基于MATLAB仿真單級(jí)環(huán)形倒立擺課程設(shè)計(jì)說明書

1、專業(yè)課程設(shè)計(jì)說明書單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的穩(wěn)定控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)學(xué)生姓名：趙曉博學(xué)號(hào)：1307054153學(xué)院：計(jì)算機(jī)與控制學(xué)院專業(yè)：電氣工程與智能控制指導(dǎo)教師：崔建峰，靳鴻2016年6月 目錄TOC o 1-5 h z弓丨言2單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺介紹3建模41.1倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立41.2環(huán)形單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的特性分析71.2.1環(huán)形單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析71.2.2環(huán)形單級(jí)倒立擺能控性分析82對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制81對(duì)簡單線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋控制82.2最優(yōu)線性二次型對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制11總結(jié)17參考文獻(xiàn)18單級(jí)環(huán)形倒立擺引言倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)、通過人為控制使其處于動(dòng)態(tài)平衡的一種擺。倒立擺是一個(gè)復(fù)雜

2、的快速、非線性、多變量、強(qiáng)禍合、自然不穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng),是重心在上、支點(diǎn)在下控制問題的抽象。關(guān)于倒立擺最初的研究始于20世紀(jì)50年代，麻省理工學(xué)院腳IT）的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。進(jìn)入60年代，人們開始對(duì)倒置系統(tǒng)進(jìn)行研究。1966年，schaeefr和Cannon應(yīng)用Bang一Bang控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒立位置。60年代以后，作為一個(gè)不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性系統(tǒng)的典型證例人們提出了倒立擺的概念，并用其檢驗(yàn)控制方法對(duì)不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的處理能力，受到世界各國科學(xué)家的重視。倒立擺的用途主要有兩個(gè)方面。其一，作為一個(gè)非線性自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，倒立擺系統(tǒng)是進(jìn)

3、行控制理論教學(xué)及開展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。許多抽象的控制概念如控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗干擾能力等，都可以通過倒立擺系統(tǒng)直觀地表現(xiàn)出來。其二，由于倒立擺系統(tǒng)具有高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)禍合等特性，其作為控制理論研究中的一個(gè)嚴(yán)格的控制對(duì)象，通常用于檢驗(yàn)控制策略的有效性。研究人員不斷從對(duì)倒立擺控制方法的研究中發(fā)掘出新的控制方法,并將其應(yīng)用于航天科技和機(jī)器人學(xué)等各種高新科技領(lǐng)域。倒立擺的控制方法在半導(dǎo)體及精密儀器加工、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空器對(duì)接技術(shù)和機(jī)器人技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的用途。例如，機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等均

4、涉及倒置問題。另外，倒立擺的控制方法對(duì)處理一般工業(yè)過程也有借鑒作用。近年來，對(duì)倒立擺系統(tǒng)控制方法的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺介紹單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)一種廣泛應(yīng)用的物理模型，其物理模型如下：圖示為單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)原理圖。其中擺的長度I】二0.54m,質(zhì)量1=0.127kg,橫桿的長度1?二0.325m,質(zhì)量叫二0.202kg,重力加速度g=0.98m/s2o以在水平方向?qū)M桿施加的力矩M為輸入，橫桿相對(duì)參考系產(chǎn)生的角位移對(duì)為輸出?？刂频哪康氖钱?dāng)橫桿在水平方向上旋轉(zhuǎn)時(shí)，將倒立擺保持在垂直位置上。圖1.環(huán)形倒立擺實(shí)物圖單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺可以在平行于紙面360度的范圍內(nèi)自由擺動(dòng)。倒立擺

5、控制系統(tǒng)的目的是使倒立擺在外力的推動(dòng)下，擺桿仍然保持豎直向上狀態(tài)。在橫桿靜止的狀態(tài)下，由于受到重力的作用，倒立擺的穩(wěn)定性在擺桿微小的擾動(dòng)下，就會(huì)使倒立擺的平衡無法復(fù)位，這時(shí)必須使橫桿在平行于紙面的方向通過位移產(chǎn)生相應(yīng)的加速度。作用力與物體位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)存在線性關(guān)系，故單級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)非線性系統(tǒng)。本文綜合設(shè)計(jì)以以在水平方向?qū)M桿施加的力矩為輸入，橫桿相對(duì)參考系產(chǎn)生的角位移為輸出，建立狀態(tài)空間模型，在原有系統(tǒng)上中綜合帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)當(dāng)橫桿在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，將倒立擺保持在垂直位置上。1.1倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立關(guān)于倒立擺運(yùn)動(dòng)方程的建立和分析，主要有牛頓一歐拉方法和拉格朗日方法。

6、這里釆用拉格朗口方程推導(dǎo)環(huán)形倒立擺運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的方法得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。在距擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸距離為1處取一小段dl,這一小段dl的坐標(biāo)為：x=hsinq-lsiiiftcosqy=cos+1sillsinqz=lcosQ對(duì)q、g求導(dǎo)，得x=l191cosq-102cosQcosq+iqsingsiny=一1包sinq+1cosgsinq+iqsin02cos。】z=-lftsin&X2=/p2cos2q+/M22cos202cos20+l202sin20?sin20-11IOO7cos26cosg+2ljpjcos0 xsinsin02-2126x02cosQcos02sinQsin32y2=l謎si

7、n2q+l2e；cos2sin2Q+sin，$cos?0_21J002siQcos_2/1/&2sinqsingcosq十cos&cosgsinjsing則這一小段擺桿dl的動(dòng)能dT為:dTnu(x2+y2+z2)22厶八二*尋他仏詢2+尸&2+尸律sin2ft_糾/&cosg)連桿的動(dòng)能1;為擺桿的動(dòng)能A?為：r2l.T=IdT叫Jo122=加4mJjD：4mJjOfsin.2%加丿人&久cosg233質(zhì)量塊的動(dòng)能為：如(警)如代系統(tǒng)的總動(dòng)能T為：7二加丿3弓帥口如儕+知再毋+91Sin_&2_加2“21&28S&2+2/系統(tǒng)的勢能為(以連桿水平的位置為0勢能位置):r=f+v十廠rnm2蝕

8、=mgl+加202(1+cos)+m3gl3拉格朗日算子l=t-v,系統(tǒng)廣義上的坐標(biāo)為q=q,Q,由于2上無外力，由拉格朗日方程與魯-魯二耳(i=l,2)等式帶令魯=0成立。dt內(nèi)內(nèi)dt002d02L=T-V117?=也晉即+-加叢2&2*土皿8?+蘭加厶絲2sin2仇_6233叫“2如2cos2-叫一叫妙2+cosQ)+叫03dL42-2.二一訕1&：sinEcos&+人/J&sin3+nughsin迢32=士用jjOr+加2仏&COS昭3亠ddLdL由等式石希一右可得出dt附0&340,=:一（昵cosE+sin0、cos仇十m.glysin久）4/nJj32=人3取平衡位置時(shí)各變量的初值

9、為零(0p020iX)=(0O0,0)將上式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化處理，令dOx=藍(lán)1昭昭d02K-%=00、=0,0=0胡=0,?7=00=0&=0,色=0,&=0,。2=0,&=03g/（4厶）=00=0血=0血=0妙=0=0=0q=oq=0,=0A=o同=o15前i=0A=0,=0,=04=0得到線性化之后的公式：=3Z1/（4Z2）二心&2十心9Lt=B、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫成如下的形式:0($)_心_J41)U(s)-Kns?-(3g/4厶)設(shè)定狀態(tài)變量如下：可得系統(tǒng)線性化狀態(tài)方程為:x=Ax+Buy=(rX+D”(Ay缶、I00 x20000a000I&X0K乜J1/5

10、OKo1LooX7zrI.ooJ/rrslewtoMATLAB?A/otchthisX/icjuo.sddOumon-o77unxiT丄eonemnengguanUe097600976001.46301049010200一23.08031.00001.0000一14630-23O8Q3Lintitn2圖4MATLAB計(jì)算結(jié)呆由于N二4因此系統(tǒng)是能控能觀的。用MATLAB看該系統(tǒng)是否穩(wěn)定如下圖圖5.MATLAB系統(tǒng)仿真圖因此可以看出原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要加入狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于左半平面，控制系統(tǒng)的各種特性及其品質(zhì)指標(biāo)在很大程度上是由其閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置決定。極點(diǎn)配

11、置問題就是通過對(duì)狀態(tài)反饋矩陣的選擇，使其閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在所希望的位置上，從而達(dá)到期望的性能指標(biāo)的要求。極點(diǎn)配置是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，是一個(gè)工程實(shí)踐與理論相結(jié)合的問題。我們這里釆用一種工程實(shí)踐中經(jīng)常用到的簡便方法-主導(dǎo)極點(diǎn)法，其基本思路是先根據(jù)期望的性能指標(biāo)和經(jīng)驗(yàn)公式確定一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，然后將另外的非主導(dǎo)極點(diǎn)放在復(fù)平面上遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)的位置。設(shè)倒立擺控制系統(tǒng)期望的性能指標(biāo)為:阻尼系數(shù)=0.6,調(diào)節(jié)時(shí)間ts=2So亦即控制系統(tǒng)在任意給定的初始條件下，能夠以適當(dāng)?shù)淖枘?0.6（大約10%的超調(diào)），在2S鐘內(nèi)將擺桿恢復(fù)到垂直平衡位置。根據(jù)控制理論的經(jīng)驗(yàn)公式得到無阻尼自然頻率為：wn=4/（ts）=

12、4/1.2=3.33P=wn由上述條件的很容易構(gòu)建一個(gè)二階系統(tǒng)，其兩個(gè)極點(diǎn)為：pl=-2.0000+2jp2=-2.0000-2j它們就是需要的主導(dǎo)極點(diǎn)，控制系統(tǒng)的性能主要由這兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)決定。另外兩個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)（為簡化取兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)）經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)整定，分別取距離兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)1倍和1.5倍的遠(yuǎn)處，即：p3=-2.0000p4=-3.0000本文設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋要求系統(tǒng)期望的特征值為：L0;-8;-2+j;-2-j。手算求解狀態(tài)反饋陣K有待定系數(shù)法和直接法，由于矩陣A階數(shù)較高，本文使用Matlab中K=place(A,B,Pl),求解KA=0Z1/0/0;0Z0/-0.717/0；0/0/0Z1;

13、0,0/15.776/0;B=0;0.976;0;-1.463;C=1,O,O?O;Pl=-3;-2;-2+2j;-2-2j;K=place(A,B,Pl)K二-33453-44604-36.2550-9.1274由狀態(tài)反饋矩陣可得狀態(tài)反饋模型仿真圖如下圖所示圖6.SIMULINK狀態(tài)模擬仿真圖O初始值M二3，0=0.152的零狀態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)曲線如下圖所示。圖了狀態(tài)反饋系統(tǒng)和零狀態(tài)響應(yīng)曲線從上圖可以看出在3秒左右，擺桿和豎直方向的夾角e=o系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。2.2最優(yōu)線性二次型對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，性能指標(biāo)函數(shù)是對(duì)象狀態(tài)變量和控制輸入變量的二次型函數(shù)。對(duì)于線形系統(tǒng)

14、，若性能指標(biāo)為二次性函數(shù)，這樣實(shí)現(xiàn)的控制叫做線性二次型最優(yōu)控制。二次型最優(yōu)控制問題就是在線性系統(tǒng)的約束條件下，選擇控制輸入使得二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。其最終目標(biāo)是為系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性二次型調(diào)節(jié)器簡稱LQRo線性二次型最優(yōu)控制方法是20世紀(jì)60年代發(fā)展起來的一種普遍采用的最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。在工程實(shí)際中應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制是非常普遍的。這是因?yàn)椋涡托阅苤笜?biāo)有較為明確的物理概念;而且采用二次型性能指標(biāo)在數(shù)學(xué)處理上比較簡單，共至能得到解析形式表達(dá)的線性反饋規(guī)律，可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的線性反饋，線性二次型控制理論是反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種重要工具，它為多變量反饋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了一種有效的分析方法,可以適應(yīng)于時(shí)變系

15、統(tǒng)，能夠處理擾動(dòng)信號(hào)和測量噪聲問題，并可以處理有限和無限的時(shí)間區(qū)間。狀態(tài)調(diào)節(jié)器是指釆用狀態(tài)反饋,使?fàn)顟B(tài)向量的各分量迅速趨近于零，而不消耗很多能量的系統(tǒng)?？紤]系統(tǒng)被控對(duì)象的狀態(tài)空間方程為x=AX(t)+BU(t)y=x(t)其中,x為n維狀態(tài)向量,u為r維控制向量,且不受約束,A為n*n維常數(shù)矩陣,B為n*r維常數(shù)矩陣。尋找一個(gè)狀態(tài)反饋控制律u()t=-Kx()t,即確定最優(yōu)控制矩陣K,使得系統(tǒng)下面的性能指標(biāo)為最小。J=2xf+2JxTQ(t)x+uTR(t)udt式中Q為n*n對(duì)稱半正定矩陣，R為r*r對(duì)稱正定矩陣；F為n*n對(duì)稱半正定矩陣?？傻脿顟B(tài)反饋控制律為：u*=-kx(t)=-R1BT

16、(t)P(t)x定義方程給出的線性控制矩陣K為最優(yōu)控制矩陣，因此最優(yōu)控制矩陣K為：K=RT(t)P(t)圖8.系統(tǒng)的控制框圖從控制效果來看,LQR是連續(xù)線性二次型最優(yōu)控制函數(shù)，用于計(jì)算連續(xù)狀態(tài)空間控制方程,LQR指標(biāo)中引入對(duì)控制增量的約束，可以保證控制量的變化不至于太劇烈，且通過加權(quán)系數(shù)，可以選擇對(duì)跟蹤誤差和控制量的變化的抑制兩方面的側(cè)重過程,LQR指標(biāo)具有一定的魯棒性。在MATLAB控制工具箱中有解黎卡提方程的專用函數(shù)，對(duì)于形式為A+XAXBX+C=0的代數(shù)黎卡提方程，它的調(diào)用方式為X=are(A,B,C,顯然X代入P(t),A代入A(t),代入B的應(yīng)是B(t)R_1(t)BT(t),代入C

17、的應(yīng)是Q(t)。MATLAB也給出了求解線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器的函數(shù)lqr,其調(diào)用語句為K,P,E=lqr(A,B,QR)可見公式中的輸入變量都是系統(tǒng)中的已知矩陣，而返回的解除了增益矩陣K和方差陣P之外,還有一個(gè)特征根矩陣E,它是特征方程Hl-(A-BK)=0的根，根據(jù)它可以判斷系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。根據(jù)現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制原理利用MATLAB提供的LQR(A,B,0,R)可以方便的算出控制矩陣K。選擇合適的加權(quán)矩陣Q和R,矩陣Q是用來衡量輸入量與輸出量的敏感程度，從而可以計(jì)算出狀態(tài)反饋增益矩陣K。Q和R的選取依據(jù)如下；在一般的情況下，令R矩陣為1,則參數(shù)調(diào)節(jié)的重心集中在Q矩陣的參數(shù)調(diào)節(jié)。Q矩陣通常

18、是對(duì)角線常數(shù)陣，對(duì)角線上的元素q,分別表示對(duì)應(yīng)誤差分量xi的重視程度。越加被重視的誤差分量，希望它越小，相應(yīng)地其加權(quán)系數(shù)q,就應(yīng)取得越大。如果對(duì)誤差在動(dòng)態(tài)過程中不同階段有不同的強(qiáng)調(diào)時(shí)，那么，相應(yīng)的qi就應(yīng)取成時(shí)變的?，F(xiàn)在開始給定Q矩陣：Q=diag(q1耳2,0,0)參數(shù)的qi主要與伺服齒輪偏轉(zhuǎn)角而參數(shù)q2主要與擺桿的偏轉(zhuǎn)角度a有關(guān)，通過參數(shù)的設(shè)定使得哪一個(gè)變量優(yōu)先為0.默認(rèn)的Q=diag(l100),為此保持q2不變慢慢加大qi的值，可以調(diào)出較穩(wěn)定的值?；诂F(xiàn)代控制理論的LQR方法依賴于局部線性化后的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，在系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的控制效果良好，但是當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡點(diǎn)較大時(shí)，非線性因素的影

19、響突顯出來，造成了模型失配和系統(tǒng)發(fā)散。模糊控制不依賴于系統(tǒng)的精確模型,對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺在大范圍內(nèi)控制效果良好，但是在系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近對(duì)零位的判斷不精確，使得系統(tǒng)出現(xiàn)了較大的穩(wěn)態(tài)誤差，并且在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)了明顯的振蕩。此次研究的單級(jí)倒立擺實(shí)物為固高公司所產(chǎn)的，下面是MATLAB仿真圖。圖9.MATLAB仿真圖根據(jù)lqr可求得狀態(tài)反饋增益矩陣K選取最簡單Q，R值：在Q=diag(l,O,1,O),R=1;求得狀態(tài)反饋增益KK=-l.0000-1.797878.881115.1174加入狀態(tài)反饋增益K后，驗(yàn)證系統(tǒng)在線性情況下是否穩(wěn)定。加入K后可求得此時(shí)系統(tǒng)的極點(diǎn)P二-5.2182+0.0864i-5.21

20、82-0.0864i-0.7069+0.7069i-0.7069-0.7069i1Figure1:階趺響應(yīng)一口XFileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelpD&H鬢鯉鴿渥謠目回ResponsetoInitialConditions1-101S1HO6L5676910Time(seconds)圖10.系統(tǒng)階躍響應(yīng)?0010極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。且系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下：由曲線可知，連桿，擺桿的擺動(dòng)幅度不大，大約在四五秒后穩(wěn)定在Qiag（：L,0丄0）,RJ時(shí),連桿角度變化圖n連桿角度的變化QScopeX呂鬲I回2執(zhí)I因珞坯I曰ft嗥 Timeoffset:O圖12.擺桿角度變化:呂陽Q爲(wèi)軌E2第陽耳卞1.510.500.5-11.5051015Timeoffset:0圖13輸出曲線 Q=diag(5Al,0)QFigure2:耒統(tǒng)階跌Q應(yīng)aprlduY(DJnoolResponsetoinitiaiComditions45678910Timo(8GCondaFile-EditViewInsertToolsDesktopWindowHelpU日4IS目口圖14.階躍響應(yīng)曲線