隱函數(shù)的導數(shù)課件

1、隱函數(shù)的導數(shù)若由方程可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如,可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導方法: 兩邊對 x 求導( 注意 y = y(x) )(含導數(shù) 的方程)第1頁，共17頁。例1. 求由方程在 x = 0 處的導數(shù)解: 方程兩邊對 x 求導得因 x = 0 時 y = 0 , 故確定的隱函數(shù)第2頁，共17頁。例2. 求橢圓在點處的切線方程.解: 橢圓方程兩邊對 x 求導故切線方程為即第3頁，共17頁。例3. 求的導數(shù) . 解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式兩邊對 x 求導第4頁，共17頁。 1) 對

2、冪指函數(shù)可用對數(shù)說明:按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式注意:求導法求導 :第5頁，共17頁。2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便 .例如,兩邊取對數(shù)兩邊對 x 求導第6頁，共17頁。又如, 對 x 求導兩邊取對數(shù)第7頁，共17頁。二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若參數(shù)方程可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù)可導, 且則時, 有時, 有(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,第8頁，共17頁。若上述參數(shù)方程中二階可導,且則由它確定的函數(shù)可求二階導數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得記第9頁，共17頁。?例4. 設, 且求已知解:練習: 書P112 題8(1)解:注意 :對誰求導? 第10頁，共17頁。例

3、5. 拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設 為切線傾角,則第11頁，共17頁。拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向第12頁，共17頁。例6. 設由方程確定函數(shù)求解: 方程組兩邊對 t 求導 , 得故第13頁，共17頁。 三、相關(guān)變化率為兩可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對 t 求導得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率第14頁，共17頁。例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 解: 設氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則兩邊對 t 求導已知 h = 500m 時,第15頁，共17頁。思考題: 當氣球升至500 m 時停住 , 有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500 m 時, 仰角的增加率是多少 ?提示: 對 t 求導已知求第16頁，共17頁。試求當容器內(nèi)水例8. 有一底半徑為 R cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,位等于錐高的一