高中數(shù)學(xué)選修1橢圓的幾何性質(zhì)例題解析

1、橢圓的幾何性質(zhì)例題解析【例11求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: 離心率為 告，準(zhǔn)線方程為X =8； (2)長軸與短軸之和為2 0 ,焦距為 4； 5【分析】 要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先判斷橢圓的焦點所在的軸，然后求標(biāo)準(zhǔn)方程中待定的 和b的值.【解】(1)由準(zhǔn)線方程為x = 8,可知橢圓的焦點在x軸上.22設(shè)所求橢圓的方程為X2 +y2 =1(a b0), a bc b0)a b2a +2b =20,2c = 4、5.a+b=10, a2 -b2 =20. TOC o 1-5 h z 22所以焦點在x軸上的橢圓的方程為x +y =1,361622同理可求當(dāng)焦點在y軸上橢圓的方程為 人+ L = 1

2、.16362222因此，所求的橢圓的方程為 +匕=1和-十L = 1.36 1616 36【點評】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，常用方法是待定系數(shù)法一般步驟是:(1)根據(jù)焦點所在的位置設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)由已知條件求出待定的系數(shù)a、b; 將求得的系數(shù)a、b代入所設(shè)方程，即得所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 TOC o 1-5 h z 22【例2】設(shè)F是橢圓+匕=1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點R(i =1,2,3八),使 76FP1、FP2、FP3，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為.【分析】本試題綜合了解析幾何與代數(shù)中的重要內(nèi)容：橢圓的幾何性質(zhì)、焦半徑的有關(guān)內(nèi)容， 等差數(shù)列的通項與公差等問題，考查考

3、生對基礎(chǔ)知識的掌握應(yīng)用能力，考查考生分析問題解 決問題的能力.利用橢圓的性質(zhì)求出焦半徑的取值范圍，利用通項公式求出公差的取值范 圍.這里應(yīng)注意數(shù)列可以是遞增的也可以是遞減的.【解】易知橢圓的焦點到橢圓上的點的最大與最小距離分別為a+c與a-c,即J7+1與,7 -1于是由等差數(shù)列的通項公式得 V7-1+(n-1) d = J7+1解得d|= - n -1111因n-120,故d 6)的一個圓，點A是圓C內(nèi)的一個定點，且| AC| = 6,試求過點A且與。C內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程.若定圓圓心 C到軌跡上的點的距離的最 大值為8,求。C的半徑R.【解析】取的，C所在直線為4軸，線段的中垂線為了軸

4、（如圖所 示上設(shè)動圓圓心為尸fay）. 7 |HC | = 6, .幺（-3,0）, 0（3.0）,由題意可知產(chǎn)川十|尸。工我依6,二產(chǎn)點的軌跡RJ2為以A,C為焦點的橢圓；口 =缶=3力與一9,工所 求軌跡方程為管斗靜點C到軌跡上的點的距離的最大值為白+j:與+ 3=8,1.火=la t【點評】關(guān)于“曲圓的一個焦點到橢圓上點的距離的最大值為口十n 最小值為一匚”的證明如下：如圖（】）,設(shè)橢圓4+4=1（a bQ50）的一個焦點為尸。）相應(yīng)推線為工=之，尸點 是桶圓上的任怠一點，尸到準(zhǔn)線的距黑為d, 丁粵1m八/Pf* n 4+ d,*a c* PF 0, bo）與直線x+y=l交于A、B兩點

5、，M為AB的中點,直線OM勺斜率為2,且OALOB（g坐標(biāo)原點），求橢圓的方程.【解析】設(shè)q工1R（須，了。由方程組消去了得& + &）玄* 2任一占一1 = 0,【9工2+如=1二個+不=1r4. * M 為 AB 中點，M （ Wtq :人 1 , * Aom= 2 .，日 TOC o 1-5 h z “十。小十0 出十。a-f-p .bk縱 又*OA _LOB，工4f = - i *即工/斗yj2 = 6而“必w（l 工i）（l工。工1 一工i+工）+工6,，2工遇；： + 】一（皿-kx： = 0-7-bl =0,:曰 +方=2. 口十后o十白 由】，得。=活=4.，橢圓方程為錚+孥=

6、1. o0 o【點評】對直線和橢圓的位置關(guān)系與方程組的轉(zhuǎn)換、兩交點存在與判別式0及韋達(dá)定理的轉(zhuǎn)換、OALOB轉(zhuǎn)換X1X2 丫佻=0. 22x y【例5】已知Fi、F2分別為橢圓 + 64 =1的左、右焦點，橢圓內(nèi)一點M的坐標(biāo)為（2, 6）,P為橢圓上的一個動點，試分別求：（1） |PM|+5|PF2| 的最小值；（2） |PM| + |PF2| 的取值范圍. 3一一2255 x y【分析】 待求式|PM|+3|PF2中含有的常數(shù)3,使我們聯(lián)想到橢圓 面+ 64 =1離心率恰好為e = 3 ,而膽 =5|PF2| ,它表示P到準(zhǔn)線的距離，故第（1）小題可使用橢圓的第二定義5 e 3求解.對于第（

7、2）小題，可注意到橢圓的定義：橢圓上的點到兩焦點的距離之和為定值，進(jìn) 而可將和式“ |PM| + |PF2|轉(zhuǎn)化為差式” |PM| |PFi|+20”進(jìn)行求解50【解】（1）橢圓右準(zhǔn)線l : x=彳，過點P作PN! l于點N,如圖所小則由橢圓的第二定義知 3|PF 2|35qPNT = e = 5, 于3 |PN| = 3|PF21 所以，|PM| + 5|PF2| = |PM| 十 |PN| d（M, l）,3其中d（M, l）表示點M到準(zhǔn)線l的距離44 易求行d（M , l）= 3所以，|PM| + 5|PF2|的最小值為?（此時點P為過點M且垂直于l的線段與橢圓的交點） 33（2）由橢圓的定義知|PF 2| 十|PFi|=2a=20,故 |PM| 十|PF2| = |PM| |PFi|+201? |PM| -|PFi| |MFi| =10 ,故|PM| +|PF2| 30 （當(dāng)且僅當(dāng)P為有向線段MFi的延長線與橢圓的交點時取“=”）;2? |PF i| -|PM|MFi| =i0 ,故|PM| 十|PF2|=20 （|PFi|一|PM|）i0（