常微分方程奇解和包絡(luò)

1、關(guān)于常微分方程 奇解與包絡(luò)第一張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月2.4 奇解包絡(luò)和奇解克萊羅方程（Clairant Equation）本節(jié)要求：1 了解奇解的意義；2 掌握求奇解的方法。主要內(nèi)容第二張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月利用通解和特解可以構(gòu)造解：從圖形可以看到，有無數(shù)條積分曲線過初始點(diǎn)。解： 容易看到 y=0是解，并且滿足給定的初始條件例1得通解由第三張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月xy第五張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月定義2.3 如果方程存在某一解，在它所對(duì)應(yīng)的積分曲線上每點(diǎn)處，解的唯一性都被破壞

2、，則稱此解為微分方程的奇解。奇解對(duì)應(yīng)的積分曲線稱為奇積分曲線 第六張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月一 包絡(luò)和奇解的定義曲線族的包絡(luò)：是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過這條曲線上的每一點(diǎn)，有曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個(gè)方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。這條特殊的積分曲線所對(duì)應(yīng)的解稱為方程的奇解。 注：奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。第七張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例 單參數(shù)曲線族R是常

3、數(shù)，c是參數(shù)。xyo顯然，是曲線族 的包絡(luò)。 一般的曲線族并不一定有包絡(luò)，如同心圓族，平行線族等都是沒有包絡(luò)的。第九張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如: 單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓. 如圖從圖形可見, 此曲線族沒有包絡(luò).第十張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 二、不存在奇解的判別法假設(shè)方程(1.9)的右端函數(shù)在區(qū)域上有定義，如果在D上連續(xù)且在D上有界(或連續(xù))，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，從而在D內(nèi)一定不存在奇解。有定義的區(qū)域D內(nèi)成立，那么奇解只能存在于不滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域上.進(jìn)一步如果再能表明在

4、這樣的區(qū)域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無奇解。 如果存在唯一性定理?xiàng)l件不是在整個(gè)第十一張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第十二張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2.6 方程(1.9)的積分曲線族(C)的包絡(luò)線L是(1.9)的奇積分曲線。證明： 應(yīng)用定理2.1積分曲線與線素場(chǎng)的關(guān)系的充要條件第十三張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月三 求奇解（包絡(luò)線）的方法 C-判別曲線法 P-判別曲線法設(shè)一階方程的通積分為1 C-判別曲線法結(jié)論：通積分作為曲線族的包絡(luò)線（奇解）包含在下列方程組消去 C 而得到的曲線中。第十四張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)由

5、能確定出曲線為則對(duì)參數(shù) C 求導(dǎo)數(shù)從而得到恒等式第十五張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)至少有一個(gè)不為零時(shí)有或這表明曲線 L 在其上每一點(diǎn) (x(C), y(C) ) 處均與曲線族中對(duì)應(yīng)于C的曲線 相切。注意： C-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。第十六張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 求直線族的包絡(luò)，這里 是參數(shù)，p 是常數(shù)。解：對(duì)參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)聯(lián)立相加，得，經(jīng)檢驗(yàn)，其是所求包絡(luò)線。xyop第十七張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 求直線族的包絡(luò)，這里 c 是參數(shù)。解：對(duì)參數(shù) c 求導(dǎo)數(shù)聯(lián)立得從 得到從 得到因此， C-判別曲線中包括了兩條曲線

6、，易檢驗(yàn)， 是所求包絡(luò)線。第十八張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月xyo第十九張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月2 p-判別曲線結(jié)論：方程 的奇解包含在下列方程組消去 p 而得到的曲線中。注意： p-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。第二十張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 求方程的奇解。解：從消去 p，得到 p-判別曲線經(jīng)檢驗(yàn)，它們是方程的奇解。因?yàn)橐浊蟮迷匠痰耐ń鉃槎?是方程的解，且正好是通解的包絡(luò)。第二十一張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 求方程的奇解。解：從消去 p，得到 p-判別曲線經(jīng)檢驗(yàn)， 不是方程的解，故此方程沒有奇解。注意

7、： 以上兩種方法，只提供求奇解的途徑，所得p-判別曲線和C-判別曲線是不是奇解，必需進(jìn)行檢驗(yàn)。第二十二張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 3 克萊羅方程形式其中是 p 的連續(xù)函數(shù)。解法通解奇解第二十三張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)果:Clairaut方程的通解是一直線族,此直線族的包絡(luò)或是Clairaut方程的奇積分曲線, 所對(duì)應(yīng)的解是奇解.第二十四張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例5 求解方程解：這是克萊羅方程，因而其通解為消去 c，得到奇解從第二十五張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月xyO如圖:此方程的通解是直線族:而奇解是通解的包絡(luò):第二十六張，P

8、PT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例6 求一曲線，使在其上每一點(diǎn)的切線截割坐標(biāo)軸而成的直角三角形的面積都等于2。解 設(shè)要求的曲線為過曲線任上一點(diǎn) 的切線方程為其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為切線截割坐標(biāo)軸而成的直角三角形的面積為第二十七張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月這是克萊羅方程，因而其通解為消去 c，得到奇解從這是等腰雙曲線，顯然它就是滿足要求的曲線。第二十八張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月直線族及其包絡(luò)線第二十九張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月利用Maple可以得到這個(gè)方程的解曲線如下:注意:y=3x和y=-3x是非常特殊

9、的解,其它解與這兩條直線相切.restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:plot(3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yy:=%:plot(-3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy);第三十一張，PPT共三十四頁，創(chuàng)作于2022年6月本節(jié)要點(diǎn)：1.奇解的定義。2.不存在奇解的判別方法。（1）全平面上解唯一（2）不滿足解唯一的區(qū)域上沒有方程的解3.求奇解的包絡(luò)線求法。滿足C判別式。在非蛻化條件下，從C 判別式解出的曲線第三十二張