高三物理斜交分解法在高中物理中的應(yīng)用

1、“斜交分解法”在高中物理中的應(yīng)用（續(xù)）08備考綜合熱身輔導(dǎo)系列山東平原一中 魏德田 253100除開(kāi)前文所述而外，在高中物理中利用矢量的“斜交分解法”（以下稱(chēng)“斜分法”）解決問(wèn)題的實(shí)例，可謂屢見(jiàn)不鮮。為了使初學(xué)者能理解和把握“斜分法”的應(yīng)用，下面再著重從 加速度的“斜交分解”角度，對(duì)幾個(gè)典型問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步的分析和探討。斜面的傾角為0，小車(chē)上O圖一13例題6如圖一13所示，小車(chē)從足夠長(zhǎng)的光滑斜面自由下滑。 吊著質(zhì)量為m的小球。試證明當(dāng)小球與小車(chē)保持相對(duì)靜止時(shí)，懸線(xiàn)垂直于斜面；懸線(xiàn)對(duì)小球的拉力多大？解析首先，由“運(yùn)動(dòng)分析”可知，當(dāng)小球與小車(chē)保持相對(duì)靜止時(shí)，二者具有相同的加速度 a。當(dāng)小車(chē)沿光滑斜面

2、 自由下滑時(shí)，由牛二定律可得小球的加速度a g sin - - - - -（T）顯然，其方向沿斜面向下。由于該加速度恰好等于小球的 “下滑力”產(chǎn)生的加速度，因而懸線(xiàn)的拉力根本沒(méi)有沿斜面的分量。因此，懸線(xiàn)必定垂直于斜面。然后，因小球只受重力 G拉力T作用，由力的獨(dú)立性、加速度的“斜分法” ，可知小球的加速度a可分解為豎直向下的重力加速度g和沿懸線(xiàn)向左上的拉力加速度a2,如圖一14所示。設(shè)懸線(xiàn)與豎直夾角為 “，再由正弦定理、牛二定律、角度關(guān)系， 可得gsin90 TOC o 1-5 h z a2_ asin(90 - ： ) sin 二 T = ma2(3) = e聯(lián)立式，即可求出T = mg c

3、os ?點(diǎn)撥應(yīng)用“斜分法”解決有關(guān)于加速度的物理問(wèn)題，也千萬(wàn) 不能忘記“解斜三角形”物理規(guī)律一一即正弦定理、余弦定理、拉密公式等等。這應(yīng)該是“斜例題7如圖一15所示，一個(gè)小球固定于小車(chē)支架上剛性細(xì)桿的頂端,且桿與水平方向圖一15分法”與“正分法”在處理物理問(wèn)題上的主要區(qū)別之所在。3的夾角為日=30 。當(dāng)系統(tǒng)以加速度 a=g水平向右運(yùn)動(dòng) 3時(shí)，求沿桿的軸線(xiàn)方向小球受到的彈力有多大？解析首先，分析可知當(dāng)系統(tǒng)自左向右加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球 受重力、桿的彈力作用，其合力作為系統(tǒng)前進(jìn)的動(dòng)力。根據(jù)力 的獨(dú)立作用原理，各個(gè)力都能產(chǎn)生各自的加速度。然后，把系統(tǒng)的加速度 a分解為由重力、桿的彈力分別產(chǎn) 生的加速度g、

4、aN,依“斜分法”可知三者恰能組成一個(gè)平行四 邊形，如圖一16 （左）所示，設(shè)加速度aN與水平方向成口角，由正弦定理、勾股定理， 可得mgy1617所示。從而Fni其中，F(xiàn)ni沿桿的軸線(xiàn)方向的支持力；Fn2則為垂直于軸線(xiàn)方向的扭轉(zhuǎn)彈力，如圖一（右）所示。F N2FN2 = Fn sin（a -6）最后，已知3 =30,再把式結(jié)果代入以上兩式可得=mg3=mg.3gi等兩個(gè)方向，均按做勻減速運(yùn)動(dòng)處理，亦可求出相同的結(jié)果，如圖一 g1 = g/sin點(diǎn)撥此例首先應(yīng)該明確一點(diǎn)，剛性桿所產(chǎn)生的彈力，不但有軸向的拉伸 （或壓縮）彈力，還有垂直于軸向的因桿的彎曲形變所導(dǎo)致的彈力。明確這一點(diǎn)，對(duì)解決有關(guān)剛性

5、桿的力學(xué)問(wèn)題是十分有意義的。例題8把一物體以初速度 vo沿與水平成。角的方向向斜上方拋出， 經(jīng)過(guò)時(shí)間t,試求， 物體沿初速度方向的末速度、位移等的大小。 t時(shí)刻物體相對(duì)拋點(diǎn)的豎直高度 h和水平 距離X。解析通常，把斜拋運(yùn)動(dòng)作為水平的“勻速”和豎直的“勻減速”處理。現(xiàn)在改變思路，應(yīng)用“斜分法”先把加速度g分解到左斜下（與初速度方向相反）的g1和水平向右g2 g/ tan。（2然后，設(shè)向斜上的末速度、位移分別為 四邊形定則、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可得v1 v0 g1ts1 =v0tg1t2 - -2v2 = -g2t_ _ 12s2 = g2t 2由式，即可求出Vi、Si,水平速度、位移分別為Vz、Sz。由

6、平行g(shù)X圖一17gFn2Oag圖一16我們aN3其方向與水平有 60。夾角。顯見(jiàn)，該彈力并不沿著桿的軸線(xiàn)方向。事實(shí)上，這種情況 下桿所產(chǎn)生的彈力， 是由桿的軸向的拉伸形變、橫向的扭轉(zhuǎn)形變等綜合產(chǎn)生的。因而， 可把彈力Fn再向這兩個(gè)方向做正交分解。從而求出F n 1 = Fn cos。）CB）. =sin-3 =60 一一 2據(jù)牛二定律，可知桿對(duì)小球的彈力大小為2 3 Fn =mgsin 90 sin ：222aN =ga -聯(lián)立式，可23 aN g-vi - v0 _gtsin 二s1 = v0t 一 g一 - -2 sin由于豎直位移只能由沿斜上的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生，水平位移則為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)在水平方向的代

7、數(shù) 和。考慮到兩式，從而不難求出以下結(jié)果1 , 2h = s1 sin 二-v0tsin 二- gt .2x = g cos s2 = v0t cos 二此結(jié)果與應(yīng)用“正分法”所得完全相同。點(diǎn)撥由解題過(guò)程可見(jiàn)，利用“斜分法”處理各種拋體運(yùn)動(dòng)，雖然有時(shí)顯得略微麻煩一 些，但是它又畢竟是解決拋體運(yùn)動(dòng)的一種有效方法和正確途徑。特別是解決斜下、上拋問(wèn)題, 不但能應(yīng)用一題多解方式，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，取得異途同歸的教學(xué)效果，而且對(duì)培養(yǎng)臨場(chǎng)應(yīng)變 能力，增強(qiáng)自信心，活化思維方法，克服思維定勢(shì)等等都是有“百益而無(wú)一害”的。例題9 一圓錐擺的懸線(xiàn)長(zhǎng)為1,小球質(zhì)量為m,當(dāng)小球在水平面內(nèi)以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求懸線(xiàn)的拉力多大？

8、解析類(lèi)似地，因小球只受重力、 拉力作用，故小球做圓 周運(yùn)動(dòng)的向心加速度 a可“斜分”為重力加速度g和拉力加速 度a?、，如圖一18所示。然后，設(shè)懸線(xiàn)與豎直的夾角為 0 ,由 正弦定理、向心加速度公式及線(xiàn)段關(guān)系，易知 TOC o 1-5 h z 戛 =asin90 sin 二a =co2rr = Lsin1聯(lián)立式，即可求出一2.T = m L.點(diǎn)撥此例難度不大，但還是應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，從矢量運(yùn)算角度看“圓錐擺” 的實(shí)際加速度一一即合加速度可認(rèn)為由重力加速度、拉力加速度合成的，方向則時(shí)刻指向水平面內(nèi)“軌跡圓”的圓心。例題10 一質(zhì)量為m的小球固定在一根自然長(zhǎng)度為I。、勁度為k的彈簧的一端，另一端懸掛于天花

9、板上的 O點(diǎn)?，F(xiàn)使小球與懸點(diǎn)位于同一水平線(xiàn)上的A點(diǎn)，而彈簧恰能處于自由狀態(tài)，然后由靜止釋放。當(dāng)小球依動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，下落高度為h,測(cè)得此時(shí)其長(zhǎng)度為1。試求:k 2小球在B點(diǎn)的瞬時(shí)加速度的大小。(設(shè)一=切2 )mO點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)等兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。類(lèi)似地,解析首先，分析可知小球參與自由落體運(yùn)動(dòng)和繞 小球的加速度a可“斜分”為重力加速度 g、彈簧的拉力 加速度a2,如圖一19所示。-k 2，一 八 , 一山 1已知 =0 ,由胡克定律、牛二定律可得m TOC o 1-5 h z k(1 To)一-a2 0 (1 - 10)m然后，對(duì)矢量三角形，應(yīng)用余弦定理可得a = g2 a2 -2ga2cos-cosa =-1

10、再聯(lián)立式式，即可解得242g24(i -lo)222g 2(l -lo)h點(diǎn)撥此例把胡克定律、運(yùn)動(dòng)定律和“解斜三角形”的知識(shí)聯(lián)系在一起，由自由落體、 定軸可變半徑的轉(zhuǎn)動(dòng)合成為實(shí)際運(yùn)動(dòng)，亦可謂力學(xué)綜合題的一種題型。例題11假如地球?yàn)橘|(zhì)量分布均勻的正球體，其質(zhì)量、自轉(zhuǎn)的角速度、半徑分別為M、R、R,求地球表面緯度為 60處的重力加速度。（已知引力常量為 G）解析如圖一20所示，MN表示地軸，O O分別表示地心、地面緯度 60 P點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)中 心，由萬(wàn)有引力、牛二定律可得引力加速度為MR2又，由向心力公式可得、2 a22Rsin 60 = 2顯然，此加速度由萬(wàn)有引力垂直于地軸的一個(gè)分力產(chǎn)生。根據(jù)矢量“斜分法”，可得重力加速度、向心加速度和引力加速度等的平行四邊形（或三角形）。針對(duì)矢量三角形，由余弦定理可得g =、a2 +a； -2aa2cos600 -聯(lián)立式，即可求出2323GM R R、g 2 1 一 （1 一 ）R2 . 2GM 2GM點(diǎn)撥若令a=GM,k=/