保持距離不變。二者一定繞其聯(lián)線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，二者運(yùn)行的角速度相等。雙星運(yùn)動(dòng)相似于 兩球一桿系統(tǒng)繞支點(diǎn)運(yùn)轉(zhuǎn)。暗物質(zhì)的例證現(xiàn)代宇宙學(xué)的研究認(rèn)為，宇宙中有許多看不見(jiàn)的物質(zhì)，稱為暗物質(zhì).對(duì)雙星系統(tǒng)的觀測(cè)可以為暗物質(zhì)的存在提供間接的例證.現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定， 該雙星系

13、統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M兩者相距L,它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。萬(wàn)有引力常量為 G求：(1)試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期 To(2)若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)周期為T(mén),且T ： T =1 ： JN(N A 1),為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的物質(zhì)一一暗物 質(zhì)，作為一種簡(jiǎn)化的模型， 我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗 物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響， 試根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物 質(zhì)的密度。【解析】(1)由萬(wàn)有引力提供向心力有:2GM 2L2T22L.T寸乩GM(2)設(shè)暗物的密度為p ,質(zhì)量為 m,則m

14、= P L3由萬(wàn)有引力提供向心力有:GM2GMm4二2L2L2T12由當(dāng)?shù)?M 4m書(shū))又m = nP 代入上式解得:。=3(N -1)M /2 L3六、三星模型2F2nG 看2二 R又由T =得:vD, F合=2F cos30，根據(jù)牛頓第【例6】（2006年廣東高考題）宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為mo

15、（1）試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期。（2）假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？本題涉及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度、周期、力的合成與分解、萬(wàn)有引力等知識(shí)，所涉知識(shí)面廣。但以宇宙中的三星系統(tǒng)為命題背景，物理情景新穎，新模型的構(gòu)建是本題的關(guān)鍵所在?！窘馕觥浚?）第一種形式下的三星系統(tǒng)如圖6所示，設(shè)中央星與對(duì)圓軌道上的星（伴星）萬(wàn)有引力為Fi,軌道上的兩顆星之間的萬(wàn)有引力為F2。根據(jù)萬(wàn)有引力定律得:設(shè)星體運(yùn)動(dòng)的線速度為 V,根據(jù)牛頓第二定律得:2一 一 V _F1 + F2 = mR5Gm聯(lián)立解得：V = . m 4RT = 16二2R3一；5Gm（2）設(shè)第二種形

16、式下星體之間得距離為d,情景如圖7,又知二定律得：F合聯(lián)立解得: 七、黑洞模型【例8】“黑洞”是愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中預(yù)言的一種特殊天體，它的密度極大，對(duì)周 圍的物質(zhì)（包括光子）有極強(qiáng)的吸引力.根據(jù)愛(ài)因斯坦理論，光子是有質(zhì)量的，光子到達(dá) 黑洞表面時(shí)也將被吸入.最多恰能繞黑洞表面做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)天文觀測(cè)，銀河系中心可能有一個(gè)黑洞，距該可能黑洞6.0 x 1012 m遠(yuǎn)的星體正以2.0 x 106 m/s的速度繞它旋轉(zhuǎn)，據(jù)此估算該可能黑洞的最大半徑是多少？（球留一位有效湫字）【解析】黑洞做為一種特殊天體一直受到廣泛的關(guān)注，種種跡象表明它確實(shí)存在于人的視野之外.由于黑洞的特殊性，所以當(dāng)分析本題的時(shí)候，一定要抓住其“黑” 的原因，即光子也逃不出它的引力約束.光子繞黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的軌道半徑就是黑洞的最大可能半 治根據(jù)愛(ài)因斯坦理論、光子有質(zhì)量，所以黑洞對(duì)光子的引力就等于它圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力，則2Mm cG-2- =m r r其中M為黑洞質(zhì)量，m為光子質(zhì)量，c為光速，r為軌道半徑，即黑洞的最大可能半徑.銀河系中的星體繞黑洞旋轉(zhuǎn)時(shí)，也可認(rèn)為做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力為二者之