高中物理奧林匹克競賽解題方法等效法

1、高中奧林匹克物理競賽解題方法四四、等效法方法簡介在一些物理問題中，一個過程的發(fā)展、一個狀態(tài)的確定，往往是由多個因素決定的，在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，而對過程的發(fā)展或狀態(tài)的確定， 最后結(jié)果并不影響, 這種以等效為前提而使某些因素互相代替來研究問題的方法就是等效法等效思維的實質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實際問題變換為簡單的熟悉問,因此應(yīng)用等效法時往往是用較簡單題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律 的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問題得到簡化而便于求解 賽題精講例1:如圖41所示，水平面上，有兩

2、個豎直的光滑 墻壁A和B,相距為d, 一個小球以初速度 V0從兩墻 之間的O點斜向上拋出，與 A和B各發(fā)生一次彈性 碰撞后，正好落回拋出點，求小球的拋射角0 .解析：將彈性小球在兩墻之間的反彈運動，可等效為 一個完整的斜拋運動(見圖).所以可用解斜拋運動的方法求解.由題意得： 2d =v0cosH t=v0cosH 2V0 s1n g可解得拋射角-=1 arcsin 2gd2v2例2:質(zhì)點由A向B做直線運動，A、B間的距離為L,已知質(zhì)點在 A點的速度為v。，加速度 為a,如果將L分成相等的n段，質(zhì)點每通過 L/n的距離加速度均增加 a/n ,求質(zhì)點到達 B 時的速度.解析 從A到B的整個運動過

3、程中，由于加速度均勻增加，故此運動是非勻變速直線運動，而非勻變速直線運動， 不能用勻變速直線運動公式求解，但若能將此運動用勻變速直線運動等效代替，則此運動就可以求解.因加速度隨通過的距離均勻增加，則此運動中的平均加速度為a a (n-1)aa初 +a末n 3an - a (3n -1)aa 平=222n 2n由勻變速運動的導出公式得2a平L =vB - v；2 (3n -1)aL解得vb = v0n例3 一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當老鼠到達距老鼠洞中心距離si=1m的A點時，速度大小為 v1 =20cm/s,問當老鼠到達距老鼠洞中心 S2=2

4、m的B點時，其速度大小 v2 =?老鼠從A點到達B點所用的時間 t= ?解析 我們知道當汽車以恒定功率行駛時，其速度v與牽引力F成反比，即，v=P/F,由此可把老鼠的運動等效為在外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運動,一 一， P P由此分析，可寫出v = P = PF kx當 x =S1 時,v = V1將其代入上式求解，得k=P = Pv1slv2s2所以老鼠到達B點時的速度v2 =包必=1M20=10cm/s S22再根據(jù)外力做的功等于此等效彈簧彈性勢能的增加，Pt =1 ks| -ks222代入有關(guān)量可得Pt -1 P（s2 -s2）2 v1sl（s2 -sf）22 - 12由此可解得 t

5、 = （s2 s1 ） = 21= 7,5s2s1Vl2 1 0.2此題也可以用圖像法、類比法求解.r例4如圖42所不，半徑為r的鉛球內(nèi)有一半徑為 L的2球形空腔，其表面與球面相切，鉛球的質(zhì)量為M.在鉛球和空腔圖4 2的中心連線上，距離鉛球中心L處有一質(zhì)量為 m的小球（可以看成質(zhì)點）,求鉛球?qū)π∏虻囊?解析因為鉛球內(nèi)部有一空腔，不能把它等效成位于球心的質(zhì)點,我們設(shè)想在鉛球的空腔內(nèi)填充一個密度與鉛球相同的小鉛球M,然后在于小球 m對稱的另一側(cè)位置放另一個相同的小鉛球 M這樣加入的兩個小鉛球?qū)π∏?m的引力可以抵消，就這樣將空腔鉛球 變成實心鉛球，而結(jié)果是等效的 .帶空腔的鉛球?qū)的引力等效于實

6、心鉛球與另一側(cè)m的引力為F,實心鉛球與 M對m的引力分別為F1、F2.F=F1 -F2M對m的引力之和.設(shè)空腔鉛球?qū)?則1經(jīng)計算可知：AM =，M ,所以 7F1m(M M)L28GmM7L2F2GmMr 2（2）r 27(-2)將、代入式,解得空腔鉛球?qū)π∏虻囊閳D43F = F1 - F2 = GmM 7L2r 27（L-2）例5如圖4-3所示，小球長為 L的光滑斜面頂端自由下滑,滑到底端時與擋板碰撞并反向彈回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前速度大小的,求小球從開始下滑到最終停止于斜面下端時，小球總共通過的路程解析 小球與擋板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，說明碰撞過程中損失能量，每

7、次反彈距離都不及上次大， 小球一步一步接近擋板， 最終停在擋板處.我們可以分別計算每次碰撞垢上升的距離Li、 L2、 、 Ln ,則小球總共通過的路程為s =2(Li +L2+.+ Ln) + L ,然后用等比數(shù)列求和公式求出結(jié)果，但是這種解法很麻煩我們假設(shè)小球與擋板碰撞不損失能量，其原來損失的能量看做小球運動過程中克服阻力做功而消耗掉，最終結(jié)果是相同的，而阻力在整個運動過程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程.設(shè)第一次碰撞前后小球的速度分別為V、Vi,碰撞后反彈的距離為Li,則1 2mv2=mgLsin-mv； = mgL| sin2其中Vi5 .（4）2V2 - （5）1cle 1c 16

8、碰撞中損失的動能為 AEk = mv - mv1 =mv (1 -)222259.根據(jù)等效性有f (L1十L) = AEk解得等效摩擦力f = mg sin0 41通過這個結(jié)果可以看出等效摩擦力與下滑的長度無關(guān)，所以在以后的運動過程中，等效摩擦力都相同.以整個運動為研究過程，有 f s = mgL sin 9 TOC o 1-5 h z 一41解出小球總共通過的總路程為s = 41 L.9此題也可以通過遞推法求解，讀者可試試.例6如圖44所示，用兩根等長的輕質(zhì)細線懸掛一個小球,設(shè)L和口已知，當小球垂直于紙面做簡諧運動時，其周期為.圖44解析 此題是一個雙線擺，而我們知道單擺的周期，若將又線擺擺

9、長等效為單擺擺長,則雙線擺的周期就可以求出來了將雙線擺擺長等效為單擺擺長L=Lsinu ,則此雙線擺的周期為例8的自由振動 的振動周期 解析能直接求解則求解周期橘射導簡T =2二 L /g 二2二 l sin ： /g如圖4-5所示，由一根長為 L的剛性輕桿和桿端的小球組成的單擺做振幅很小圖4 5.如果桿上的中點固定另一個相同的小球，使單擺變成一個異形復(fù)擺，求該復(fù)擺 復(fù)擺這一物理模型屬于大學普通物理學的內(nèi)容，中學階段限于知識的局限, .如能進行等效操作，將其轉(zhuǎn)化成中學生熟悉的單擺模型,捷易行.設(shè)想有一擺長為 島的輔助單擺，與原復(fù)擺等周期，兩擺分別從擺角口處從靜止開始擺動，擺動到與豎直方向夾角為

10、P時，具有相同的角速度 co ,對兩擺分別應(yīng)用機械能守恒定律，于是得 mgl(cos P-cosct)+mg 1(cos P-cosct) = 1m(col)2 +1 m(2)2 22222對單擺，得 mgl0(cos - - cos - ) m( l0)一，一 一 5聯(lián)立兩式求解，得10 V5l6故原復(fù)擺的周期為T =2二l0 =2二5lg 6g例9粗細均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，開始靜止在水平 面上，如圖46所示，已知：L=10cm,當此U形管以4m/s2的 加速度水平向右運動時，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差.（g=10m/s2）解析 當U形管向右加速運動時，可把液體當做放在等效重 力場中，g

11、 .的方向是等效重力場的豎直方向，這時兩邊的液面應(yīng)與等效重力場的水平方向 平行，即與g 方向垂直設(shè)g 的方向與g的方向之間夾角為 a ,則tana =g=0.4g由圖46可知液面與水平方向的夾角為 a ,所以， h=L tan： -10 0.4 = 4cm = 0.04m.例10 光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R,在其最低點 A處放一質(zhì)量為 m的帶3電小球，整個仝間存在勻強電場，使小球受到電場力的大小為mg,萬向水平向右，現(xiàn)3給小球一個水平向右的初速度v0,使小球沿軌道向上運動，若小球剛好能做完整的圓周運動，求v0.圖 47如圖47,由題意，小球剛好能做完整的圓周運動，小球運動到B點時的速

12、度vB=%；gRflip在等效重力場中應(yīng)用機械能守恒定律12. . _ _.、 12mv0 = mg (R Rcosi) ： mvB22將g 、Vb分別代入上式，解得給小球的初速度為Vo = 2( 3 1)gR例11空間某一體積為 V的區(qū)域內(nèi)的平均電場強度(E)的定義為Ei Vi E2.V2En VnE 二V1 :二V2 :Vnn、Ei-V i 4nVii 1如圖48所示，今有一半徑為 a原來不帶電的金屬球，現(xiàn)使它處于電量為q的點電荷的電場中，點電荷位于金屬球外，與球心的距離為 R,試計算金屬球表面的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電圖4 8場在此球內(nèi)的平均電場強度解析 金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的球內(nèi)電場，由

13、靜電平衡知識可知等于電量為q的點電荷在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場，其大小相等，方向相反，因此求金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場，相當于求點電荷 q在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場.由平均電場強度公式得n“ Ei ViEinVii 1n八Eii 1ViVkq Viid ri設(shè)金屬球均勻帶電，帶電量為q,其密度為P = 9 ,則有Vn=2rin=i =1k qi2riE *為帶電球體在q所在點產(chǎn)生的場強，因而有 E = ,方向從O指向q. y riR例11 質(zhì)量為m的小球帶電量為 Q在場強為E的水平勻強電場中獲得豎直向上的初速度為vo.若忽略空氣阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球在運動過程中的最小速解析 若把電場力

14、Eq和重力mg合成一個力，則小球相當于只受一個力的作用，由于小球運動的初速度與其所受的合外力之間成一鈍角，因此可以把小球的運動看成在等效重力G （即為合外力）作用下的斜拋運動，而做斜拋運動的物體在其速度方向與G垂直時的速度為最小，也就是斜拋運動的最高點，由此可見用這種等效法可以較快求得結(jié)果電場力和重力的合力方向如圖 49所示，由圖所示的幾何關(guān)系可知tan【- mgEqVmin = V0 COSU =(mg)2 (Eq)2小球從O點拋出時，在y方向上做勻減速直線運動， 在x軸方向上做勻速直線運動.當 在y軸方向上的速度為零時， 小球只具有x軸方向上的速度，此時小球的速度為最小值， 所 以圖 4

15、10則當Ix3 =0.1A時，求電阻Rx3.圖410甲此題也可以用矢量三角形求極值的方法求解，讀者可自行解決例12 如圖4 10所示，R、R、R為定值電阻，但阻值未知，R為電阻箱.當R為Rx1 =10Q時，通過它的電流Ix1 =1A;當Rx為Rx2 =18Q時，通過它的電流Ix2 =0.6A解析 電源電動勢 8、內(nèi)電阻r、電阻R、R、R均未知, 按題目給的電路模型列式求解，顯然方程數(shù)少于未知量數(shù)，于 是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法將圖410所示的虛線框內(nèi)電路看成新的電源，則等效電 路如圖410甲所示，電源的電動勢為 屋，內(nèi)電阻為r.根據(jù) 電學知識，新電路不改變 R和Ix的對應(yīng)關(guān)系，有 TOC o

16、1-5 h z 8 = Ixi(Rxi +r),/ = 1x2 =(Rx2 +r),8 = Ix3(Rx3 +r)由、兩式，得 葭= 12V,r = 2C,代入式，可得 Rx3 =118 1例13如圖411所示的甲、乙兩個電阻電路具有這樣的特性：對于任意阻值的Rab、Rc和Rca,相應(yīng)白電阻 R、R和R可確定.因此在對應(yīng)點 A和a, B和b、C和c的電位是相同的，并且，流入對應(yīng)點（例如A和a）的電流也相同，利用這些條件證明:Ra =RabRcaRab , RbcRca，并證明對淺和R也有類似的結(jié)果，利用上面的結(jié)果求圖4-11甲中P和Q兩點之間的電阻解析 圖411中甲、乙兩種電路的接法分別叫三角

17、形接法和星形接法，只有這兩種電路任意兩對應(yīng)點之間的總電阻部分都相等，兩個電路可以互相等效，對應(yīng)點 C c將具有相同的電勢.A、a、B b 和由 Rb=RB, Rc=Rc, Rc=Rbc, Xa ab 間，有RRb u ( 11)JRabRacRbcRabRca Rab RbcRab Rbc Rca同樣，ac間和bc間，也有r r =( 11) 1RcaRabRbcRab RcaRbc RcaRbRc =(RbcRabMRab RbcRbc RcaRabRbcRca將喳得:RaRabRcaRabRbcRca再通過+和+一，并整理，就得到 R和R的表達式.Rb =RabRbcRabRbcRcaRc

18、 =Rbc RacRabRbcRca卜面利用以上結(jié)果求圖412乙中P和Q兩點之間的電阻.用星形接法代替三角形接法，可得圖412乙所示電路，PRQS1路是一個平衡的惠斯登電橋， 所以在RS之間無電流, 因此它與圖412丙所示電路是等效的.因此PQ之間的總電阻RPq可通過這三個并聯(lián)電阻求例14如圖413所示，放在磁感應(yīng)強度B=0.6T的勻強磁場中的長方形金屬線框abcd,框平面與磁感應(yīng)強度方向垂直，其中ab和bc各是一段粗細均勻的電阻絲Rb=5Q ,Rc=3 ，線框其余部分電阻忽略不計.現(xiàn)讓導體EF擱置在ab、cd邊上，其有效長度L=0.5m, 且與ab垂直，阻值Ref=1 Q ,并使其從金屬框

19、ad端以恒定的速度 V=10m/s向右滑動，當EF圖 413滑過ab長白4 4/5距離時，問流過 aE端的電流多大?解析EF向右運動時，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢如圖413甲所示的電路.根據(jù)題設(shè)可以求出EF產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢:=BLV =(0.6 0.5 10) =3VRaE =4；REb =1,Rbc =3J此時電源內(nèi)阻為導體圖4 13甲EF的電阻，r =Ref =1C ,則電路中的總電阻為R=rRaE (REbRbc) ;3RaE(REbRbc)電路中的總電流為I =1A.R通過aE的電流為IaE =0.5A圖 414aE例15有一薄平凹透鏡，凹面半徑為0.5m,玻璃的折射率為1.5 ,且在平面上鍍一層

20、反射層，如圖414所示，在此系統(tǒng)的左側(cè)主軸上放一物S, S距系統(tǒng)1.5m,問S成像于何處?解析 本題可等效為物點 S先經(jīng)薄平凹透鏡成像，其像為平面鏡的物，平面鏡對物成像又為薄平凹透鏡成像的物，根據(jù) 成像規(guī)律，逐次求出最終像的位置根據(jù)以上分析，首先考慮物S經(jīng)平凹透鏡的成像 S, TOC o 1-5 h z 111根據(jù)公式. 二PP3其中 1 =(n1)( )=(1.5 -1)( -) = -1(m 1)f1RR2-0.5 二Pi1.5R = -0.6m成像在左側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S“后，其像距為P2 = -P2 = -Pi =0.6m成像在右側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S，有

21、111=不，其中 B=P2 =0.6m，7 = 1(m,)故 11 =一1P30.6P3 = 0.375m成虛像于系統(tǒng)右側(cè) 0.375m處此題還可用假設(shè)法求解針對訓練.半徑為R的金屬球與大地相連，距球心L處有一帶電量為+q的點電荷如圖415所示.求(1)球上感應(yīng)電荷的總電量；(2) q受到的庫侖力.2. 如 圖 416R =40j,R2 =80J,R =5，& =10,1尺=40,& =99R7 =101C, R =20C ,求AB之間的電阻圖 416圖 4 17圖 418.電路如圖417所示，R =R3 = R =R5 =3Q時，R2 =1C ,求AB間的等效電阻.有9個電阻聯(lián)成如圖4- 1

22、8電路，圖中數(shù)字的單位是 C ,求PQ兩點間的等效電阻5.如圖419所示電路，求 AB兩點間的等效電阻.如圖4 20所示，由5個電阻聯(lián)成的網(wǎng)絡(luò)，試求AB兩點間的等效電阻.由7個阻值均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖4-21甲所示.由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無限梯形網(wǎng)絡(luò)如圖421乙所示.試求P、Q兩點之間的等效電阻.圖421甲圖421乙.圖422表示一交流電的電流隨時間而變化的圖像，此交流電流有效值是（）A . 542AB . 5A C . 3.5；2A D . 3.5A圖 422圖 4 23圖 424.磁流體發(fā)電機的示意圖如圖423所示，橫截面為距形的管道長為L,寬為a,高為b,上下兩個側(cè)面是絕緣體

23、，相距為a的兩個側(cè)面是電阻可忽略的導體，此兩導體側(cè)面與負載電阻Rl相連.整個管道放在一個勻強磁場中，磁感應(yīng)強度的大小為B,方向垂直于上下側(cè)面向上.現(xiàn)有電離氣體（正、負帶電粒子）持續(xù)穩(wěn)定的流經(jīng)管道，為了使問題簡化，設(shè)橫截面上各點流速相同.已知流速與電離氣體所受的壓力成正比；且無論有無磁場存在時，都維持管道兩端電離氣體的壓強差皆為p.設(shè)無磁場存在時電離氣體的流速為v0.求有磁場存在時流體發(fā)電機的電動勢的大小s.已知電離氣體的平均電阻率為P. 一勻質(zhì)細導線圓環(huán)，總電阻為R,半彳至為a,圓環(huán)內(nèi)充滿方向垂直于環(huán)面的勻強磁場，磁場以速率 K均勻地隨時間增強，環(huán)上的 A、D、C三點位置對稱.電流計G連接A、C兩點，如圖424所示，若電流計內(nèi)阻為 區(qū)，求通過電流計的電流大小.固定在勻強磁場中的正方形導線框abcd,各邊長為Li,其中ab是一端電阻為 R的均勻電阻絲，其余三邊均為電阻可忽 略的銅線，磁場的磁感應(yīng)強度為B,方向垂直紙面向里，現(xiàn)有一與ab段的材料、粗細、長度都相同的電阻絲PQ架在導線框上，如圖425所示，以恒定的速度 V從ad滑向bc,當PQ滑過1/3L 的距離時，通過 aP段電阻絲的電流是多大？方向如何？.如圖426所示，一根長的