高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)知識點(diǎn)與典型例題

1、基本初等函數(shù)【整體感知】： 基本初等函數(shù) 冪函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)第1講 指數(shù)函數(shù)【基礎(chǔ)梳理】1.根式（1）根式的概念 如果一個數(shù)的n次方等于a（n1且nN*），那么這個數(shù)叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，則x叫做_a的n次方根_,其中n1且nN*.式子叫做_根式_, 這里n叫做_根指數(shù)_，a叫做_被開方數(shù)_. （2）根式的性質(zhì) 當(dāng)n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)，這時，a的n次方根用符號_ 表示. 當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù),這時，正數(shù)的正的n次方根用符號_表示, 負(fù)的n次方根用符號_表示.正負(fù)兩個n次方根可以合寫為_（a0）. =_a

2、_. 當(dāng)n為奇數(shù)時， =_a_;當(dāng)n為偶數(shù)時， =_.負(fù)數(shù)沒有偶次方根. 2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正整數(shù)指數(shù)冪：（nN*）；零指數(shù)冪：a0=_1_（a0）；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a-p=_（a0，pN*）；正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：=_（a0，m、nN*， 且n1）；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： = = (a0,m、nN*,且n1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于_0_，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪_沒有意義_.（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) aras= ar+s(a0,r、sQ); (ar)s= ars(a0,r、sQ); (ab)r= arbr(a0,b0,rQ). 3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y=ax(a0且a1)圖象a10a1定義域R值

3、域(0,+)性質(zhì)(1)過定點(diǎn)_(0,1)_(2)當(dāng)x0時,_ y1_;x0時,_ 0y0時,_ 0y1_;x1_(3)在(-，+)上是_增函數(shù)_(3)在(-，+)上是_減函數(shù)_【要點(diǎn)解讀】要點(diǎn)一 指數(shù)運(yùn)算【例1】【標(biāo)準(zhǔn)解析】根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留。 【誤區(qū)警示】一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時兼顧運(yùn)算的順序，否則容易發(fā)生運(yùn)算的錯誤?！敬鸢浮俊咀兪接?xùn)練】（3）已知，求的值?！緲?biāo)準(zhǔn)解析】（2）原式=。（3），又，?！炯记牲c(diǎn)撥】根式運(yùn)算或根式與

4、指數(shù)式混合運(yùn)算時,將根式化為指數(shù)式計(jì)算較為方便，對于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示，如果有特殊要求，要根據(jù)要求寫出結(jié)果.但結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù). 要點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)【例2】已知函數(shù)f(x)4xm2x1有且僅有一個零點(diǎn)，求m的取值范圍【例3】設(shè)函數(shù)=為奇函數(shù). 求：（1）實(shí)數(shù)a的值；（2）用定義法判斷在其定義域上的單調(diào)性.【標(biāo)準(zhǔn)解析】解決含指數(shù)式的各種問題，要熟練運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識?！菊`區(qū)警示】證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理?！敬鸢浮?1)方法一 依題意，函數(shù)

5、的定義域?yàn)镽， 是奇函數(shù)，=-，2分2(a-1)(2x+1)=0，a=1. 6分方法二 f(x)是R上的奇函數(shù)，f(0)=0，即 a=1. 6分（2）由(1)知設(shè)且R， 8分,在R上是增函數(shù).【變式訓(xùn)練】設(shè) 是定義在R上的函數(shù).（1）可能是奇函數(shù)嗎？（2）若是偶函數(shù)，試研究其單調(diào)性.【標(biāo)準(zhǔn)解析】(1)方法一 假設(shè)是奇函數(shù),由于定義域?yàn)镽, =-，,即 整理得 即即+1=0,顯然無解. 不可能是奇函數(shù). 方法二 若是R上的奇函數(shù)，則f(0)=0,即不可能是奇函數(shù).(2)因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以=,即整理得 又對任意xR都成立，有得a=1.當(dāng)a=1時，=,以下討論其單調(diào)性，任取R且, 當(dāng) ,為增函數(shù),此

6、時需要，即增區(qū)間為0,+),反之(-,0為減區(qū)間.當(dāng)a=-1時，同理可得在（-，0上是增函數(shù)，在0，+）上是減函數(shù). 【技巧點(diǎn)撥】解決含指數(shù)式的各種問題，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識。要點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用【例4】若函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)f(x)=(x1)2(x1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則g(x)的表達(dá)式是 （ ）【命題立意】函數(shù)的圖象經(jīng)常和函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系在一起，把握函數(shù)圖象之間的特點(diǎn)和聯(lián)系。在解題的過程中也常常需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象?！緲?biāo)準(zhǔn)解析】利用函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的反函數(shù)【誤區(qū)警示】此題還要特別注意反函數(shù)的定義域，不要忘

7、記書寫，也不要出現(xiàn)表達(dá)錯誤的情況?！敬鸢浮恳?yàn)?，所以在x1時，f(x)的反函數(shù)為（x0），故答案為g(x)=1(x0)【變式訓(xùn)練】下圖是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的圖象，則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是（ ）A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1dc【標(biāo)準(zhǔn)解析】可先分兩類，即（3）（4）的底數(shù)一定大于1，（1）（2）的底數(shù)小于1，然后再從（3）（4）中比較c、d的大小，從（1）（2）中比較a、b的大小.【技巧點(diǎn)撥】 x=1稱為指數(shù)函數(shù)特征線。熟練運(yùn)用特征線比較底數(shù)大小帶來極大方便?！敬鸢浮拷夥ㄒ唬寒?dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時，圖象上升，且當(dāng)?shù)?/p>

8、數(shù)越大，圖象向上越靠近于y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近于x軸.得ba1dc.解法二：令x=1，由圖知c1d1a1b1，ba1dc.答案：B【例5】已知函數(shù) (1)作出圖象； (2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間； (3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時函數(shù)有最值.【標(biāo)準(zhǔn)解析】第(1)由=-恒成立可解得a的值; 第(2)問按定義法判斷單調(diào)性的步驟進(jìn)行求解即可.【誤區(qū)警示】在作函數(shù)圖象時,首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系.然后通過平移或伸縮來完成. 【答案】 （1）由已知可得其圖象由兩部分組成：一部分是亦由向左平移1個單位得到另一部分是由向左平移1個單位得到圖象如圖：(2)由圖象知

9、函數(shù)在（-，-1上是增函數(shù)，在（-1，+）上是減函數(shù).(3)由圖象知當(dāng)x=-1時,函數(shù)有最大值1,無最小值.【變式訓(xùn)練】若直線y=2a與函數(shù)y=|-1| (a0,且a1)的圖象有兩個公共點(diǎn),則a的取值范圍是_.解析當(dāng)a1時，如圖,只有一個公共點(diǎn)，不符合題意. 當(dāng)0a1時，如圖,由圖象知02a0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作_,其中_a_叫做對數(shù)的底數(shù),_N_ 叫做真數(shù). （2）幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a0且a1)_常用對數(shù)底數(shù)為_10_自然對數(shù)底數(shù)為_e_2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則（1）對數(shù)的性質(zhì) =_N_;=_N_(a0且a1). （2）對數(shù)的重要公式 換底

10、公式: (a,b均大于零且不等 于1)； 推廣=_ _. (3)對數(shù)的運(yùn)算法則 如果a0且a1,M0,N0,那么 =_; =_;= _(nR); 3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a10a1圖像性質(zhì)（1）定義域：（0，+）（2）值域：R（3）過點(diǎn)（1，0），即x1時，y0(4)當(dāng)x1時,_ y0_當(dāng)0 x1時,_ y1時,_ y0_當(dāng)0 x0_5)在（0，+）上是增函數(shù)（4）在（0，+）上是減函數(shù)4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線_y=x_對稱. 【要點(diǎn)解讀】要點(diǎn)一 對數(shù)運(yùn)算【例1】計(jì)算（1）；（2）；（3）【標(biāo)準(zhǔn)解析】這是一組很基本的對數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這

11、些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧?！菊`區(qū)警示】公式和法則運(yùn)用不熟練導(dǎo)致錯誤較多，要注意一些簡單的技巧和方法。【答案】（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。【變式訓(xùn)練】設(shè)、為正數(shù)，且滿足 若，求、的值?！緲?biāo)準(zhǔn)解析】由得，由得由得由得，代入得， 由、解得，從而?！炯记牲c(diǎn)撥】對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可?！敬鸢浮?，要點(diǎn)二 對數(shù)方程【例2】方程的解為 。【標(biāo)準(zhǔn)解析】關(guān)于含對數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)因式的普通等式或方程的形

12、式，再來求解?！菊`區(qū)警示】變形不是等價變形，要注意嚴(yán)重解的合理性?！敬鸢浮吭匠套冃螢?，即，得。且有。從而結(jié)果為。【變式訓(xùn)練】方程lgx+lg（x+3）=1的解x=_.【標(biāo)準(zhǔn)解析】由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x2+3x10=0.x=5或x=2.x0，x=2.【技巧點(diǎn)撥】利用對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡和計(jì)算時，在去掉對數(shù)符號時，特別要注意“真數(shù)必須大于零”這個條件?！敬鸢浮?要點(diǎn)三 對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)【例3】若函數(shù)的圖象過兩點(diǎn)(-1，0)和(0，1)，則（ ）Aa=2,b=2 Ba= EQ r(,2) ,b=2 Ca=2,b=1 Da= EQ r(,2) ,b= EQ r(

13、,2) 【標(biāo)準(zhǔn)解析】利用函數(shù)和圖象的性質(zhì)解題?！菊`區(qū)警示】沒有討論對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的范圍?！敬鸢浮恳李}意可知且，因此-1+b=1且a=b,解得a=b=2.選擇A【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f1(x)，則函數(shù)y= f1(1x)的圖象是（ ）【標(biāo)準(zhǔn)解析】可以利用圖象的特點(diǎn)和函數(shù)的性質(zhì)，如圖象上的特殊點(diǎn)，對應(yīng)函數(shù)的坐標(biāo)。另外也可以直接求出，畫出圖象進(jìn)行比較?！炯记牲c(diǎn)撥】要正確識別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性?！敬鸢浮坑蓎=log2x得f1(x)2x,所以y= f1(1x)21-x, 選擇C

14、C要點(diǎn)四 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題【例4】已知是奇函數(shù) （其中，（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）求的反函數(shù)；（4）當(dāng)定義域區(qū)間為時，的值域?yàn)?，求的?【標(biāo)準(zhǔn)解析】對于這幾個問題都是比較常規(guī)的，如第一問，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到等式即可解出m的值；第二問可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，也可以利用單調(diào)性的定義求解；第三問則是單純的求函數(shù)的反函數(shù)，不過特別要注意反函數(shù)的定義域；第四問則要根據(jù)第二問的一些結(jié)論，結(jié)合著使用?！菊`區(qū)警示】各個小題概括了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的各種常見的基本問題，熟練掌握這些基本問題的解答程序及方法是很重要的能力訓(xùn)練，要認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn).【答案】（1）對定義域內(nèi)的任意恒成立，當(dāng)不是奇

15、函數(shù)，（2）定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時，在上都是減函數(shù)；當(dāng)時，上都是增函數(shù)；（另解）設(shè)，任取，結(jié)論同上；（3），（4）上為減函數(shù)，命題等價于，即，解得.【變式訓(xùn)練】在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，對每個自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0a1)的圖象上，且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對于每個自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列Cn前多

16、少項(xiàng)的和最大？試說明理由。【標(biāo)準(zhǔn)解析】 (1)由題意知：an=n+,bn=2000()。(2)函數(shù)y=2000()x(0abn+1bn+2。則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn，即()2+()10，解得a5(1)。 5(1)a10。(3)5(1)a10，a=7bn=2000()。數(shù)列bn是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個自然數(shù)n2,Bn=bnBn1。于是當(dāng)bn1時，BnBn1，當(dāng)bn1時，BnBn1，因此數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn+10時，在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù),當(dāng)k0=00)方程ax2+bx+c=0的解x1,x2(x10的解集x|x

17、x2或xx1x|xR且xx0Rax2+bx+c0的解集x|x1xx23.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義:形如_( R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是 _自變量_, 為_常數(shù)_. (2)冪函數(shù)的圖象 (3)冪函數(shù)的性質(zhì)定義域RRR0,+)x|xR且x0值域R0,+)R0,+)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0,+)時,增x(-,0時,減增增x(0,+)時,減x(-,0)時,減定點(diǎn)(0，0),(1，1)(1，1)【要點(diǎn)解讀】 要點(diǎn)一 冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】比較下列各組數(shù)的大?。海?） （2）（3） （4）.【標(biāo)準(zhǔn)解析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性，注意合理選擇模擬函數(shù)，使問題得到轉(zhuǎn)化?！菊`區(qū)警示

18、】比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小【答案】（1）在上是增函數(shù)， （2）在上是增函數(shù)，（3）在上是減函數(shù)，；是增函數(shù)，；綜上， （4），【變式訓(xùn)練】將下列各組數(shù)用小于號從小到大排列：（1） （2） （3）【標(biāo)準(zhǔn)解析】（1） （2）（3）?！炯记牲c(diǎn)撥】比較幾個數(shù)式的大小，是解題過程中常常遇到的知識考點(diǎn)，往往都要用到函數(shù)的單調(diào)性，我們應(yīng)該熟練掌握規(guī)定的幾個特殊冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及圖像特征.【例2】 已知函數(shù)= (pZ)在(

19、0,+)上是增函數(shù)，且在其定義域上是偶函數(shù)。（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式。（2）對于（1）中求得的函數(shù)，設(shè)函數(shù)g(x)= +(2q1) +1，問是否存在實(shí)數(shù)q(q0)，使得g(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間(4,0)上是增函數(shù)。若存在，請求出來；若不存在，請說明理由。【標(biāo)準(zhǔn)解析】冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點(diǎn)，；，又函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，是奇數(shù)，或【技巧點(diǎn)撥】冪函數(shù)圖象與軸、軸都無交點(diǎn)，則指數(shù)小于或等于零；圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)結(jié)合，便可逐步確定的值要點(diǎn)二 二次函數(shù)的解析式【例3】已知二次函數(shù)為常數(shù)，且 滿足條件：，且方程有等根. （1）求的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)、

20、，使定義域和值域分別為m，n和4m，4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由.【標(biāo)準(zhǔn)解析】用待定系數(shù)法求f(x)解析式，在解題中要注意條件的運(yùn)用，并利用對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)解決問題，同時考察了數(shù)學(xué)分類討論的思想?！炯记牲c(diǎn)撥】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通常對對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，是求值域的基本題型之一。在已知最值結(jié)果的條件下，仍需討論何時取得最小值，這個也是后面我們要講到的內(nèi)容?！敬鸢浮吭O(shè)=ax2+bx+c（a0）則+=(a-1)x2+bx+c-3由已知+為奇函數(shù)，則有 =x2+bx+3下面通過確定在-1，2上何時取最小值來確定b，分類討論。 ，對稱軸當(dāng)2，b-4時，在-1，2上為減函數(shù) 2b+7=1 b=3（舍）當(dāng)（-1，2），-4b0時，2ax22x3a的對稱軸為xeq f(1,2a)當(dāng)eq f(1,2a)1，即0aeq f(1,2)時，須使eq blcrc (avs4alco1(f(1)0,f(1)0)即eq blcrc (avs4alco1(a5,a1)a的解集為.當(dāng)1eq f(1,2a)eq f(1,2)時，須使eq blcrc (avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)0,f(1)0)即eq blcrc (avs4alco1(f(1,2a)3a0,a1)解得a1，a的取值范圍是1，)(3)當(dāng)