高三物理萬有引力定律和天體運動

1、萬有引力定律和天體運動重點難點1.研究天體運動的基本方法 ：研究人造衛(wèi)星、行星等天體的運動時，我們進行了以下近似：中心天體是不動的，環(huán)繞天體以 中心天體的球心為圓心做勻速圓周運動；環(huán)繞天體只受到中心天體的萬有引力作用，這個引力提供 環(huán)繞天體圓周運動的向心力.日 nmjm2 U 2 2 / 2冗、2即 G r2= m2丁 = m2 r = m2 () r2.衛(wèi)星的速度、角速度、加速度、周期和軌道半徑的關(guān)系GM,即線速度U ；2) co半,即角速度 38南;4-2 3T = 471 r ,即周期3肝,或 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document GM,小 G

2、M 一 . 、1a= 了，即向心加速度as?T2GM2,即開普勒第三定律；規(guī)律方法【例1】由于萬有引力定律和庫侖定律都滿足于平方反比律，因此引力場和電場之間有許多相 似的性質(zhì)，在處理有關(guān)問題時可以將它們進行類比.例如電場中反映各點電場強弱的物理量是電場強度，其定義式為 E =在引力場中可以有一個類似的物理量來反映各點引力場的強弱.設地球qG.如果一個質(zhì)量為 m的物體位于(AD)質(zhì)量為M,半徑為R,地球表面處重力加速度為g,引力常量為距地心2R處的某點，則下列表達式中能反映該點引力場強弱的是MA. G 2(2R)mB . G2(2R)MmC. G2(2R)D- 4訓練題在某星球表面以初速度 4豎

3、直上拋一個物體，若物體受到該星球引力作用，忽略其他力的影響，物體上升的最大高度為 h,已知該星球的直徑為 d,如果要在這個星球上發(fā)射一顆繞它運行的衛(wèi)星，其做勻速圓周運動的最小周期為A. VdhB.- 0【例2】已知萬有引力常量是 度h,月球繞地球的運動周期為 以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量二 d0hC.2二,hG,地球半徑R,月球和地球之間的距離D. x/dh- 0r,同步衛(wèi)星距地面的高同步衛(wèi)星繞地心作圓周運動,Tn地球的自轉(zhuǎn)周期為M的方法：T2,地球表面的重力加速度g,某同學根據(jù)由GMm二m(2h,得 M =4 二2h3GT22(1)請判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由，如不正確，請給出正確

4、的解法和結(jié)果.(2)請根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果.【解析】(1)地球半徑約為6400km,同步衛(wèi)星的高度約為 36000km.計算同步衛(wèi)星軌道半徑時,就不能忽略地球的半徑.故題中的結(jié)果是錯誤的.正確的解法和結(jié)果是：由G-m-2 = m (巴)2 (R+h)，得：M =4二 2(R h)3GT22(2)方法一：由月球繞地球做圓周運動，有:GMmr2二、2=m ()rT14二 2r3GT12方法二：在地面附近重力近似等于萬有引力，由GMm2Rmg 得：M =R2g G(R+h)t2衛(wèi)星繞地球運動，有:其中地球的質(zhì)量為M,圖中球冠的高為h,則h = r (1-cos 心【例3

5、】一地球探測飛船在地球赤道上空繞地球做圓周運動，用攝像機拍攝地球表面圖片.已知地球的密度為 p,飛船的飛彳T周期為 T (小于24h).試求攝像機所能拍攝的總面積與地球表面積之比.(萬有引力常量為 G;球體體積公式為 V = 4兀3, r為球半徑；球冠面積公式為S = 2 71rh r為3球半徑，h為球冠高)【解析】如圖所示，設地球半徑為 r,衛(wèi)星的軌道半徑為 R.圖 中兩個陰影部分的球冠表面積是不能拍攝到的區(qū)域.2GMm 4.丁 二 mJR則 M = 371r3 PR -r其中 cos a =J-Z一R而球冠的總面積為 S = 2rh四，地球的表面積為_2S = 4優(yōu)解得攝像機所能拍攝到的總

6、面積與地球表面積之比為S-S S3 二 21-(2)3-GpT2訓練題宇宙飛船上的科研人員在探索某星球時，完成如下實驗：當飛船停留在距該星球一定的距離時，正對著該星球發(fā)出一個激光脈沖，經(jīng)過時間t后收到反射回來的信號，并測得此時刻星球?qū)τ^察者的眼睛所張視角為日；當飛船在該星球著陸后，科研人員在距星球表面 h處以初速度vo水平拋出一個小球，并測出落點到拋出點的水平距離為$已知萬有引力恒量 G,光速c,星球的自轉(zhuǎn)影響以及大氣對物體的阻力均不計。試根據(jù)以上信息，求：(1)星球的半徑Ro(2)星球白質(zhì)量M。9929c t v0 hsin2 “22GS2(1 -sin ) 20 ctsin答案：R =2,

7、 MU2(1-sin 2)【例4】閱讀下列材料，并結(jié)合該材料解題.開普勒從1609年1619年發(fā)表了著名的開普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上繞太陽運動，太陽在這些橢圓的一個公共焦點上.第二定律：太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積.第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等. 實踐證明，開普勒三定律也適用于人造地球衛(wèi)星的運動. 如果人造地球衛(wèi)星沿半徑為r的圓形軌道繞地球運動，當開動制動發(fā)動機后，衛(wèi)星速度降低并轉(zhuǎn)移到與地球相切的橢圓軌道上， 如圖所示.問在這之后衛(wèi)星經(jīng)過多長時間著陸。空氣阻力不計，地球半徑為R,地球表面重力加速度

8、為 g,圓形軌道應為橢圓軌 道的一種特殊形式.【解析】衛(wèi)星在半徑為 r的圓軌道運動有：2GMm4 二l m m7r r22r 1得此時衛(wèi)星的周期為Ti= 2雙層,GM衛(wèi)星沿橢圓軌道運動時，其半長軸為a= 等由開普勒第三定律有:T2T3 rT2R+r (2得)3R+rT2=兀(R+r)&GM另外，在地球表面時，近似有:GMm = mg,得 GM = R2g. R ,、.一T2 一從開始制動到飛船著陸，經(jīng)過時間為t,則t = T2,得t=訓練題盧瑟福的“粒子散射實驗，建立了原子的核式模型，原子的核式模型又叫做原子的行星 模型，這是因為兩者之間有極大的相似之處，帶電粒子間遵循庫侖定律，而星體之間遵循

9、萬有引力定律，兩定律有相同的表達形式.以無窮遠處電勢為零點，點電荷的電勢為u=卓可推出氫原子基態(tài)能級為-13. 6eV.(1)令距地球無窮遠處為重力勢能的零點，計算：質(zhì)量為 1t的衛(wèi)星，繞地表飛行，其總機械 能為多大？(2)再補充多少能量可使它脫離地球的引力？答案：(1) E = -3. 1X1010JA. 1M010J能力訓練. 2005年10月12日，我國利用 神舟六號”飛船將宇航員費俊龍、聶海勝送入太空，中國成 為繼俄、美之后第三個掌握載人航天技術(shù)的國家.設費俊龍測出自己繞地球球心做勻速圓周運動的 周期為T.離地面的高度為 H,地球半徑為 R.則卞據(jù)T、H、R和萬有引力恒量 G,費俊龍不

10、能計 算出下面的哪一項(C )A.地球的質(zhì)量B.地球的平均密度C.飛船所需的向心力D.飛船線速度的大小.如圖在發(fā)射地球同步衛(wèi)星的過程中，衛(wèi)星首先進入橢圓軌道I ,然后在Q點通過改變衛(wèi)星速度，讓衛(wèi)星進入地球同步軌道n ,則(CD )/ 出一a .該衛(wèi)星的發(fā)射速度必定大于ii.2km/sb.衛(wèi)星在同步軌道n上的運行速度大于7.9kr/sC.在軌道I上，衛(wèi)星在 P點速度大于在 Q點的速度D.衛(wèi)星在Q點通過加速實現(xiàn)由軌道I進入軌道n神舟”五號載人飛船在繞地球飛行的第五圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨葹閔的圓形軌道.已知飛船的質(zhì)量為m,地球半徑為R,地面處的重力加速度為 g,則飛船在上述圓軌道

11、上運行的動能(B )1A.等于 2mg (R+h)B.小于 2mg (R+h)一一 11.C.大于 2mg (R+h)D.等于mgh4.氫原子中的電子繞原子核旋轉(zhuǎn)和人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)相比較(不計算空氣阻力)，下列說法正確的是(AB )A.軌道半徑越大，線速度都越小B.軌道半徑越大，周期都越大C.電子從內(nèi)層軌道向外層軌道躍遷時，總能量(動能和電勢能)不變，人造衛(wèi)星從遠地點向近 地點運動時，總能量(動能和重力勢能)也不變D.電子可以在大于基態(tài)軌道半徑的任意軌道上運動，衛(wèi)星可以在大于地球半徑的任意軌道上 運動5.我國的航天技術(shù)正在飛速發(fā)展， 它在近地點時離地面高度為 h,速度為 地點時的加速度大

12、小(A )在我國航天史上第一顆人造衛(wèi)星繞地球運動的軌道為一橢圓,u ,又知地球半徑為R,地面附近重力加速度為g,則它在近A &A- (R+h)2c (R+h)2gBC. gD.6.某人造衛(wèi)星運動的軌道可近似看作是以地心為中心的圓,2U(R+h)2由于阻力作用，人造衛(wèi)星到地心的距離從1慢慢變到2,用Ek1、Ek2分別表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能，則(A.門r2,Ek1 E|k2k2B.門2, Ek1 r2,Ek1Ek2k2),衛(wèi)星的運動方向與地g。7 一顆在赤道上空運行的人造衛(wèi)星，其軌道半徑為r=2R (R為地球半徑球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為w ,地球表面處的重力加速度為(1)求人造

13、衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的角速度。(2)若某時刻衛(wèi)星通過赤道上某建筑物的正上方，求它下次通過該建筑物上方需要的時間。答案：(1)地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供作圓周運動的向心力八Mm2G 廠=mrco衛(wèi)2r地面表面附近的重力加速度g = GMR2把r=2R代入，解方程可得衛(wèi)二g,8R(2)衛(wèi)星下次通過該建筑物上方時，衛(wèi)星比地球多轉(zhuǎn)2弧度，所需時間8偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h,已知地球半徑為R,地面表面處的重力加速度為 g,地球的自轉(zhuǎn)周期為 To 試求該衛(wèi)星的運行速度； 要使衛(wèi)星在一天內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部拍下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機應

14、拍攝地面上赤道圓周的弧長S是多少？答案： 設地球質(zhì)量為 M,衛(wèi)星質(zhì)量為 m,衛(wèi)星在運行時，由萬有引力提供向心力:2八 Mm vGm 一(R h)2 R h設地球表面有個質(zhì)量為 mo的物體，則：mog= GMmR2R 由式聯(lián)立，衛(wèi)星的運行速度為:vg(R h)R h設衛(wèi)星的運動周期為 T,則:g4(R h)2= m(5)2(R h)得：T2 二(R h)一 R 天內(nèi)偵察衛(wèi)星經(jīng)過有日照的赤道上空次數(shù)為：N=T攝像機每次應拍攝地面上赤道圓周的弧長為:八2二 RS=N4二2 得：S=3(R h)萬有引力定律在天體運動中的應用典型例題例題1兩顆人造衛(wèi)星的質(zhì)量之比ml： m2= 1 ： 2,軌道半徑之比

15、R1 ： R2= 3 ： 1 .求：（1）兩顆衛(wèi)星運行的線速度之比；（2）兩顆衛(wèi)星運行的角速度之比；（3）兩顆衛(wèi)星運行的周期之比；（4）兩顆衛(wèi)星運行的向心加速度之比;（5）兩顆衛(wèi)星運行的向心力之比.思路點撥將衛(wèi)星的運動近似看成勻速圓周運動，其所需向心力系萬有引力，即MmG -= ma = m = m2兀W2r=m()2r = m(2Kf)2r.應用時根據(jù)實際情況選用適當公式進行分析為求解此類問題的基本方法.解題過程因為6號學=1看，所以V故（3）因為G- 9 ,所以T= 2兀rJ甚4鬲. VGMMm m因為F向二值鏟H五F1X11訥 L - -t _ _-B 一 2X3 12小結(jié)本題是典型地把

16、天體（或衛(wèi)星）的運動視為圓周運動， 并應用萬有引力等于向心力解題的題目.此方法主要用于計算天體的質(zhì)量，討論天體（或衛(wèi)星）的速度、角速度、周期及半徑等問題.在應用以上思路解題時，一般常采用比例計算法.例題2 飛船沿半徑為 R的圓周繞地球運動，其周期為 T.如果飛船要返回地面，可在軌道 上某一點A處將速率降低到適當數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓與地球 表面在B點相切，如圖62所示.試求飛船由 A點到B點所需的時間（已知地球半徑為 R0）?U 6-2思路點撥設飛船沿橢圓軌道運動時的周期為T ,因橢圓軌道的半長軸為解筮過程竽，本題可由開普勒第三定律求解.E. + Ro ,因為 1i 了-=亍口故飛船由A點到B點所需的時間為T,貶t= = -(1 +28 小結(jié)分析天體運動的問題， 基本方法是把天體的運動看成勻速圓周運動，所需向心力由萬有引力提供，依此分析和求解.但同時也應注意開普勒行星運動三大定律也是解決有關(guān)天體運動的 重要方法.例題3 如圖63所示，某行星圍繞太陽 C沿橢圓軌道運行.它的近日點A離太陽的距離為a,行星經(jīng)過近日點時的速率為vA,行星的遠日點