數(shù)學(xué)教學(xué)方面函數(shù)教學(xué)數(shù)學(xué)集

1、運用情意相融策略實施“再創(chuàng)造”教學(xué) 讓提問設(shè)計促進數(shù)學(xué)老師專業(yè)成長 論新課標下的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 高中數(shù)學(xué)知識的變式教學(xué)實踐 根據(jù)已知條件求函數(shù)的解析式 讓數(shù)學(xué)課堂的生成資源促進優(yōu)效教學(xué) 數(shù)學(xué)課堂“探究性學(xué)習(xí)”研究 提升能力,注入活力,讓多媒體成為數(shù)學(xué)課堂的亮色 構(gòu)建有效數(shù)學(xué)課堂之我見 巧用多媒體,優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)課堂 提高初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的基本策略 “三化”教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中信息技術(shù)的利用 在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力 讓學(xué)生思維在數(shù)學(xué)天空自由翱翔 三位數(shù)乘兩位數(shù) 筆算乘法教學(xué)設(shè)計 動起來效果更佳 運用情意相融策略實施“再創(chuàng)造”教學(xué)荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認為，數(shù)學(xué)

2、教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，并且“再創(chuàng)造”的過程必須是由學(xué)習(xí)者自己主動去完成的，而不是任何外界所強加的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當特別注意使學(xué)生以自己獲取數(shù)學(xué)的態(tài)度來建構(gòu)他們的數(shù)學(xué)知識，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力有著十分重要的意義。而情意相融策略在實施“再創(chuàng)造”教學(xué)中可以起到較好的促進作用。 “情”指情感（興趣、好奇心、求知欲、參與熱情等），這是隨情境設(shè)計而隨時變動的因素；“意”指學(xué)生對待學(xué)習(xí)的意念（意志力、毅力、堅韌性、自信心等），這是以往學(xué)習(xí)和生活經(jīng)歷中積累下來的個性心理品質(zhì)，相對比較穩(wěn)定。情意相融策略就是教師通過“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計來全面調(diào)動學(xué)生的非智力因素，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的不同層

3、次中始終處于積極、創(chuàng)造的狀態(tài)，以“情”的激發(fā)促進“意”的發(fā)展和優(yōu)化。下面我就此策略的具體運用作初步探討，以供參考。 1.從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，實施“再創(chuàng)造”教學(xué) 課堂教學(xué)應(yīng)該是師生共同擁有的世界，是一個充滿著活力的世界。數(shù)學(xué)的高度抽象性常常使學(xué)生誤認為數(shù)學(xué)是脫離實際的，其嚴謹?shù)倪壿嬓詴箤W(xué)生縮手縮腳，其應(yīng)用的廣泛性更使學(xué)生覺得高深莫測，望而生畏。事實上，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實世界，又為現(xiàn)實的生產(chǎn)和生活服務(wù)。因此，在數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)中我們可以從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，選擇學(xué)生身邊的、感興趣的事物，讓學(xué)生在觀察、操作、猜測、交流、反思等活動中逐步體會數(shù)學(xué)知識，獲得積極的情感體驗，感受數(shù)學(xué)的力量，激發(fā)

4、學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 例如，在“相互獨立事件同時發(fā)生的概率”的教學(xué)中，可作如下的情境設(shè)計： （動畫）畫面背景：擂臺。橫幅：解題大賽，獎品豐厚。 比賽雙方：諸葛亮VS臭皮匠團隊 比賽規(guī)則：各位參賽選手必須獨立解題；團隊中有一人解出即為團隊獲勝。 人物：諸葛亮、臭皮匠老大、臭皮匠老二、臭皮匠老三。 諸葛亮（手搖羽扇）：依我以往的經(jīng)驗，我解出的把握有80%。 臭皮匠老二（垂頭喪氣）：老大，你的把握有50%，我只有45%，看來這獎品與咱是無緣了。 臭皮匠老大：別急，常言道：三個臭皮匠頂個諸葛亮。咱去把老三叫來，我就不信合咱三人之力，攻不下這個擂臺！ 問題：假如臭皮匠老三解出的把握只有40%，那么這三個臭皮

5、匠中有一人解出的把握真能抵得過諸葛亮嗎？ 通過創(chuàng)設(shè)這樣的情境，可增強學(xué)生的有意注意，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。根據(jù)不同的認知基礎(chǔ)和對問題的不同看法，學(xué)生們會作出各自不同的判斷。并且，這個問題的解決，為俗語“三個臭皮匠頂個諸葛亮”給出了一種數(shù)學(xué)解釋，實現(xiàn)了生活問題的數(shù)學(xué)化。同時，也使學(xué)生意識到：在力量對比不是十分懸殊的情況下，團隊的力量大于個人的力量，從而對學(xué)生團隊精神的培養(yǎng)起到促進作用。 2.從新舊知識的聯(lián)系和矛盾上切入新知識，實施“再創(chuàng)造”教學(xué) 學(xué)生的認知發(fā)展就是觀念上的平衡狀態(tài)不斷遭遇破壞，并不斷達到新的平衡狀態(tài)的過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們可以從新舊知識的聯(lián)系和矛盾上切入新知識，利用

6、學(xué)生認知上的不平衡性來構(gòu)建新知識的生長點，使學(xué)生較為清楚地看到自身已有知識的局限性，并產(chǎn)生要努力通過新的學(xué)習(xí)活動達到新的、更高水平的平衡的沖動。 例如，在“線性規(guī)劃”的教學(xué)中，我們可以這樣處理，提出問題： 若實數(shù)x，y滿足4x+y62x-y4，求z=2x+y的最值。 學(xué)生正常的解法是：將條件中的兩個同向不等式相加得62x10，將第二個不等式化為-4-x+y-2后再與第一個不等式相加得0y2，則有62x+y12。于是得出的最小值和最大值分別為6和12。 至此，教師可引導(dǎo)學(xué)生去探求最小值6和最大值12取到時的條件，可以發(fā)現(xiàn)當x=3，y=0和x=5，y=2時，z分別取到最小值和最大值。但發(fā)現(xiàn)此時它們

7、不滿足原始條件，于是出現(xiàn)“矛盾”，從而形成認知沖突，這樣就激發(fā)了學(xué)生的疑問，構(gòu)建了新知識的生長點。 又如在“復(fù)數(shù)”教學(xué)時，對如何引進虛數(shù)單位i，如何才能使學(xué)生弄清“為什么要引進i？i是什么數(shù)？”我設(shè)計了如下教學(xué)情境： 但-10，從而0，“矛盾”出現(xiàn)了，與學(xué)生原有認知發(fā)生沖突。這樣在矛盾處激發(fā)了學(xué)生的疑問，就為下一步自然地導(dǎo)出“怪數(shù)”i，并使學(xué)生心悅誠服地接受和認識虛數(shù)單位i這一新知識奠定了堅實的基礎(chǔ)。 3.引入數(shù)學(xué)史料，滲透人文思想，實施“再創(chuàng)造”教學(xué) 數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，其應(yīng)用價值是多方面的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過對數(shù)學(xué)史料的引入來實施“再創(chuàng)造”教學(xué)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，而且能

8、培養(yǎng)學(xué)生的人文精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 例如，在講“導(dǎo)數(shù)”時，我們可以從介紹牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分的數(shù)學(xué)史實開始，先介紹著名的芝諾悖論“飛矢不動”，從其錯誤本源：“飛矢在任一瞬間是靜止的”出發(fā)，提出問題：“飛矢在任一瞬間是靜止的嗎？”牛頓就是從這“瞬間的速度”著手研究的最后說明微積分的建立對數(shù)學(xué)發(fā)展作出了巨大貢獻。 再如，在“等比數(shù)列前項和”的教學(xué)中，我引入這樣一些問題讓學(xué)生思考。 （意大利）從前有一個人賣馬，標價3000元，有個買主嫌貴，賣主對他說：“如果你能改買馬蹄子上的釘子，我就把馬送給你?！辟I主便問怎么個賣法。賣主講：4只馬蹄子上共有24個釘子，第一個釘子賣1分錢，第2個釘子賣2分

9、錢，第3個釘子賣4分錢，依此類推，即后一個釘是前一個釘子價錢的2倍。買主聽后心動了，認為買24個釘子花不了幾個錢。他真的花不了幾個錢嗎？ （古埃及）一位婦女的家里有7間貯藏室，每間貯藏室有7只貓，每只貓捉了7只老鼠，每只老鼠吃了7棵麥穗，每棵麥穗可以長出7升麥粒。問貯藏室、貓、老鼠等各有多少，總數(shù)是多少？ （中國）（）今有牛、馬、羊食人苗。苗主責(zé)之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬?！瘪R主曰：“我馬食半牛?！苯裼斨瑔枺焊鞒鰩缀危浚ǎ┙裼信由瓶?，日自倍，五日織五尺。問：日織幾何？ 通過這樣一些選自數(shù)學(xué)史料的問題，學(xué)生在解題的過程中一方面理解了公式的作用，鞏固了公式，另一方面也從中感受到了數(shù)學(xué)的

10、魅力。它們使學(xué)生意識到，數(shù)學(xué)并不是某個文明的產(chǎn)物，而是整個人類的財富。這種多元文化背景下的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)可以讓學(xué)生學(xué)會去欣賞、去感受各種數(shù)學(xué)，而不管它是否屬于自己的傳統(tǒng)文化。 4.運用多媒體現(xiàn)代教學(xué)設(shè)施，促使學(xué)生廣泛參與，實施“再創(chuàng)造”教學(xué) 多媒體現(xiàn)代教學(xué)設(shè)施為教學(xué)活動提供并展示了各種所需的圖文資料，創(chuàng)設(shè)、模擬各種與教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)的情境，為抽象的數(shù)學(xué)思維提供了直觀模型，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供了豐富多彩的學(xué)習(xí)情境和有力的學(xué)習(xí)工具。運用多媒體現(xiàn)代教學(xué)設(shè)施，可以促使學(xué)生廣泛參與教學(xué)活動，對實施“再創(chuàng)造”教學(xué)可起到推動作用。 例如，雙曲線的漸近線這一內(nèi)容，在傳統(tǒng)教學(xué)條件下，這是一個非常抽象的概念。

11、雙曲線的漸近線是如何發(fā)現(xiàn)的？它的方程是怎樣獲得的？成了教學(xué)的“死”點。往往是教師照本宣科，學(xué)生被迫接受。若我們借助多媒體技術(shù)，通過學(xué)生的廣泛參與，就可以順利實現(xiàn)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的目標。 先向?qū)W生提供以下背景材料： 已知圓心為F，半徑為2a的定圓及此定圓外的一個定點F，動圓P經(jīng)過定點F，且與該定圓相切，求此動圓圓心P的軌跡方程。 要求學(xué)生利用幾何畫板動手操作并觀察思考。 制作要求：如圖1，在定圓F上任取一點M，過FM作直線l，連FM，作FM的中垂線n與直線l相交于點P，選定M、P，構(gòu)造軌跡，得雙曲線。 讓學(xué)生先感受到雙曲線的存在，這對于激發(fā)學(xué)生的求知欲是非常有益的。再讓學(xué)生拖動點M通過改變2a的長

12、度，發(fā)現(xiàn)條是十分必要的，從而歸納出雙曲線的定義。 學(xué)生在拖動點M的過程中，自然會發(fā)現(xiàn)兩個特殊的時刻（如圖3，圖4所示）： 當nl，動點P在無限遠的地方，于是漸近線被發(fā)現(xiàn)了，由此刻的幾何關(guān)系可得：漸近線能在不知雙曲線方程的情況下，直觀地發(fā)現(xiàn)并簡便地求出雙曲線的漸近線和它的方程，這是一個“偉大”的發(fā)現(xiàn)，而所有的一切都是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的。抽象的漸近線實實在在地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，有利于學(xué)生認識、理解和思考，這也正是學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的具體表現(xiàn)。 參考文獻： 1徐光考，徐海之.實施再創(chuàng)造教學(xué)的一些策略.數(shù)學(xué)通報，2004，4. 2陳潔.相互獨立事件同時發(fā)生的概率.中學(xué)數(shù)學(xué)，2004，3. 3朱哲.“等比數(shù)

13、列前項和”教學(xué)設(shè)計及其分析.中學(xué)教研，2003，7.讓提問設(shè)計促進數(shù)學(xué)老師專業(yè)成長數(shù)學(xué)課堂上指導(dǎo)學(xué)生進行探究活動，教師常常會使用不同的問題激發(fā)學(xué)生的思維，“問題”起著重要的穿針引線之功效。在對問題的討論中，學(xué)生既可以表現(xiàn)自己，又可以接受他人的評判并評判他人。在這種合作學(xué)習(xí)中，學(xué)生既能掌握知識，又能發(fā)展自己的能力。 提倡多種形式的科學(xué)探究活動，并不是不要或廢止教師的講述或講解，關(guān)鍵是講什么，什么時候需要講，怎樣講。教師應(yīng)該圍繞探究活動的需要講，學(xué)生能夠解決的問題要少講?，F(xiàn)代心理學(xué)認為，一切思維都是從問題開始的，從某種意義上說，完整的思維過程就是提出問題并解決問題的過程?；蛘哒f，思維本身就是一個不

14、斷提問、不斷解答、不斷追問、不斷明朗的過程。只不過，這個過程通常是在主體內(nèi)部進行的，是內(nèi)隱的，是自問自答的。而來自外部的提問，課堂上教師的提問，同樣能夠成為思維發(fā)生的起點，一種外部的、語言化的思維正是在提問中開始。如何科學(xué)有效設(shè)計提問，是實施新課程課堂教學(xué)中教師準備的重要工作之一。 一、對提問設(shè)計的思考 提問本身并沒有一套必須遵循的、嚴格的和固定的規(guī)則，但在提問時必須注意以下幾個方面的問題。 1.問題的設(shè)計需結(jié)合學(xué)生的實際 每一個不同的問題，選擇哪些學(xué)生進行回答，教師應(yīng)事先有一個大概的意向。問題的難易程度和學(xué)生的發(fā)展水平之間存在一個適宜度的問題。選取思維發(fā)展水平高的學(xué)生回答太容易的問題與選取思

15、維發(fā)展水平低的學(xué)生回答太難的問題一樣，都不能達到提問的良好效果。另外，教師還需要考慮提問時問題的輻射面和提問對象的輻射面，不能總是提問難度過高或過低的問題，也不能總是提問少數(shù)的幾個學(xué)生，對于那些膽小羞怯、反應(yīng)不是很積極的學(xué)生，尤其需要注意引導(dǎo)。根據(jù)不同層次的學(xué)生設(shè)計不同層次的問題，才能使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。 A層同學(xué)： （1）當a0時，|2a|； （2）當a0時，|2a|； （3）當a0時，|2a|； （4）你能說出以上題目做法的理由嗎？ B層同學(xué)： （1）當a1時，|a-1|； （2）當a1時，|a-1|； （3）當a1時，|a-1|； （4）你能說出以上題目做法的理由嗎? C層同學(xué)：

16、 a、b所表示的數(shù)如圖所示： （1）求：|a|、|b|、|ab|、|ba|。 （2）你能說出以上題目做法的理由嗎? 在這樣的教學(xué)中不同層次的學(xué)生進行了不同層次的探究活動，提高了分析問題的能力，每位學(xué)生都留下了可實踐和發(fā)展的余地。 2.讓問題的設(shè)計具有可持續(xù)性 有價值的問題應(yīng)該達到這樣的目的：提問使問題能夠持續(xù)地發(fā)展下去，提問成為學(xué)生繼續(xù)討論和不斷追問的原動力。在一個提問所創(chuàng)設(shè)的特定情境中，學(xué)生的思維要“能夠充分地從一點到另一點作連續(xù)的活動”，只有這樣的提問，才能帶領(lǐng)學(xué)生進入真正的、深刻的、有效的思維活動中。否則，如果問題本身不具備連續(xù)性和一定的深度，就會打斷學(xué)生思維的連續(xù)性，影響思維向深度發(fā)展

17、，使思維一方面陷入在紊亂無序的境地，另一方面又如浮光掠影，不能深入。 如圖，在ABC中，ABC=90，BC的中垂線DE交BC于點D，交AB于點E，F(xiàn)在DE的延長線上，并且AF=CE。 （1）證明：四邊形ACEF是平行四邊形； （2）當B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結(jié)論； （3）四邊ACEF有可能是正方形嗎？請證明你的結(jié)論。 這樣在問題的探索中，通過不斷的提問，學(xué)生的知識得到不斷的提升，思維向縱深發(fā)展。 3.對學(xué)生應(yīng)答問題之后作必要的反饋 教師的態(tài)度直接影響到整個課堂的氣氛。在課堂提問中，學(xué)生在大庭廣眾之下接受教師的評價，大多數(shù)心情比較緊張，教師應(yīng)始終注意保護學(xué)生

18、的自尊心和自信心，對勇于回答和回答正確的學(xué)生給予表揚，對回答錯誤的學(xué)生給予鼓勵，一定要注意避免當眾羞辱、嘲諷和挖苦學(xué)生。教師的積極評價，能使學(xué)生把學(xué)習(xí)變成自主性、探究性和合作性不斷生成、發(fā)展、提升的過程，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)責(zé)任感，并養(yǎng)成終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣。 二、有效運用提問，提高教師專業(yè)水平 問題具有啟動學(xué)生思維和引導(dǎo)學(xué)生思維開展方向的重要作用，教師提出什么樣的問題，意味著學(xué)生有選擇地注意某一方面的信息，為了啟動學(xué)生的思維，需要有效地運用提問。學(xué)記要求教師要善問和善待問：“善問者如攻堅木，先其易者，后其節(jié)目，及其久也相說以解。不善問者反此。善待問者如撞鐘，叩之以小者則小鳴，叩之以大者則大鳴，待其從容，

19、然后盡其聲。不善答問者反此?！币馑际钦f：善于提問的教師，就像砍伐堅木先易后難一樣，先提容易的問題，后提困難的問題，激發(fā)起學(xué)生對這些由易至難的問題主動進行思考的積極性，久之問題就會迎刃而解。 比如，七年級下冊的認識三角形一節(jié)中先提容易的問題：若三角形的三邊為3、4、7，則這三邊首尾相接能否組成一個三角形?這樣讓所有的學(xué)生都能參與到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中去。然后提問：若不能，請改動其中的一邊能組成一個三角形，并說明理由。使學(xué)生對三角形邊的性質(zhì)有更深一層的理解，激發(fā)學(xué)生的思維。最后，提出問題：若只知道其中兩邊為3、4，問第三邊取多長可以組成一個三角形？這問題是一個開放型的題目，可以讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)

20、展，讓學(xué)習(xí)有余力的學(xué)生通過觀察、討論總結(jié)歸納出三角形三邊的共同特征。善于對待學(xué)生發(fā)問的教師，就好像對待撞鐘一樣，如果學(xué)生問的是小問題就從小處回答，如果學(xué)生問的是大問題就從大處回答，讓學(xué)生從容領(lǐng)會，透徹理解，才算結(jié)束。在探究三角形全等的教學(xué)中，教師要讓學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)去探究三角形全等的條件。在這過程中還要引導(dǎo)學(xué)生作好探究的每一個步驟，最后歸納出探究的結(jié)果和對結(jié)果驗證的方法和思路。從教師的角度而言，掌握提問的技巧，在教學(xué)中能夠“善問”和“善待問”，并從多角度、多層次展開進行，可以很有效地提高教學(xué)水平。 三、精心設(shè)計數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中提問方式，使教學(xué)水平在實際運用中成長 1.就知識本身展開提問 就知識本

21、身進行提問的方式，具有簡潔、明了、直奔主題的特點，這樣使學(xué)生的思維一步到位，適合于比較簡單，學(xué)生有基礎(chǔ)的知識。例如，在二元一次方程一節(jié)教學(xué)中，教師提出問題：同學(xué)們喜歡集郵嗎？教師通過課件展示郵票的問題：小明到郵局寄信，需要郵資3.8元。郵局有票額為6角和8角的郵票，問小明買這兩種面額的郵票各多少張？學(xué)生的思維也就通過這個問題直接思考，并且比較好地引入課題。 2.使用反問展開提問 使用反問，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。比如，在認識三角形一課時，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些三角形的知識，在此前提下，教師可以反問學(xué)生：是不是任意三邊首尾相接都組成一個三角形呢？通過反問，學(xué)生的思維有反思的過程，對所學(xué)的知識

22、能夠更深理解。 3.結(jié)合實際展開提問 合作學(xué)習(xí)往往貫穿于新教材的全部文字和設(shè)置的各個欄目之中，因此在教學(xué)的組織和實施過程中，需要根據(jù)實際的情況設(shè)計問題引導(dǎo)學(xué)生合作。例如，三角形的高合作學(xué)習(xí)中，因為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的高位置不同，許多學(xué)生難以作出它們的高線，特別是鈍角三角形的高許多學(xué)生就不會作。根據(jù)這些情況，教師可以提出問題：三角形高線的垂足在什么線上？并表示出來。高線經(jīng)過哪個頂點？并思考它的規(guī)律。最后同組同學(xué)討論歸納。合作學(xué)習(xí)作為一種學(xué)習(xí)方式，它不同于學(xué)生單獨學(xué)習(xí)活動，能夠培養(yǎng)學(xué)生互相合作、共同協(xié)作的優(yōu)良品質(zhì)。 總之，一切有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，能生動活潑地進行學(xué)習(xí)的提問方

23、法都應(yīng)該提倡。教師在課堂教學(xué)中對設(shè)計問題的有效利用，能在教師的講授和學(xué)生能動的思考行為之間架起了橋梁，調(diào)動和拓展學(xué)生的思維。隨著新課程改革的不斷深入，教師要不斷吸取先進教育教學(xué)理論，通過提問設(shè)計，使理論和實踐能夠真正地結(jié)合起來，從而有效地提高數(shù)學(xué)教學(xué)的專業(yè)水平。 參考文獻： 1劉兼.數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）解讀.北京師范大學(xué)出版社. 2數(shù)學(xué)教育學(xué).張奠宙.江西教育出版社. 3王亞權(quán).浙教版七上、下培訓(xùn)講稿.論新課標下的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)摘 要： 本文作者對新課標下高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點和理論進行了闡述，提出有效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的兩種做法：形成良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，增強數(shù)學(xué)遷移，并對新課標下的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注意的問題

24、進行了補充說明。 關(guān)鍵詞： 新課標 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 特點與理論 有效學(xué)習(xí)策略 2000年召開的第九屆國際數(shù)學(xué)教育大會指出，上世紀80年代以前數(shù)學(xué)教育的研究主要圍繞數(shù)學(xué)課程與教學(xué)方法進行，80年代以后對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的研究開始興起。長期以來，我國在中學(xué)數(shù)學(xué)對于學(xué)生學(xué)習(xí)的研究則十分薄弱。教育部關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)的制定和新課程的逐步實施，使得我國的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育正大踏步地趕上世界數(shù)學(xué)教育發(fā)展的潮流，促使數(shù)學(xué)教育工作者加快對高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論和實踐的研究。 一、新課標下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點與理論 學(xué)習(xí)是一種活動，是獲得經(jīng)驗與行為變化的過程。也就是說，并非所有的行為變化都是學(xué)習(xí)，只有在積累知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上

25、的行為變化才是學(xué)習(xí)，而且學(xué)習(xí)是一個不斷漸進提高的過程。 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個重要組成部分，學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)課程標準，按照一定的目的、內(nèi)容、要求，系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識與技能的過程。并在這一過程中，注重提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)心理品質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了具有學(xué)生學(xué)習(xí)的一般特點外，還有以下三個顯著特點：（一）是一種科學(xué)的公共語言學(xué)習(xí)；由數(shù)學(xué)符號，以及它們的各種有機組合所構(gòu)成的數(shù)學(xué)，可以反映存在于現(xiàn)實世界中的一些關(guān)系和形式，因此，它是一種語言，且被廣泛運用于各門科學(xué)。（二）學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備較強的抽象概括能力。（三）最有利于學(xué)生推理能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)是一門建立在公理體系

26、基礎(chǔ)上，一切結(jié)論都需加以嚴格的證明。數(shù)學(xué)證明所采用的邏輯形式最基本、最主要的就是三段論（大前提、小前提和結(jié)論的論證）。學(xué)生在高中新課程中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反復(fù)學(xué)習(xí)使用三段論來解答各種數(shù)學(xué)問題，這對于他們推理能力的發(fā)展無疑是極其有利的。 近代國外的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論發(fā)展較快，學(xué)術(shù)派別眾多，主要有以下基本觀點。 （一）當代著名的兒童心理學(xué)家或發(fā)生認識論專家瑞士心理學(xué)家皮亞杰（J.Piaget），提出關(guān)于智力發(fā)展的基本觀點：圖式，同化，順應(yīng)和平衡。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“學(xué)習(xí)要有準備”，理解的學(xué)習(xí)才是真正的學(xué)習(xí)。 （二）美國當代認知心理學(xué)的代表人物之一奧蘇伯爾（D.P.Ausubel）提出有意義言語學(xué)習(xí)理論，又稱認知

27、同化理論。它的理論為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了心理學(xué)依據(jù)，并提出數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的三種同化模式：下位學(xué)習(xí)模式（同化），例如復(fù)數(shù)實數(shù)性質(zhì)、法則、運用；上位學(xué)習(xí)模式（順應(yīng)），例如函數(shù)運算、關(guān)系、映射；并列結(jié)合學(xué)習(xí)模式（聯(lián)合），例如函數(shù)圖像就是函數(shù)式與幾何圖形的并列結(jié)合；曲線方程就是幾何與代數(shù)的并列結(jié)合。 （三）美國當代著名心理學(xué)家加涅（R.M.Gagne）提出累積學(xué)習(xí)的模式，學(xué)習(xí)任何一種新的知識技能，都是以已經(jīng)習(xí)得的、從屬于它們的知識技能為基礎(chǔ)的。他提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四對象：事實、技能、概念、原理；并把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)分成的四個階段：理解、習(xí)得、存儲、提取。 （四）美籍匈牙利人波利亞（G.Polya）提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三原則：

28、主動學(xué)習(xí)、最佳動機、階段序進。他做的“怎樣解題”表可以分成四個步驟來實施：弄清解題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧，還提出“問題解決”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心臟。 二、數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)策略 如何才能在新課標下學(xué)好數(shù)學(xué)呢？我通過理論學(xué)習(xí)、教學(xué)實踐和調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，以下兩種做法對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的益處。 （一）形成良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu) 所謂“數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)”，就是學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合著自己的感覺、直覺、記憶、思維、聯(lián)想等認知特點，組成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。簡單地講，就是學(xué)生頭腦里獲得的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，是一種經(jīng)過學(xué)生主觀改造后的知識結(jié)構(gòu)。認知心理學(xué)家認為，學(xué)習(xí)的實質(zhì)是形成認知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也

29、一樣。 良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)具備的條件是：（1）理解數(shù)學(xué)元認知（Metacognition）。數(shù)學(xué)元認知其實質(zhì)是對數(shù)學(xué)認知活動的自我意識和自我調(diào)節(jié)。具體地說，是關(guān)于個人自己認知過程的數(shù)學(xué)知識和調(diào)節(jié)這些過程的能力：對思維和學(xué)習(xí)活動的知識和控制。（2）應(yīng)具有豐富的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，豐富的數(shù)學(xué)知識儲備量能保證在應(yīng)用時有足夠的知識可提取。比如說，要解決有虛根的方程，必須對數(shù)集的擴充必須有充分的了解。從數(shù)字的發(fā)展來看：（為了計數(shù)的需要）引進自然數(shù)集，（表示有相反意義的量的需要）引進整數(shù)集，（為了測量的需要）引進有理數(shù)集，（表示量與量的比值）引進無理數(shù)集，（由于解方程的需要）數(shù)學(xué)家才不得不引入了缺乏現(xiàn)實背景的虛

30、數(shù)集，實數(shù)集和虛數(shù)的組合而形成復(fù)數(shù)集，其被廣泛認可，以及其幾何意義的確立，表明了直觀性的幾何對代數(shù)的促進作用。（3）數(shù)學(xué)知識的貯備要具有層次性、條理性，形成層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。諸如，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)三角函數(shù)關(guān)鍵是掌握誘導(dǎo)公式、兩角和與差的余弦公式；圓錐曲線關(guān)鍵是“曲線上一點到定點的距離與到定直線的距離比的值的變化”，即離心率的變化；立體幾何學(xué)習(xí)，關(guān)鍵是掌握點、線、面的相互關(guān)系和應(yīng)用，等等。 （二）增強數(shù)學(xué)遷移能力 遷移通常理解為“把在一個情境中學(xué)到的東西遷移到新情境中的能力”。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)經(jīng)驗與遷移能力并不是正相關(guān)的，有些學(xué)習(xí)經(jīng)驗會導(dǎo)致強記憶弱遷移和強記憶負遷移，而另外一些卻能誘發(fā)強記憶強遷移和強記憶

31、正遷移。遷移實質(zhì)上是一個要求學(xué)習(xí)者積極參與與選擇和評估策略、思考資源和接受反饋的過程，就是把遷移看成一個動態(tài)的過程。而靜態(tài)遷移就是認為初始學(xué)習(xí)后學(xué)生即具有解決遷移問題的能力。如何做到動態(tài)數(shù)學(xué)遷移呢？應(yīng)從以下幾個方面入手。 1.注重數(shù)學(xué)理解 初始學(xué)習(xí)不達到一定的理解水平，遷移是不會發(fā)生的。剛學(xué)完某個新知識就急于做難題，就屬于這個范疇。這對教學(xué)而言非常重要，這正是高中數(shù)學(xué)普遍存在的問題。學(xué)生難題解決不了，就用強行記憶來彌補，強記憶弱遷移和強記憶負遷移在所難免。在數(shù)學(xué)新知識的學(xué)習(xí)過程中，其意義的建構(gòu)和獲得還沒有真正完成，新舊數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系有一個繼續(xù)同化的過程，只有對數(shù)學(xué)意義深化、貫通，并且數(shù)學(xué)知

32、識聯(lián)系達到一定程度的鞏固、強化，數(shù)學(xué)知識遷移才可能開始。比如說，計算機芯片中最基本的邏輯電路只有3種：或門、與門和非門。這三個其實是數(shù)學(xué)中集合的并、交、補3種運算，也就是說，芯片的設(shè)計，在本質(zhì)上用到的是數(shù)學(xué)中的集合運算。 2.利用數(shù)學(xué)變式 適當安排一些恰當?shù)姆蠢?、辨析題、變式題不僅可以用于知覺學(xué)習(xí)，而且可以用于概念學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)是由兩個大類即證明和反例組成的，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)主要是提出證明和構(gòu)造反例。從科學(xué)性來講，反例就是推翻錯誤命題的有效手段。反例能豐富和加深學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)理論的理解，對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理有比較清晰的認識。通過反例能加強學(xué)生的感知印象，有利于學(xué)生將所學(xué)知識內(nèi)化。比如說，不可能事件的概率

33、必為零，反之卻未必成立；當考慮的概型為古典概型時，概型為零的事件一定是不可能事件；當考慮的概型是幾何概型時，概型為零的事件未必是一個不可能事件。辨析題、變式題能幫助學(xué)生把原先所沒有注意到的非本質(zhì)屬性和本質(zhì)屬性的區(qū)別加以澄清，提高解題學(xué)習(xí)中的遷移能力。 3.突破原有經(jīng)驗影響遷移 “所有的學(xué)習(xí)都涉及到原有經(jīng)驗的遷移”，這一原理對包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)教育實踐意義都具有重要意義。由于學(xué)習(xí)涉及到先前經(jīng)驗的遷移，所有現(xiàn)有知識也能成為學(xué)習(xí)新信息的障礙，因此在學(xué)習(xí)中要善于發(fā)現(xiàn)，就是人們運用自己的智慧去獲得前人從未獲得過的知識的過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)現(xiàn)，是學(xué)生對自己頭腦中已有的數(shù)學(xué)信息（事實、概念、原理等）

34、進行操作、組織和轉(zhuǎn)化，從而親自獲得新信息所進行的學(xué)習(xí)，其過程是：掌握學(xué)習(xí)課題，提出猜想、驗證。諸如數(shù)學(xué)史上許多數(shù)學(xué)家提出的猜想，高中數(shù)學(xué)課本上出現(xiàn)的歐拉定理（Euler Theorem）簡單多面體f(p)=V+F-E=2，還有其他的如哥德巴赫（Goldbach）猜想、希爾伯特（Hilbert）的23個問題和龐加萊（Poincar）猜想這些猜想都是突破原有經(jīng)驗影響而發(fā)現(xiàn)的，并有待證明。 三、新課程下的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要注意的問題 粗略地按自然現(xiàn)象將數(shù)學(xué)劃分為確定性數(shù)學(xué)、或然性數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)和突變理論，這已經(jīng)顯示出對不同的數(shù)學(xué)課程需要有不同的學(xué)習(xí)方法。對新課標下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說也有不同的方法，運用系

35、統(tǒng)論的觀點方法，以及現(xiàn)代認知心理學(xué)的學(xué)習(xí)理論，從學(xué)習(xí)者自身因素、環(huán)境因素等方面，注意數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程和特殊過程；注意認知因素（認知結(jié)構(gòu)、思維發(fā)展水平、能力等）和非認知因素（學(xué)習(xí)動機、興趣、情感、態(tài)度等）及家庭、學(xué)校、社會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響；注重現(xiàn)代信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，注重數(shù)學(xué)實驗和數(shù)學(xué)文化，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的動手能力和實踐能力，力圖自己建立數(shù)學(xué)模型。從經(jīng)驗看，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注意形與數(shù)的結(jié)合是比較容易的，但要使高中學(xué)生認識序、結(jié)構(gòu)、算法等在數(shù)學(xué)中的地位和作用，則是比較困難的。所以，按照新課標要求，學(xué)生一定要從整體出發(fā)，探索數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本原則和基本方法，從中揭示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點

36、和規(guī)律，從而達到學(xué)習(xí)的理想效果。 參考文獻： 1中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗).人民教育出版社，2009. 2涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論.華東師范大學(xué)出版社，2006.高中數(shù)學(xué)知識的變式教學(xué)實踐摘 要： 本文簡要介紹了變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)，用實際教學(xué)中的兩個案例介紹了教學(xué)中的變式練習(xí)實踐。 關(guān)鍵詞： 變式 高中數(shù)學(xué)知識 變式教學(xué) 變式是指變換問題的條件或表征，而不改變問題的實質(zhì)，只改變其形態(tài)；變式是對于某種范式的變化形式，不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物的本質(zhì)特征不變的情況之下，事物的非本質(zhì)屬性不斷遷移的變化方式。 在實際教學(xué)時，通過變式訓(xùn)練使學(xué)生深

37、刻理解本質(zhì)屬性，排除事物的非本質(zhì)屬性的干擾，從而形成正確的概念，一直是數(shù)學(xué)教育研究的熱點；在習(xí)題方面，通過變式練習(xí)，使學(xué)生形成基本運算和遷移知識的能力，最終達到提高學(xué)生能力的目的，也是教師們一直追求的目標。 變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)來自于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)論：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成純粹的個人行為，也即對于知識的被動接受和簡單積累，而應(yīng)被看成個體在一定社會環(huán)境中的建構(gòu)活動(意義賦予)，新、舊知識(和經(jīng)驗)的組織與重組，是形式建構(gòu)與“具體化”的辯證統(tǒng)一。真正的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)具有如下幾個特征：(1)在學(xué)習(xí)目標方面，表現(xiàn)為對知識的深層次的理解；(2)在學(xué)習(xí)過程中，表現(xiàn)為高水平的思維；(3)在學(xué)習(xí)的情境方面，表現(xiàn)為師生，生

38、生之間的充分溝通，合作。在學(xué)習(xí)活動中，教師應(yīng)在肯定學(xué)生主體地位的前提下，在教學(xué)活動中起主導(dǎo)作用，教師需要就學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計出有思考價值，符合學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生興趣的問題，創(chuàng)設(shè)平等、自由的學(xué)習(xí)氛圍，充分開展師生、生生之間的交流與合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生通過持續(xù)的分析、探索、假設(shè)、檢驗去解決問題，提升探究數(shù)學(xué)知識的能力。 安德森將知識分為陳述性知識和程序性知識。陳述性知識是關(guān)于“是什么”的知識，是對事實、定義、規(guī)則和原理等的描述。程序性知識則是關(guān)于“怎么做”的知識，如怎樣進行推理、決策、或者解決某類問題等。喻平（2000）認為數(shù)學(xué)知識的分類按照廣義的知識分類是合適的，他將數(shù)學(xué)知識分為陳述性知識和程

39、序性知識。學(xué)生的學(xué)習(xí)常常從陳述性知識的獲得開始，而后進一步加工消化，成為可以靈活、熟練應(yīng)用的程序性知識。 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容跨度大、抽象性強，只有促進高中學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深刻理解，才能達到掌握和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的目的。人們對知識的深刻理解都具有一定的時空性、階段性和漸進性，因此，只有在變化環(huán)境下反復(fù)理解，學(xué)生的認識才能不斷深入。 在變式教學(xué)中，變式練習(xí)是陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識點的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。變式練習(xí)就是指在其他教學(xué)條件不變的情況下，概念和規(guī)則等程序性知識的例證的變化。變式練習(xí)可以讓學(xué)生在練習(xí)過程中，通過多角度的分析、比較、聯(lián)系，去深刻理解問題的結(jié)構(gòu)和解決策略。下面通過兩個例子來談一下變式練習(xí)

40、在實際教學(xué)中的應(yīng)用。 題目1：（高中數(shù)學(xué)新教材第二冊（上）P130 例2）直線y=x-2與拋物線y=2x相交于A、B兩點，求證：OAOB。 本題是課本上一道習(xí)題，下面對其進行變式探究。推廣變式：由原式知y=x-2與x軸交點坐標為（2，0），對拋物線y=2x中p=1，將此拋物線方程推向一般情況，則得到下列變式： 變式1：直線l過定點（2p，0），與拋物線y=2px（p0）交于A、B兩點，O為原點，求證：OAOB。 證明：設(shè)l的一般方程式為x=ky+2p，代入題目中的拋物線方程中，化簡得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，yy=-4p，所以xx=（）=4p，所以=xx+yy=0，所以，

41、即OAOB。 如果我們將上題中的圖形中新加載另一個圖形圓，則可有下面的試題： 變式2：（2004年重慶高考理科卷）設(shè)p0是一常數(shù)，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）。試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程。 由變式1可知OAOB，即點O在圓H上，因H為圓心，故H為AB的中點。由中點坐標公式可以求出x=(x+x)=(4p+n(y+y)=(2+p)p，y=(y+y)=pn。 顯然OH為圓的半徑，且OH=，所以當n=0時，圓的半徑最小。此時AB的方程為x=2p。 當然我們還可以對此題進行逆向研究，即將此題變式1的

42、條件和結(jié)論進行互換得到下列命題： 變式3：若A、B為拋物線y=2px(p0)上兩個動點，O為原點，且OAOB，求證：直線AB過定點。 過定點問題是一個高考中的熱點，而通過這樣的變式不僅讓學(xué)生的思維活躍起來，而且能引發(fā)學(xué)生去主動地思考問題和解決問題。本題只要設(shè)出A、B兩點坐標，根據(jù)這兩點滿足拋物線方程和垂直的條件即可證明此問題。對本問題稍微改變一下設(shè)問則可得到下面試題： 變式4：(2001春季高考題)設(shè)點A、B為拋物線y=4px（p0）上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明軌跡表示什么曲線。 解有上面的變式可知AB過定點N（4p，0），OMAB?圯OMMN，所以點

43、M的軌跡是以O(shè)N為直徑的圓（除原點），其方程也可求出。 思考：直線與圓錐的位置的關(guān)系問題是多年來高考重點考查的內(nèi)容，該題以拋物線和直線為載體全面考查解析幾何的思想與方法，通過變式練習(xí)層層推進知識的發(fā)生發(fā)展過程，符合學(xué)生的認知規(guī)律，使得學(xué)生在知識和能力上有一定的收獲和提高。 題目2：（高中數(shù)學(xué)新教材第二冊（下A、B）P131 例2）在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān)，只要其中有一個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作。假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率。 本題比較容易，但是我們可借助本題進行如下變式探究： 將已知中的條件變形如下： 變式1：假設(shè)三

44、個開關(guān)全部串聯(lián)，在其余條件不變的情況下，怎樣求線路正常工作的概率？ 解：設(shè)這三個開關(guān)能閉合為事件A，B，C，則可求得概率為P(A)P（B）P（C）=0.7=0.343。 變式2：若其中2個開關(guān)串聯(lián)后再與兩外一個并聯(lián)，在其余條件不變的情況下，如何求線路正常工作的概率？ 假設(shè)三個開關(guān)為M，M，M由已知M，M串聯(lián)，再與M并聯(lián)，則線路正常工作的概率為1-1-P(A)P（B）1-P(C)=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。 變式3：若其中兩個開關(guān)并聯(lián)后與另一個開關(guān)串聯(lián)，在其余條件不變的情況下如何求線路正常工作的概率？ 假設(shè)由已知并聯(lián)，再與串聯(lián)，則得 （1-1-P(A)1-P（B）)P(C)=

45、1-（1-0.7）0.7=0.637 變式4：（2001年天津高考理科卷）用A、B、C三類不同的元件聯(lián)結(jié)兩個系統(tǒng)，當元件A、B、C都能正常工作時，系統(tǒng)N能正常工作；當元件A正常工作，元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N能正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率分別為0.8，0.9，0.9，分別求系統(tǒng)正常工作的概率。 可以看出這一例題是以上變式的綜合變形，這樣使得學(xué)生經(jīng)過類比、分析，不斷對問題進行深入理解。這種一題多變的變式教學(xué)能夠完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)。其實還可以深入進行思考： 以上4個變式只是對3個開關(guān)的連接，假設(shè)有4個或者多個呢？會有怎樣的情況發(fā)生？將上述題目題變成開放式的問題：

46、 變式5：若該線路友4個開關(guān)（串、并）聯(lián)結(jié)而成，已知每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.8，若要求線路正常工作的概率（稱為可靠度）大于0.85，請設(shè)計開關(guān)的聯(lián)結(jié)方式。進一步引導(dǎo)學(xué)生分類討論思考。上題可分析共有7種聯(lián)結(jié)方式，詳情也請讀者思考。這里不再詳細贅述。 著名的教育家波利亞曾說：“好問題跟某種蘑菇有些像，它們都成堆生長，找到一個以后，應(yīng)該在周圍再找找，很可能附近就有好幾個。”由此在數(shù)學(xué)教學(xué)中 ，若通過變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從一個問題出發(fā)，運用類比、特殊化，一般化的方法去探索問題的變化，則能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，去揭示其中的數(shù)學(xué)思想。所以恰當合理深入的變式教學(xué)使得課堂變得生動活潑，學(xué)生愛學(xué)，老師樂教，

47、這樣既有利于學(xué)生學(xué)習(xí)知識，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。 參考文獻： 1丁殿坤，邊平勇.變式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.高等函授學(xué)報，2010. 2謝景力.數(shù)學(xué)教學(xué)的變式及實踐研究D.2006. 3陳琦，劉儒德主編.當代教育心理學(xué)（第2版）.北京師范大學(xué)出版社根據(jù)已知條件求函數(shù)的解析式函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，貫徹于中學(xué)數(shù)學(xué)的各個部分，是中學(xué)數(shù)學(xué)主線，要掌握函數(shù)先要知道解析式，本文對根據(jù)已知條件求函數(shù)的解析式的方法進行了分析。 一、待定系數(shù)法 已知函數(shù)類型，假定函數(shù)的解析式，由題設(shè)條件列方程，求待定系數(shù)值。 例1：求一個實數(shù)的一次函數(shù)F（x），使得FF=8x+7。 解：設(shè)F（x）=ax+b（a，bR

48、） FFF（x）=aa（ax+b）+b=ax+ab+ab+b=8x+7 a=8ab+ab+b=7，a=2b=1，F(xiàn)（x）=2x+1。 二、換元法 已知Fg（x）是關(guān)于x的函數(shù)，即Fg（x）=F（x）。 求F（x）的解析式，通常令g（x）=t，x=（t），代入Fg（x）=F（x）中，求得F（t）的解析式，再用x替換t便得F（x）的解析式。 例2：（1）已知F（x-2）=3x-5，求F（x）； （2）已知F（1-cosx）=sinx，求F（x）。 解：（1）令t=x-2，則x=t+2，tR 由已知有f（t）=3（t+2）-5=3t+1，故f（x）=3x+1。 （2）t=1-cosx，則cosx=1

49、-t，f（t）=1-cosx=1-（1-t）=-t+2t， 故f（x）=-x+2x（0 x2）。 三、消去法 在題設(shè)條件中，已含有所需函數(shù)的隱式，充分利用已知條件消去其余部分。 例3：設(shè)f（x）滿足f（x）-2f（）=x，求f（x）的解析式。 解：f（x）-2f（）=x，（x0） 將x換成，原方程為f（）-2f（x）= 聯(lián)立消去f（），得f（x）=-。 四、特殊值法 將適當變量取特殊值，使問題具體化、簡單化，從而找出規(guī)律，求出解析式。 例4：已知f（0）=1，f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），求f（x）。 解：令a=0，則f（-b）=f（0）-b（-b+1）=1+b-b。 再令-b=

50、x，即得f（x）=1+x（x+1）=x+x+1。 五、分段函數(shù)的解析式 對分段函數(shù)應(yīng)分別求出各區(qū)間內(nèi)的函數(shù)關(guān)系，再組合在一起。 例5：如圖所示，在直角坐標系的第一象限內(nèi)，ABC是邊長為2的等邊三角形，設(shè)直線x=t（0t2）截這個三角形可得位于直線左方的圖形的面積為F（t），求F（t）的解析式。 當1t2時，F(xiàn)（t）=-（2-t）+ 綜上，F(xiàn)（t）=-t（0t1）（2-t）（1t2）讓數(shù)學(xué)課堂的生成資源促進優(yōu)效教學(xué)摘 要： 數(shù)學(xué)教學(xué)既要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)強調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的獨特發(fā)現(xiàn)和感受。本文從數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中預(yù)設(shè)和生成的角度出發(fā)，對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中預(yù)設(shè)和生成現(xiàn)象進行了探討，并通過詳實的案例

51、重點闡述了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中預(yù)設(shè)和生成的常用策略，對實現(xiàn)優(yōu)效課堂教學(xué)很有幫助。 關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)課堂 預(yù)設(shè)生成 優(yōu)效教學(xué) 一、審視探究 課前，我們都對教材進行了深入研究，為某個教學(xué)環(huán)節(jié)是否合理而冥思苦想，對自己精心設(shè)計的教學(xué)方案視若珍寶，然而，我們這樣帶著預(yù)設(shè)進班，往往已把學(xué)生看作完成教學(xué)任務(wù)的配合者，學(xué)生的發(fā)言一旦偏離課堂的中心內(nèi)容，我們便不知所措，就會毫不猶豫地把他們引回“正道”。在教學(xué)實踐中，課堂教學(xué)具有較強的現(xiàn)場性，學(xué)生學(xué)習(xí)的狀態(tài)、條件隨時會發(fā)生變化，當條件發(fā)生變化的時候，目標需要開放地接納始料未及的信息，隨著課堂的推進，預(yù)設(shè)目標可能會顯出它的不合理、不完善。 【案例】：一位老師在教學(xué)圓的周

52、長一課時，讓學(xué)生回顧測量圓的周長的方法。 生1：可以用一條繩子將圓的周圍繞一圈，再量出繩子的長度。 （老師微笑著點頭，并演示了一遍。） 生2：可以用尺子沿著它的周圍慢慢地一邊轉(zhuǎn)動尺子一邊量。 （老師有點不高興，因為這不是他要的答案。老師演示了一遍，說：這樣做很麻煩。） 本課中，學(xué)生2的回答圍繞著“尺子的轉(zhuǎn)動”，可是老師為什么不能將學(xué)生所發(fā)現(xiàn)的“尺子的動”與“圓片的動”聯(lián)系起來呢？尺子一點一點地轉(zhuǎn)動很麻煩，那就換一下，讓圓來動，圓不是滾得很快嗎？教師來個“換一下”，同樣是尺子和圓，第二種方法就可以讓課堂靈光乍現(xiàn)。 教學(xué)是不斷生成的。在教學(xué)活動中，師生互動，生生互動，不斷生成新的教學(xué)資源。葉瀾教授

53、說：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程?！币虼?，課堂不應(yīng)該是教案劇的演繹舞臺，而應(yīng)該重視孩子們的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)。每堂課都應(yīng)是激情和智慧相伴生成的過程，這樣我們的課堂才充盈著智慧、靈性，才能構(gòu)建出開放、優(yōu)效的課堂。 二、實踐策略 1.精心預(yù)設(shè)，促進生成。 案例：在執(zhí)教去括號這一節(jié)內(nèi)容時，我先和學(xué)生做了一個游戲，比比誰算得快、算得準。 在計算出來后，先引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析題目中這兩類代數(shù)式的特點，大膽猜測它們的關(guān)系，通過觀察，學(xué)生知道了：a+（b-c）=a+b-c，a-（b+c）=a-b-c。 然后設(shè)問：式子中左邊和右邊的有

54、什么不同點和相同點？小組討論后交流。 生1：左邊有括號，右邊沒有括號了。 生2：我又試了，發(fā)現(xiàn)不論a、b、c取什么值，左邊和右邊的值是相等的。 生3：（有些遲疑）第一個式子的符號好像不變化，而第二個式子的符號好像變了，左邊括號內(nèi)都是“+”號，右邊b和c的符號都是“-”號了。 生4：我知道，如果把括號去掉，要根據(jù)括號前的符號來判斷。 老師的引導(dǎo)顯然適應(yīng)了學(xué)生們急切地展示自己看法、表白自己認識的要求，學(xué)生的爭辯和討論成了一種激烈的、毫無拘束的、發(fā)自內(nèi)心的交流與合作。預(yù)設(shè)是教學(xué)的基本要求，因為教學(xué)是一個有目標、有計劃的活動，教師應(yīng)該在課前對自己的教學(xué)任務(wù)有一個清晰、理性的思考與安排。我們的課前預(yù)設(shè)要

55、做到“心中有人”，在教學(xué)方案設(shè)計中有“彈性區(qū)間”，讓多維的、靈活的、開放的、動態(tài)的教學(xué)設(shè)計為課堂的動態(tài)生成創(chuàng)設(shè)條件，成功預(yù)設(shè)是課堂有效學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，成功的預(yù)設(shè)往往能促進美麗的生成。 2.善于捕捉，妙手偶得。 案例：在教循環(huán)小數(shù)時，為了讓大家在課上明白循環(huán)小數(shù)的特點，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生開展了一個開火車的游戲。由我做火車頭，請幾位同學(xué)做車站，其他的同學(xué)就做車廂。我們預(yù)先給車站編好數(shù)字站名，要求我們經(jīng)過哪個站就報出該站的數(shù)字站名。同學(xué)們懷著極大的熱情，參加了這次游戲。 第一圈下來，大家報出了“29.6435”這個小數(shù)，然后，我們開始進入特殊站點?？康拈_火車游戲，我們走完29站點后，接著便按固定線路6435循環(huán)

56、旋轉(zhuǎn)前進，大家一邊走一邊報數(shù)：“29.643564356435”說著說著，大家忍不住笑了起來。這時，我問大家：“我們還可以繼續(xù)循環(huán)旋轉(zhuǎn)下去嗎？”同學(xué)們異口同聲地說：“可以?！蔽矣謫枺骸拔覀兛梢赞D(zhuǎn)幾圈呢？”剛開始大家回答“十圈”、“一百圈”等答案，但隨后就反應(yīng)了過來，一起說：“無數(shù)圈！”這時，我讓大家停下來，請大家說說兩次開火車站名的不同，大家你一句，我一句，有的說：“第一次站名短，第二次的特別長?！币灿械恼f：“第二次的站名可以無限長?！边€有的說：“第二次的站名后面的部分都是一樣的數(shù)字在反復(fù)出現(xiàn)?！蔽冶頁P了大家的觀察仔細，同時引出循環(huán)小數(shù)的概念。 課堂教學(xué)是一個生成性的動態(tài)過程，有著一些我們無法

57、預(yù)見的教學(xué)因素和教學(xué)情景，我們要善于捕捉一些有價值的信息，來對我們的教學(xué)預(yù)設(shè)進行合理的刪補。我們必須用心傾聽、及時捕捉和充分肯定，才能讓星星之火燎原，讓智慧閃耀光芒。 3.從容應(yīng)對，把握精彩。 案例：一位老師在執(zhí)教認識事件的可能性的內(nèi)容時，有一位學(xué)生對“太陽從東方升起”的必然性產(chǎn)生了質(zhì)疑，他說：“我覺得太陽從東方升起不是必然事件，因為如果天氣不好我們就看不到太陽，所以這不是一個一定會發(fā)生的事件，應(yīng)該是不確定事件。”這個突如其來的問題使教師愣住了，這可是預(yù)設(shè)時沒有想過的問題，老師想用“這是自古以來的”搪塞過去，但仔細一想，覺得這是一個引導(dǎo)學(xué)生探究并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的嚴密性和如何深層次思考問題的好

58、時機，于是便讓學(xué)生在小組里討論，再交換意見。學(xué)生經(jīng)過交流和辯論，知道了太陽從東方升起是由于地球自轉(zhuǎn)并圍著太陽公轉(zhuǎn)而造成的，所以不可能從西邊升起。 有時學(xué)生在課堂上的意外之言、離奇之舉、突發(fā)之事，往往使教學(xué)計劃受阻，課堂氣氛陡變，使教師陷入困境，遭遇尷尬。尤其在信息化程度高，學(xué)生思想日益活躍的今天，課堂教學(xué)往往難以預(yù)料，需要教師從容應(yīng)對，把握精彩，更需要教師本身有著扎實的基本功、精通的專業(yè)知識和駕馭課堂的能力。靈感稍縱即逝，火花瞬間即滅，教師如能及時捕捉住“靈感”、“火花”，并把它變成課堂上有價值的“生成資源”，課堂教學(xué)必然異彩紛呈，充滿活力。 三、總結(jié)與反思 課堂教學(xué)是一個動態(tài)的過程，預(yù)設(shè)的教

59、學(xué)計劃和實際的課堂教學(xué)活動總會有著某種偏差，這種偏差恰恰是學(xué)生個人的知識、經(jīng)驗與教學(xué)內(nèi)容碰撞后產(chǎn)生的自我體驗。課堂生成是思維個性化的彰顯，是智慧火花的閃爍，是課堂自然美的展現(xiàn)，新課程要求教師要有效利用生成資源，運用恰當?shù)氖侄芜M行引導(dǎo)、挖掘、升華，從而使數(shù)學(xué)課堂折射出智慧的光芒。 參考文獻： 1鮑琴娟.理想的課堂生成需要什么.中小學(xué)數(shù)學(xué). 2數(shù)學(xué)課程標準解讀.北京師范大學(xué)出版社. 3葉瀾主編.改革課堂教學(xué)與課堂教學(xué)評價改革數(shù)學(xué)課堂“探究性學(xué)習(xí)”研究摘 要： 教師主導(dǎo)下的“探究性學(xué)習(xí)”是一個值得探索的課題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要依據(jù)教材設(shè)計探究性問題。 關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 探究 探究性學(xué)習(xí) “探究性學(xué)

60、習(xí)”是指在教師的組織和指導(dǎo)下，學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)問題、調(diào)查研究、動手操作、表達與交流等活動來獲取知識、技能的學(xué)習(xí)活動。它能充分展示和發(fā)展學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生主動參與探究知識的形成過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生獨立探究的能力?，F(xiàn)有教學(xué)經(jīng)驗表明，學(xué)生通過自己的努力和智慧，在充分嘗試歷經(jīng)困難之后獲得數(shù)學(xué)知識，比起通過教師的詳細講解所獲得知識，留下的印象更加深刻，應(yīng)用起來也更加得心應(yīng)手，因為他們獲得的理解經(jīng)歷了一個合情合理的觀察、思考、推導(dǎo)的過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要依據(jù)教材設(shè)計探究性問題。 一、 實驗探究 在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視邏輯論證是完全必要的，但在實際學(xué)習(xí)過程中，許多定理（公式、法則）是靠實驗、觀察、操作、猜